Теория тепло и массообмена (эккерт)



Скачать книгу бесплатно!

0  

...подождите пожалуйста, добавляется отзыв...


--------------- page: ; remove-txt -----------

--------------- page: 1 -----------
I* Р.Ц К К Ё Р Т « Р. И, Д Р Е Й К
ТЕОРИЯ
ТЕПЛОМ 1У1АОСООБМЕНА
--------------- page: 2 -----------
Э. Р. ЭККЕРТ и Р. М. ДРЕИК
ТЕОРИЯ

ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
Перевод с английского

Э. М. ФУРМАНОВОЙ, Г. Р. МАЛЯВСКОЙ

и Л. Б. ШАШКОВОЙ

под редакцией

акад. АНБССР А. В. ЛЫКОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА
--------------- page: 3 -----------
НЕАТ апа МАЗЗ ТКАЫЗРЁЙ
Ъу Е. К. О. Ескег*
лу'ИЬ Раг* А, Неа! Сопйисиоп

апс! АррепШх о! Ргорег1у Уа1иез

Ъу КоЪег!; М. Эгаке, .1г.
Зесопс! Е(1Шоп о!

INТКО^^СТIОN ТО ТНЕ ТКА^РЕК

ОР НЕАТ |А№ МА58
1959
Данная книга является вторым, заново переработанным изданием монографии Эккерта

«Введение в теорию тепло- и массообмена». В ней

систематически рассматриваются основные вопросы теории теплопроводности, конвективного и лучистого теплообмена, а также вопросы массообмена в процессах пористого охлаждения и испарения. В книге дано обобщение последних работ

по теории пограничного слоя в процессах тепло-

и массообмена. Теоретические вопросы иллюстрируются конкретными примерами расчетов теплообменных аппаратов, реактивных двигателей,

газовых турбин и другой аппаратуры современной техники.
Книга рассчитана на научных сотрудников,

аспирантов и инженеров-теплотехников, и она

может быть рекомендована в качестве учебного

пособия для втузов.
6П2.2 Эккерт Э. Р. и Дрейк Р. М.
Э 35 Теория тепло- и массообмена. Пер. с англ. под

ред. А. В. Лыкова. М.—Л., Госэнергоиздат, 1961.

с. с черт. и илл.
6П2.2
*
Редактор А. Г. [Пашков
Техн. редактор Г. Е. Ларионов
Сдано в пр-во 6/У1 1961 г.

Формат бумаги 84Х108уз2

Тираж 9 000
34,85 п. л.

Цена 2 р. 89 к.
Подписано к печати 16/1Х 1961 г.
39,8 уч.-изд. л.

Зак. 308
Типография Госэнергоиздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.
--------------- page: 4 -----------
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
.Процессы тепло- и массообмена являются одним из

важнейших разделов современной науки и имеют большое

практическое значение в станционной и промышленной

энергетике. Особое значение приобретают вопросы тепло- и

маосоОбмена в реактивной и ракетной технике, когда высота и скорость полета самолета или реактивного сна-ряда

в значительной степени зависят от условий тепло- и массо-

обмена. Не меньшее значение процессы тепло- и массооб-

мена имеют в атомной энергетике при расчете и конструировании ядерных реакторов. При этом характерная особенность процессов переноса тепла и массы вещества в указанных областях новой техники — это их взаимосвязь, т. е.

тепло- и масоообмен является единым комплексным процессом. Аналогичное положение будет иметь место и в теплоэнергетических процессах при значительной интенсификации их в связи с переходом на высокие режимные параметры.
Современное состояние науки о переносе энергии (тепла) определило характер и методическую направленность

монографии крупнейшего ученого в этой области проф.

Э. Р. Эккерта «Теория тепло- и массообмена» Данная книга является вторым изданием, она заново .переработана

Э. Р. Эккертом совместно с Р. М. Дрейком. При этом было

не только расширено большинство разделов книги, ноуи

включен >ряд новых разделов (теплопроводность в системах

с подвижными границами, теплообмен в разреженных газах, в жидких металлах, пористое охлаждение, расчет теп-

лообменников), а также заново переработан основной теоретический материал.
Книга написана методически очень удачно, в ней

в краткой доходчивой форме рассматривается физика явления, затем дается аналитическое отображение процесса

простыми математическими соотношениями, а конец каж?

дого раздела иллюстрируется конкретными числовыми расчетами, взятыми из инженерной практики. Помимо этого,
3
--------------- page: 5 -----------
приводится ряд задач, которые предлагается. читателю решить ^самостоятельно. Весьма полезным является вводный

раздел книги об единицах измерения физических величин,

поскольку в практике теплотехнических расчетов применяются разные системы единиц измерения, что создает дополнительные трудности для инженера.
Необходимо сделать несколько замечаний по содержанию книги. Значительно расширен раздел теплопроводности, в котором много внимания уделяется оребрению поверхностей нагрева, что имеет большое значение для авиационной техники. Удачно изложен раздел о периодическом

стационарном состоянии тела, где рассмотрено распространение температурные волн 'в полуограниченной среде при

наличии п-гармоник. Дано решение ряда задач с подвижными источниками тепла. Все решения задач теплопроводности получены методом разделения переменных, что

иногда излишне обременяет излагаемый материал математическими преобразованиями. Эти решения можно было бы

получить быстрее и проще, используя операционные методы

и методы интегральных преобразований.
Совершенно справедливо авторы отмечают, что для понимания физической сущности явлений конвективного

тепло- и массообмена последний должен быть рассмотрен

в первую очередь на основе теории пограничного слоя

с использованием приближенных решений, получаемых методами Кармана. «После этого можно перейти к рассмотрению точных решений и обобщению экспериментальных

данных методами теории подобия.
Также методически удачным следует считать вначале

изложение вынужденной конвекции в усло!Виях внешней

задачи (обтекание пластины), потом в условиях внутренней задачи (.движение жидкости в трубах) и, наконец,

теплообмен при естественной конвекции.
Вопросы теплообмена в разреженных газах, имеющие

большое значение для ракетной техники, рассматриваются

достаточно подробно.
Наглядным примером взаимосвязи процессов переноса

тепла и массы вещества является пористое и пленочное

охлаждение, рассмотренное в двух разделах: «(Конвективный теплообмен» (§ 10-5) и «Перенос массы» (§ 16-2).

Анализ процессов тепло- и массообмена дан на основе

решений уравнений переноса в пограничном слое, полученных на электронно-счетных машинах.
В отличие от обычрогд
1 ‘ ‘
--------------- page: 6 -----------
теплообмене авторы уделяют большое снимание физике

процесса температурного излучения (приводится вывод

законов Стефана-Больцмана, Джинса-Релея, формулы

Планка и др.), а также моделированию лучистого теплообмена на основе электроаналогии. Последнее обстоятельство позволяет получить ряд соотношений для лучистого

теплообмена, имеющих большой (практический интерес.

Помимо этого, приведены методы расчета солнечной печи.
Перенос массы вещества рассматривается .на основе

соотношений молекулярно-кинетической теории для бинарной смеси применительно к влажному воздуху. При этом

цспользуются решения, полученные для случая пористого

охлаждения пластины. Необходимо отметать, что последние (решения не 'применимы для процесса тепло* и массо-

переноса лри испарении жидкости со свободной поверхности и из капиллярно-пористых тел. К сожалению, для

решения этой проблемы не используются методы термодинамики необратимых процессов, которые дают наиболее

полное и строгое описание комплексного процесса тепло-

и массообмена.
В качестве общего недостатка книги надо отметить то .

обстоятельство, что работы советских ученых не нашли

в ней отражения, между тем как по ряду важнейших

вопросов теории тепло- и массообмена советские теплофизики имеют большие достижения, которые опубликованы

в ряде монографий и периодической литературе. Поэтому

мы считали необходимым привести дополнительный список

литературы, в котором приведены основные монографии,

учебные подобия и журнальные статьи, вышедшие за последние пять лет в советской печати.
'При переводе книги с английского языка на русский

мы стремились сохранить стиль и методику изложения,

а также основные обозначения физических величин. Только часть обозначений была изменена. Например, обозначения коэффициентов теплопроводности и теплообмена были

заменены общепринятыми.
Благодаря простоте и доступности изложения книга

является не только хорошим учебным .пособием для студентов высших учебных технических заведений, но и

представляет интерес для широкого круга читателей; она

поможет инженерам-теплотехникам выбрать оптимальный

режим процесса и тем самым >рещить актуальные вопросы

современной техники,
а я. лыко%
--------------- page: 7 -----------
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Книга ставит целью: научить читателя понимать физические основы процессов переноса вообще и процесса тепло- и .массообмена, в частности, кроме того, познакомить

читателя с законами, которым подчиняются физические

явления, -наблюдаемые в этих 'процессах, а также и с аналитическими методами исследования, разработанными для

описания этих явлений. Осуществлению этой задачи служило и первое издание книги, но колоссальный размах

исследований и соответствующее накопление новых дан-
*
прежних теоретических положений.
При выборе проблем руководствовались желанием рассмотреть как можно больше важнейших явлений теплообмена с позиции современного понимания их природы и законов. Но и по сей день у на:с все еще нет четкого представления о некоторых случаях теплообмена. Вообще

говоря, это. обычно такие случаи, когда поверхность или

внутр'ифазовая площадь, через^ которую проходит тепло,

не имеет четкого очертания. У нас еще накопилось мало

знаний для понимания таких процессов, да и те знания,

которые у нас уже имеются, сводятся лишь к эмпирическим соотношениям, приводимым в многочисленных справочниках по теплообмену.
В основном материал подбирался таким образом, чтобы

осветить как можно больше физических явлений, не прибегая по возможности к громоздким математическим выкладкам. Главной проблемой, с которой встречаются в техническом исследовании, является перевод физического

процесса на язык математики. Этим вопросам исследователь непременно должен заниматься сам или вынужден

прибегнуть к помощи математика, если не сможет самостоятельно получить решения уравнений, при помощи которых он формулирует свою отдачу,
. б
--------------- page: 8 -----------
При чтёййй глав, где кратко излагается более сложный

материал, требуются более глубокие знания математики.

Такие главы включены преднамеренно, ибо они способствуют пониманию особых форм тепло- «ли массообмена;

однако их можно опустить без ущерба для понимания

остального текста. Разделы 3-8, 4-1, 4->2, 6-1, 5-2, 6-3, 6-6,

7-2, 7-3, 10-3, 11-3 и 16-2 относятся к этой категории.
Не делалось попыток более или менее 'полно представить литературу или хотя бы включить всю наиболее важную. Целью ссылок в книге является указать на оригинальные работы по обсуждаемым темам и источники для

получения более обширных сведений.
Во 2-м издании введены дополнительные задачи. Решение этих задач поможет читателю или студенту уяснить

проработанный материал. Необходимо отметить, что некоторые задачи не .имеют однозначного решения, ето справедливо и для задач, встречающихся в инженерной практике.

Для некоторых задач невозможно получить какое-нибудь

аналитическое решение, а в других случаях читатель должен переходить к численным вычислениям в зависимости

от знания аналитических методов решения. Все это опять-

та<ки подчеркивает тот факт, что многие задачи, с которыми встречаются в инженерной практике, по своей природе

такого типа.
Участие Р. М. Дрейка младшего заключалась в разработке части А — «Теплопроводность», раздела 10-3 «Теплообмен в газах 'при низких плотностях» и дополнения

к Приложению с таблицами и графиками физических параметров.
Читатели, знакомые с первым изданием книти, увидят,

что большая часть ее написана совершенно заново и что

это издание может рассматриваться как новая книга, ибо

■наука, о которой и,деть речь в книге, за последние годы

сделала весьма значительные успехи. Надеюсь, что настоящая книга написана на достаточном научном уровне и

найдет такой же благосклонный прием среди работающих

в области тепло- и массообмена, как и первое издание.
Э. Р. ЭККЕРТ
--------------- page: 9 -----------
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора
Предисловие автора’
Перечень обозначений
Глава первая. Введение
1-1. Единицы измерения
1-2. Различные способы переноса тепла
1-3. Коэффициенты теплопроводности, теплообмена и теплопередачи
1-4.
Часть А. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Глава вторая. Теория теплопроводности и уравнения
теплопроводности
2-1.
2-2. Основной закон теплопроводности
2-3.
Глава третья. Теплопроводность при стационарном режиме
3-1.
вий стационарного режима
3-2. Конвективный теплообмен граничных поверхностей
3-3. Критическая толщина изоляции
’ 3-4. Тонкий стержень
3-5. Ребристая поверхность нагрева
3-6. Стенка с внутренним источником тепла
3-7. Подземный кабель
3-8.
Глава четвертая. Теплопроводность при нестационарном режиме
4-1.
4-2* Периодический перенос тепла
8
--------------- page: 10 -----------
Глава пятая. Теплопроводность в системах с подвижными границами
5-1. Теплопроводность при плавлении или затвердевании ....
5-2.
Часть В. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Глава шестая. Движение вдоль поверхностей и в каналах
6-1.
6-2. Уравнение количества движения пограничного слоя
6-3. Уравнение пограничного слоя ламинарного потока
6-4. Движение вдоль плоской стенки
6-5. Градиенты давления вдоль поверхности
6-6. Точные решения уравнений ламинарного пограничного слоя
для плоской пластины
6-7. Движение жидкости в трубе
6-8. Поперечное обтекание цилиндра
6-9.
Глава седьмая. Вынужденная конвекция при ламинарном режиме
7-2.
7-3. Движение жидкости вдоль плиты
7-4. Плоская пластина с произвольно изменяющейся температу-
рой поверхности
7-5. Поперечное омывание цилиндрических тел
7-6.
ного слоя
^ 7-7. Движение жидкости в трубе
Глава восьмая. Вынужденная конвекция в турбулентном потоке
8-1.
8-2. Движение жидкости в трубе
8-3. Продольное обтекание плиты
8-4.
ном режиме движения
Глава девятая. Вынужденная конвекция в потоке при
отрывных обтеканиях
9-1.
ности
9-2. Поперечное омывание труб и пучков труб
9-3. Шары и насадки
3
--------------- page: 11 -----------
Глава десятая. Некоторые особые случаи теплообмена
10-1. Теплообмен при больших скоростях
10-2. Перенос тепла в газах при высоких скоростях
10-3. Перенос тепла в разреженных газах
10-4. Перенос тепла в жидких металлах
10-5.
охлаждение
Глава одиннадцатая. Свободная конвекция
11-1.
горизонтальной трубе
11-2. Турбулентный перенос тепла на вертикальной пластине . .
11-3. Вывод уравнений пограничного слоя
11-4. Свободная конвекция в жидкости, заключенной между
двумя плоскими стенками
11-5.
Глава двенадцатая. Конденсация и испарение
12-1.
12-2.
Часть С. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Глава тринадцатая. Свойства теплового излучения . . 434
13-1.
13-2. Твердые и жидкие тела
13-3.
'Глава четьГрн ад ца та я. Лучистый тейлообмен
14-1.
14-2. Твердые, жидкие и газообразные тела
14-3. Лучистый теплообмен внутри замкнутой поверхности . . .
14-4. Лучеиспускание факела
14-5. Коэффициент теплообмена при тепловом излучении . . • .
14-6. Погрешность, обусловленная излучением при измерениях
температуры
14-7. Пирометрия
14-8.
Часть Э. ПЕРЕНОС МАССЫ
Глава пятнадцатая. Уравнения для двухкомпонентных

смесей
15-1.
15-2. Основные уравнения и / — й диаграмма влажного воз-
дУха
10
--------------- page: 12 -----------
Глава шестнадцатая. Массообмен
16 1. Диффузия
16-2. Ламинарный пограничный слой на плоской плите при переносе массы и тепла
16-3. Интегральные уравнения диффузионного пограничного слоя
16-4. Подобие процессов массообмена и теплообмена
16-5.
Часть Е. ТЕПЛООБМЕННИКИ
Глава семнадцатая. Расчеты теплообменников
17-1.
17-2. Теплообменники регенеративного типа
Приложения. Качественные показатели
Литература
Предметный указатель
т
548
557
565
573
581
587
587
592
602
640
678
--------------- page: 13 -----------
ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
а — ускорение, коэффициент аккомодации, коэффициент температуропроводности.
Ь — толщина стенки, ребра.

с — удельная теплоемкость.
ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении.*

й — диаметр.
йн — эквивалентный диаметр.
} — коэффициент трения при движении жидкости в трубе, безразмерная функция тока.
(с — коэффициент лобового сопротивления цилиндра.
9 —коэффициент трения о плоскую плиту.
^ — коэффициент скорости, скольжения.
§ — ускорение силы тяжести.
I — энтальпия.
—удельная теплота испарения.
/ — степень свободы,

к — постоянная Больцмана.
I — длина.

т — масса.
т — скорость потока массы.
п — нормаль, гармоническое число; число молекул.

р — давление.
<7 —удельный тепловой поток,

г — радиус; коэффициент восстановления.
5 — толщина; расстояние; коэффициент молекулярной скорости.
I — температура.
*в — средняя интегральная температура.

и — внутренняя энергия.
«, V, т — составляющие скорости.
V
V* — скорость сдвига, скорость касательного напряжения.

х, у, г — координаты.

х0 — длина волны.
А — площадь.
12
--------------- page: 14 -----------
С — постоянная величина, периметр.
Е — напряжение (электрическое) или разность потенциалов; Зйергий.

Р — сила.
/ — интенсивность турбулентности; электрический ток; интеграл.
Ь — длина.
Ье — длина ввода; участок стабилизацйи.
М — молекулярный вес.
<2 — количество тепла, передаваемое в единицу времени,
/? — электрическое сопротивление; газовая постоянная.
Кс — термическое сопротивление теплопроводности.

Т — абсолютная температура.
Ц — внутренняя энергия; общий коэффициент переноса.
V

а — угол, параметр, характеризующий свойства, коэффициент Теплообмена.
[1 — угол, параметр, указывающий на свойства потока, коэффициент

распространения. '
7
емкостей.
5 — толщина пограничного слоя.
5* — эквивалентная толщина пограничного слоя.
§2 — толщина теплового пограничного слоя,

е — пористость.
ет — гидродинамический коэффициент турбулентной диффузии.

К — отношение толщины теплового пограничного слоя к толщине

гидродинамического пограничного слоя,

т) — эффективность оребрения, безразмерная переменная.
0
к — коэффициент теплопередачи, собственные величины (характери*-

стические корни).
X — коэффициенты теплопроводности.
X — длина свободного пробега.
[х — коэффициент динамической вязкости,

м — коэффициент кинематической вязкости,

р — плотность, радиус, электрическое сопротивление,
о
т — напряжение трения, время.

т0 — период.
Ф — эффективность оребрения, рассеяние, источник тепла,

ф — функция тока.
13
--------------- page: 15 -----------
критерий
Ш ■— критерий Био.
Е — критерий рассеяния,

ро — критерий Фурье.
0Г — критерий Грасгофа для теплообмена.
Огр — критерий Грасгофа для массообмена.
Ье — критерий Льюиса.
М —критерий Маха.
N11 — критерий Нуссельта.
Ре — критерий Пекле.
Рг — критерий Прандтля.
Ке — критерий Рейнольдса.
5с — критерий Шмидта.
81: — критерий Стантона.
Индексы
Ъ — значения на границе между ламинарным подслоем и турбулентным пограничным слоем.

сг — критическое значение при переходе к турбулентному режиму.

й — относящиеся к диаметру.

йу— динамические значения (динамическая нагрузка и т. д.).

е — выходное отверстие.
^ — жидкая или газообразная среда.
I — входное отверстие; основывается на энтальпии.
I — жидкость.

т — среднее значение.

р — парциальный,

г — коэффициент восстановления.
5 — значение в потоке вне пограничного слоя.
—статические значения (статическое давление).
I — турбулентный режим.
V
ну — значения на поверхности стенки.

х — относящееся к расстоянию х.
В — объем, толщина.
М — среднее арифметическое значение.
Т — общее значение (общее давление и т. п.).
О
оо
! “ — среднее значение.
*
!
! и
--------------- page: 16 -----------
Дополнительные обозначения к тепловому излучению
а — коэффициент поглощения.

с — скорость света.
е — излучательная способность, мощность излучения.

к — постоянная Планка.
I — интенсивность излучения.

к — газовая постоянная на молекулу.

п — показатель преломления.

рг—давление излучения.

и — плотность излучения.
В — полное излучение, покидающее промежуточную фазу.
Е — погрешность.
Р — коэффициент формы.
Н — иррадиация — падающее излучение на промежуточную фазу.

Ье — эквивалентный радиус.
А — поглощательная способность.
Р — угол.
е — относительная излучательная способность. '
7] —к. п. д.
А. — длина волны.
V
Н — отражательная способность.
Б — пропускательная способность,

со — телесный угол.
Индексы
Ъ — черный.

с — конвекция, цвет.

е — эквивалент.
§ — газ, зеленый.
/ — отраженный.

п — нормаль к поверхности,

г — излучение, красный.
5 — поверхность.
Р — под углом.
А. — монохроматический.
с — концентрация.
Дополнительно к переносу массы
Нр — коэффициент массообмена.
/ — энтальпия.
п — число молекул.
у — отцосительцая влажность.
15
--------------- page: 17 -----------
й — удельное влагосодержание.
" т — массосодержание.
Ср — удельная объемная теплоемкость.
Б — коэффициент диффузии.
N — число молей.
Я — универсальная газовая постоянная.
8
о
Индексы
«—воздух.
5 — насыщение.
V
Дополнительно к расчетам теплообменников
е — к. п. д. эффективность.

$ — безразмерный параметр для длины.
Индексы
/ — большой.
5 — маленький.
С — охлаждение.
Н — нагрев.
Ь — на единицу 'длины.
Р — период.
6' — твердое тело.
--------------- page: 18 -----------
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
1-1. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
Законы переноса тепла, так же как «и все законы физики, весьма четко выражаются математическим языком.

Однако уравнения, применяемые в физике, отличаются от

уравнений математики, ибо они рассматривают физические

величины. Такие величины имеют размерность (длина,

скорость, энергия) и измеряются определенными единицами (ж, м/сек, кГ-м). Физическая величина известна только

тогда, когда установлена единица измерения, а также приводится число, указывающее на то, сколько раз данная

единица измерения содержится в величине. Следовательно,

каждый символ в физическом уравнении является числом,

умноженным на единицу измерения (V=3 м/сек). Мьи подразделяем основные единицы и производные. Последние

образуются из групп основных единиц измерения (м]сек,

кГ-м). Понятие размерности и единицы, измерения следует четко разграничивать. Физическая величина имеет

только одну размерность, но может быть выражена в различных единицах. Размерность длины, например, выражается в сантиметрах, метрах, километрах. Одну и ту же

размерность можно выразить различными единицами.
Например, 1 ^ = 3 600 сек;
1 брит. тепл. ед. =778,26 фут фунт.
1 ккал = 426,939 кГ-м.
В зависимости от того, какие единицы считаются основными, различаются разные системы единиц.
Физическая система единиц основывается на трех единицах: сантиметр (см) —единица измерения длины,

грамм (г)—единица измерения массы, секунда — единица

измерения времени. Иногда градус (°С) используется как

четвертая основная единица. Все остальные единицы

являются производными от основных. Число основных ёди-

2—308
--------------- page: 19 -----------
ниц ни в коей мере не предписано нам природой. Например, градус (°С) по стоградусной шкале может быть выражен основными единицами см, г, применяя законы термодинамики. В принципе число основных единиц можно сократить еще 'больше. Например, вполне возможно рассматривать грамм (г) как основную единицу массы, используя

общий закон ‘Притяжения. Сила притяжения двух масс «1

и т2, находящихся на расстоянии г одна от другой, выражается по закону притяжения Ньютона формулой
Это выражение содержит универсальную постоянную К, которая в физической системе единиц равна К =

= 6,685-10*8 см3/г-сек3. Эта постоянная опускается, когда

уравнение используется для определения единицы массы, и

уравнение принимает вид:
р Ш^ТП2
= -7г •
Чтобы исключить силу, это уравнение объединим с формулой, выражающей закон Ньютона, для массы тх, подверженной ускорению а:
Р = т^а.
Совместно оба уравнения дают:
т2 = агг.
Можно видеть, что правая часть уравнения имеет размерность см2/сек2. Поскольку различные члены, появляющиеся

в физическом уравнении, должны иметь одинаковую размерность, то таким образом, мы получили размерность

массы. Однако обычно сохраняют грамм в качестве основной единицы измерения массы дополнительно к другим

единицам, о которых упоминалось выше.
Техническая система единиц, основанная на английской

системе единиц, развивалась под влиянием нужд техники.

Эта система не нашла такого широкого распространения,

как физическая система единиц. Например, нет полного

соглашения о числе и типе основных единиц. Обычно техническая система определяется таким образом, что основные единицы применяются для измерений длины (метр),
--------------- page: 20 -----------
сиЛы (килограмм), времени (секунда), температуры (градус). Продолжают пользоваться и другими единицами.
Более того, довольно часто в технической литературе

килограмм (кг) выражает маосу и силу одновременно.
В 1954 г. X Международная конференция мер и весов

разработала 'новую международную систему, называемую

МК5А или Оюг§1 системой, которая основывается на следующих единицах:
ж,
/сг, — килограмм (для массы);

сек, з — секунда (для времени);
А — ампер (для электрического тока);
°К—градус Кельвина (для температуры);

св, .ей — свеча (для светового потока).
По этой системе энергия измеряется в джоулях (1/==

= 1 ш2 к^/зес2) или в килоджоулях (1 КЛ=1 ООО Л) и мощность в ваттах (1 1^=1 ш2 к^/зес3) или киловаттах (1к\\/ =

= 1 ООО XV).
Существует такая зависимость:
1 дж=\ м2'-кг/сек2;
1 кдж = 1 ООО дж\
1 вт = м2 • кг/секъ;
1 /свг=1 000 вт.
1 кдж = 0,23844 ккал = 2,77-83 • 104 кет • ч= 101,972 кГ-м =

= 0,94621 Бт. е. *. Эта система имеет много преимуществ.

Она, например, объединяет естественным путем единицы

электричества с единицами, применяемыми в механике или

термодинамике. Ряд стран принял соответствующий закон
о
получит большее признание в Соединенные Штатах. В связи с тем, что процессы переноса тепла широко распространены, статьи по этому вопросу можно найти как в физических, таки в технических журналах. Поэтому для всех работающих в этой области возникает необходимость переводить

величины из одной системы единиц в другую. Возможность ошибок при таких вычислениях велика, но можно

избежать этих ошибок, если придерживаться следующих

правил:
1.
определяется только тогда, когда установлена единица

измерения, так же как и число, указывающее, сколько раз

данная единица содержится в величине. Если, следователь-
*
2*
--------------- page: 21 -----------
но, физическое ураЁнёнйё используется для того, чтобы

провести числовые вычисления, тогда для каждого знака

вводится не только число, но также и соответствующая

единица. Несколько «примеров, приводимых в следующих

параграфах, подтвердят применение этого правила.
2.
же вида, т. е. в одинаковых единицах измерения, можно

прибавлять, вычитать, сравнивать.
»В результате все члены в физическом уравнении должны иметь одну и ту же размерность.
3.
массы и ка>к единицу силы.
В частности, следует уточнять в каждом отдельном случае, основываются ли физические характеристики величин

(плотность р, теплоемкость Сит. д.) на массе или весе.

В США они обычно основываются на массе, в то время

как на европейском континенте отдают предпочтение тех

ническО'й системе, которая основывается на величинах, выраженных в единицах веса, который служит также определением силы, действию которой подвергается-масса в 1 кг

под влиянием ускорения силы тяжести.
Вся проблема системы единиц в основном перестает

быть проблемой, если все вышеприведенные правила применяются постоянно и перевод из одной системы в другую

происходит почти автоматически. Следующие примеры поясняют эти правила:
1.
на величину АV, тогда согласно первому закону термодинамики расход тепла (2 в этом процессе за счет изменения

внутренней энергии Д[/ и механической работы, определяется следующим уравнением:
<) = Ш + рЩ-,
^ = 426,4 кГм/ккал — механический эквивалент тепла.

Допустим, что Д[/ = 0,75 ккал, /7 = 5 000 кГ/м*, ДУ =

= 0*06 мь. Требуется вычислить подведенное количество

тепла. Введем в правую часть уравнения (1-2) величины для

обозначений единиц измерения:
<2 = 0,75 ^ + ^^^=1,45 ккал.
Действительно, коэффициент /, являющийся в первом

законе термодинамики, как сказано .выше, Является только

20
--------------- page: 22 -----------
лишь коэффициентом преобразования Для Периода 6Т

одной, системы единиц 'к другой, и поэтому нет нужды

в специальном обозначении для него в физическом уравнении. Обычно указываются физические величины*, в которые

данная единица будет иопользо-вана. Поэтому выражение

для первого закона может быть записано следующим

образам:
()=Ш-{-рЬУ. ’
Теперь покажем, что вычисления при применении установленных выше правил приводят к точно такому же результату для тепла (3, дополнительно введенному в процесс. Вводя предусмотренные ранее значения в правую

часть уравнения, получаем следующее выражение:
(3 = 0,75 ккал-[-5ООО кГ/м2у^Ъ,№ мг —
= 0,75 ккал + 300 кГм.
Теперь два члена правой части уравнения выражены

в различных единицах. Для того чтобы мы могли произвести сложение, один из членов следует перевести в единицы

измерения другого. Поскольку по традиции тепло выражают

в ккал, то преобразованию подвергается второй член.

Вводя коэффициент преобразования кГм в ккал, можно

продолжить вычисления:
1 кГм= 1/427 ккал;
Р = 0,75 ккал + 300^ ккал— 1,45 ккал.
2.
имеет вид:
Р = Ре1+?^Г-
Оно выражает тот факт, что сумма статического давления

р8г и динамического давления ра2/2 в каждой точке жидкости

равна полному давлению р. Полагаем, что
^ = 10 кГ/м2, V =10 м/сек, р = 102 кг/м*.
Необходимо вычислить полное давление. Вычисление производится таким же образом, как и в первом примере. Введем

в правую часть уравнения единицы измерения:
/?= 10 кГ/м2-\-102 кг/м3-^- м2/сек2 =
= 10 кГ/м2-{-5 100 кг/м-сек2.
21
--------------- page: 23 -----------
Очевидно, что два члена -правой части уравнёйия, которые должны иметь одну и ту же размерность, выражаются

в разных единицах. Следовательно, одну из единиц нужно

перевести в размерность другой. Для проведения этого преобразования вспомним определение килограмма силы (кГ):

один килограмм силы — это такая сила, которая действует

на массу в один килограмм [кг] в гравитационном поле

с обычным ускорением силы тяжести 9,81 м/сек2. Это определение -можно записать как уравнение
1
Подставив выражение для 1 кг массы, полученное из

вышеприведенного соотношения, в уравнение
1 А а—■ /2| 1 5 100 КГ * СВК2
Р= 1° нГ1М +Ъ&и.се* м ~
Иногда в литературе встречается такая форма записи уравнения Бернулли:
Р = Рч + р|^-
В этом уравнении § является коэффициентом, преобразования:
^ = 9,81 кг-м/кг-сек2.
Вычисление в этом случае производится так же, как в

предыдущем,
р= 10 кГ/м* 0,102 «г/л*Х^ м*1сек*Хдщ
= 520 кГ/м,2.
Таким образом, обе формы записи уравнения при вычислении приводят к одной и той же величине 'полного

давления.
3.
ры в высокоскоростном потоке газа. Далее в книге последует пояснение наличия в таком потоке двух различных видов температур: полной температуры Т и статической температуры Т$(. Обе эти температуры связываются следующим ^уравнением, в котором теплоемкость считается величиной постоянной:
--------------- page: 24 -----------
В этом уравнении теплоемкость ср при постоянном давлении находится во втором члене правой части уравнения.

Для того чтобы тщательно провести вычисление, 'необходимо знать, является ли теплоемкость количеством тепла на

единицу килограмма массы и на ГС или на единицу килограмма веса и 1°С. В вышеприведенном уравнении теплоёмкость отнесена к единице массы. Вычисления производятся следующим образом. Значения для членов правой

части уравнения предусматриваются следующими выражениями:
Т$( — 5 0°С, у = 340 м/сек, ^ = 0,240 ккал/кг -град,
Т = 50°С115 в°° м2/сек* кг-град{ккал =
= 50°С-}-240800 м2-кг-град/сек2-ккал.
Очевидно, что второй член должен иметь размерность температуры. С этой целью заменим килограмм массы в числителе

на килограмм силы, чтобы получить выражение для механической работы:
Т = 50°С240800 м2• грае)/сек2-ккал• д-щ-кГ• сек2/м =

= 50°С-}-2,45-104 кГ-м-град /ккал.,

Окончательно, переводя ккал в к Г ■ м, получаем:
Т = 50°С-|-2,45-104 кГ-м-град/ккал-^ккал/кГ•м =
= 107,2° С.
Легко показать, что уравнение, приведенное выше для

полной температуры, может быть представлено следующим

образом:
где § — обычное ускорение силы тяжести, а теплоемкость отнесена к единице веса.
На этих примерах можно было 'бы убедиться, что коэффициенты преобразования подобно механическому ©квива-

ленту тепла / и гравитационному коэффициенту преобра-
§3
--------------- page: 25 -----------
зования § могут быть опущены в физических уравнениях

и тогда, когда проводятся вычисления в числовых значениях, применяя три установленные правила. Поэтому

в уравнениях этой книги подобные •коэффициенты преобразования не приводятся. Кроме того, все собственные значения, такие как плотность, теплоемкость и т. д., основываются на единице массы, 'которая является наиболее подходящей размерностью для измерения определенного количества материала.
1-2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА
Благодаря наличию потока тепла от областей с более

высокой температурой к областям с более низкой температурой разность температур в одном и том же теле с течением времени выравнивается.
Знакомство с законами, которые управляют такими

процессами, весьма важно для всех областей техники, (поскольку знание этих законов дает возможность управлять тепловым потоком и изыскивать средства его регулирования. При конструировании .новых тепловых двигателей

сталкиваются снова и снова с этой (проблемой. С точки

зрения термодинамики тепловой двигатель состоит в 'принципе из двух резервуаров с разной температурой

и самого двигателя, помещенного между ними. Рабочее

тело часто изменяется на протяжении процесса, и тепло

должно передаваться от одного теплоносителя к другому

при незначительном перепаде температур. В паросиловых

установках первоначальным теплоносителем являются газообразные продукты, образующиеся в результате горения,

затем в паровом котле тепло превращается в пар. В конденсаторе пар отдает свое тепло охлаждающей воде, и

охлаждающая вода, проходя через градирню, передает

это тепло воздуху. В двигателе внутреннего сгорания такого вида теплообмена не существует, поскольку тепло, полученное при горении, образуется непосредственно в рабочей среде. Некоторая часть этого тепла превращается

в работу, а другая часть тепла вместе с отработанными

газами выпускается наружу. Тем не менее полное представление о процессе теплопереноса представляет также

большое значение при проектировании таких двигателей,

поскольку применение воздушного или водяного1 охлаждения стенок нилиндров должно обеспечить безопасную температуру нагрева материала. Поэтому допустимая мощ-

24
--------------- page: 26 -----------
4
ноётЬ ЦиЛинДра Двигателя с: высокими техйичёскймй характеристиками главным образом определяется решением

проблем охлаждения. Для газовых турбин, которые теперь

•начинают все больше и больше применяться в технике,

разработка проблем тепломассообмена приобретает первостепенное значение.
■С другой стороны, мы часто встречаемся с задачей

ограничения теплоотдачи. Это достигается (применением

изоляционного материала с низким коэффициентом теплопроводности. Снижение теплопотерь также является1 немаловажным фактором, (влияющим на эффективность тепловых процессов.
Согласно второму закону термодинамики, чем выше

температура теплоносителя, тем большую часть данного

количества тепла можно использовать для производства

полезной работы. Любое снижение температуры без произведения работы ведет к повышению энтропии, а это

означает нежелательную потерю механической энергии.
Тепловой поток в твердом теле является результатом

передачи тепловой энергии от одной молекулы к другой.

Такой процесс называется теплопроводностью. Он

наблюдается также в жидкостях и газах. В последних,

однако, молекулы не занимают фиксированного положения, а постоянно меняют свое место, даже если вещество

в целом находится в состоянии покоя. Вместе с ними переносится и тепловая энергия. Этот процесс относится

к процессам теплопроводности и рассматривается вместе

с последними.
Имеется еще один тип переноса тепла в жидкоатях и

газах. В такой среде могут возникнуть макроскопические

движения, и тепло может передаваться от одной точки

к другой вместе с массами вещества. Этот процесс называется конвективным теплообменом. Третий способ теплообмена — лучистый теплообмен. Твердые

тела, так же как жидкости и газы, способны излучать и поглощать тепловую энергию в виде электромагнитных волн.

В ^роизводственны'х процессах часто все три вида теплообмена участвуют одновременно.
Однако для изучения влияний теплообмена необходимо

четко разграничивать все способы, поскольку они подчиняются различным законам. Мьи будем рассматривать процессы теплообмена (теплопроводность, конвекцию и излучение) каждый в отдельности в последующих главах этой

книги.
25
--------------- page: 27 -----------
1-з. Коэффициенты тёплопров6ДН66тй, тёплообмёна
И ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В технических расчетах чаще всего приходится интересоваться количеством тепла, передаваемого за единицу *

времени между двумя жидкостями или газа,ми, разделенными стенкой и обладающими разными температурами.
Как уже говорилось в разделе 1-2, ясно, что в этом случае наблюдается наложение одних процессов на другие.
Во-первьих, тепло одного газа (или

жидкости) должно быть подведено

к разделяющей стевке. Затем тепло

должно пройти через стенку и, наконец, оно воспринимается с противоположной поверхности стенки более холодным газом (или более холодной

жидкостью). В настоящем параграфе

мы займемся определением теплового

потока для простейшего случая,

а именно для стационарного режима

и плоской стенки, и вместе с этим выведем основные законы теплообмена.

Отдельные процессы будут подробно

исследованы в следующих разделах.
Итак, рассмотрим сначала плоскую стенку толщиной Ь, обе поверхности которой имеют различные, но постоянные во времени температуры ^ и (рис. 1-1). Количество тепла,

которое при указанном перепаде температур проходит за-^едини'цу времени через участок стенки площадью Л,

обозначается буквой (2*. По закону Фурье это количество

тепла определяется следующим уравнением:
<Э=-ГЛ^~и-
где X — коэффициент теплопроводности, характеризующий

свойство вещества, из которого состоит стенка.
Из уравнения (1-6) можно легко установить размерность

коэффициента теплопроводности
*
теплоты независимо от времени.
‘26
Рис. 1-1. Теплопроводность через плоскую

стенку при стационарном режиме.
--------------- page: 28 -----------
Количество тепла, проходящее через единицу площади

поверхности за единицу времени, называется тепловым потоком. Как следует из определения, тепловой поток
(I-7)
Если теплопроводность не зависит от температуры, то,

как видно из рис. 1-1, температура внутри стенки убывает
оо
личных веществ дается в приложении. Как видно из таблиц, среди твердых тел металлы обладают наилучшей

теплопроводностью. Например, коэффициент теплопроводности чугуна равняется приблизительно 45 к кал/м - ч - град,

меди—приблизительно 300 ккал/м-ч-град. Металлические

сплавы имеют значительно более низкую теплопроводность,

чем чи'стые металлы. Например, величины теплопроводности нержавеющей стали около 13,3 ккал/м-ч-град. Величины теплопроводности неметаллических веществ составляют

приблизительно от 0,05 до 3 ккал/м-ч-град.
Величина коэффициентов теплопроводности газов на

порядок меньше теплопроводности жидкостей. Поэтому газы обладают самой низкой теплопроводностью из всех

веществ. Низкий коэффициент теплопроводности теплоизоляционных материалов (диато-мито'вые земли, шлаковая вата, торф, пробка) обусловливается их пористостью.

Поэтому тепловой поток в таких материалах является

в основном процессом теплопередачи через воздух, заключенный в порах. Твердое вещество таких материалов не

позволяет воздуху приходить >в состояние движения от

разности температур, а тем самым и предотвращает передачу дополнительного количества тепла конвективными

токами. Закон Фурье для процессов теплопередачи весьма

напо’минат закон Ома для электрического тока. В этом

можно легко убедиться, если уравнение (1-6) написать

в следующей форме:
0
и сравнить с формулой закона Ома
Е = Х1,
Здесь количество передаваемого тепла (2 соответствует

силе тока /> Распространение тепла обусловливается тем-
27
--------------- page: 29 -----------
пературным напором (/«,1—который соответствует

разности потенциалов.
Отношение Ь/ХА называется термическим сопротивлением и обозначается символом Яс'
(что соответствует сопротивлению /? в формуле закона

Ома). Величина, обратная коэффициенту теплопроводности, т. е. удельное термическое сопротивление, соответствует удельному сопротивлению в электротехнике
Теперь предположим, что стенка состоит из нескольких,

например трех, слоев различных материалов, характеризующихся коэффициентами теплопроводности Х\, Х2 и Х$.

Если предположить, что температура на стыках слоев

4>2 и (рис. 1-2), то уравнение (1-8) -можно составить

для каждого из слоев:
Это уравнение позволяет определять количество передаваемого тепла по температурам на противоположных поверхностях стенки 1у)\ и 4. Термическое сопротивление

многослойной стенки равняется сумме термических сопротивлений каждого слоя. Поэтому в рассмотренном случае

можно применять тот же закон, что и для сопротивлении,

включенных последовательно, в электротехнике.
В инженерной практике мы чаще всего сталкиваемся

со стенками, разделяющими жидкости или газы. В'этом ,

случае мы не знаем температур на обеих поверхностях

стенки; нам известны лишь температуры жидкостей по обе

стороны стедки. На рис. 1-3 эти температуры обозначаются 1
/
~\3л ч-
Сложив почленно эти равенства, получим:
--------------- page: 30 -----------
буквами 1\ -и и. Определяя температурное поле в жидкостях,

мы получаем кривые, изображенные на рисунке. Температурный градиент заметен лишь в сравнительно тонком слое

у самой поверхности стенки, тогда как на больших расстояниях от стенки в большинстве случаев существуют только

незначительные разности температур. Для простоты эту

температурную кривую можно заменить пунктирной ломаной линией. Объяснить это явление .можно, предположив,

что тонкий пограничный слой жидкости (толщиной б7) связан со стенкой, тогда как за пределами этого слоя в ре-
Рис. 1-2. Теплопроводность через многослойную

стенку при стационарном

режиме.
Рис. 1-3. Теплопередача через

плоскую стенку при стационарном

режиме.
зультате хаотических движений в жидкости разности температур не существует. Как мы увидим далее, это слишком упрощенная картина гораздо более сложного процесса,

однако она объясняет основные явления и обладает преимуществом исчерпывающей ясности. В пограничном слое

передача тепла осуществляется путем теплопроводности,

как в твердых телах. Поэтому температурный градиент

в слое изображается прямой и перенос тепла описывается

уравнением (1-6), в которое необходимо подставить значение коэффициента теплопроводности жидкости или газа к

и толщину пограничного слоя 6'.
Таким образом, для количества тепла, подводимого,

к поверхности стенки, получаем следующее уравнение:
= , (1-12)
Количество передаваемого тепла С} можно определить,

зная толщину пограничного слоя 6', Последняя, однако,
29
--------------- page: 31 -----------
в значительной степени зависит от характера движений

жидкости, например от скорости движения жидкости вдоль

стенки, от формы самой стенки, от поверхности стенки и от

других подобных факторов. В практике расчеты обычно

производят, пользуясь величиной отношения У6' без определения истинной толщины пограничного слоя б. Это отношение называется коэффициентом теплообмена

и обозначается буквой а. Таким образом, получаем аналитическое выражение
0
которое было найдено еще Исааком Ньютоном (1643—

1727). Сначала считали, что коэффициент теплообмена а

характеризует собой свойство текущей жидкости или газа.

Лишь благодаря сравнительно недавним изысканиям в теории теплообмена был выяснен сложный характер этой величины. В настоящей книге вопросу определения коэффициента теплообмена посвящена целая большая глава. Порядки величин коэффициента теплообмена, встречающиеся

в технической практике, приводятся в табл. 1-1. Она дает

представление об относительной величине этого параметра.

Так как коэффициент теплообмена является частным от

деления коэффициента теплопроводности на толщину пограничного слоя, следует ожидать, что газы, которые обладают небольшой теплопроводностью, имеют меньший коэффициент теплобмена, чем жидкости. Табл. 1-1 подтверждает этот вывод.
Таблица 1-1
Порядок величины коэффициентов теплообмена,

ккал!м2чград
Движущийся воздух .
Движущаяся вода
Кипящая вода
Конденсирующиеся водяные пары
Применяя уравнение (1-13) к условиям, существующим

у обеих поверхностей стенки, на рис. 1-3, получаем:
^ — а2^ (^щ,2
При стационарном режиме количества передаваемого тепла в

том и другом случаях должны быть равны. Эти два уравре*

30
--------------- page: 32 -----------
Шя также Можно записать в форме, соответствующей формуле закона Ома:
а,Л
(1-14)
Отношение 1/а А называется термическим сопротивлением

теплообмена Я(:
*<=^Г-
Сложив почленно уравнение (1-8) с уравнениями (1-14), можно

установить зависимость между количеством передаваемого

через стенку тепла и температурами и (рис. 1-3):
1,-1 , =—*—<Э;
1
I
= (Я„+Яв + Я«)<Э = Я0<Э-
Сумма частных термических сопротивлений равна общему термическому сопротивлению теплопередачи Я0. Таким

образом, и в этом случае применим тот же закон, что и для

электрических сопротивлений, включенных последовательно. В большинстве случаев практических расчетов вместо

термических сопротивлений применяются коэффициенты

теплопроводности и теплообмена. Тогда будут справедливы

следующие равенства, легко получаемые из уравнения

(1-16):
<2 = ^4 (*,-*,);
Т=^+Т+аТ-
Величина к называется коэффициентом теплопередачи и имеет размерность ккал/м2-ч-град. Если стенка
31
--------------- page: 33 -----------
состоит из йесколькиХ слоев с различными коэффициентами

теплопроводности Я. и различной толщиной Ьр то средний член

уравнения (1-18) заменяется суммой Т>Ь./1Г
Пример 1-1. Плоская чугунная стенка толщиной 10 мм омывается

с обеих сторон воздухом; величина коэффициентов теплообмена а\ — а2

равна 10 ккал/м2 • ч- град (табл. 1-1). Определить общее термическое

сопротивление теплопередачи и коэффициент теплопередачи. Коэффициент теплопроводности стенки Я=45 ккал/м • ч - град. Из уравнения

(1-16) следует:
1

Коэффициент теплопередачи
1
к = л/Г=()~2002 ^ 5 ккаА)м2’Ч'град.
Таким образом, термическое сопротивление чугунной стенки совершенно

незначительно, и если необходимо усилить тепловой поток, бесполезно

уменьшать это сопротивление. Однако необходимо увеличить коэффициент теплообмена.
Пример 1-2. Чугунная стенка толщиной 10 мм и алюминиевая

стенка толщиной 20 мм положены друг на друга таким образом, что

между ними имеется воздушная прослойка толщиной 0,01 мм. Определить общее термическое сопротивление этой многослойной стенки. Из

уравнения (1-11) и табл. П-1 и П-4 (приложение) находим:
_ 1 (Ьх Ь2 6а \
^ А (X, +Х2 + А3/|- А ^ 45 _г 196 + 0,021 )
1
= —д (0,000222 + 0,000102 + 0,00047) ч • град/ккал.
Таким образом, на величину общего термического сопротивления- рассматриваемой многослойной стенки большое влияние оказывает воздушная прослойка, которой .невозможно избежать даже при самой тщательной пригонке двух стенок. Термическое сопротивление без наличия
воздушной прослойки равнялось бы -д (0,000222+ 0,000102) ч • град/ккал,
что составляет менее половины предыдущего.
1-4. ПРЯМОТОК, ПРОТИВОТОК, ПЕРЕКРЕСТНЫЙ ТОК
В предыдущем параграфе рассматривались вопросы

теплопередачи между двумя газами или жидкостями при

условии, что температуры на обеих сторонах разделяющей

стенки постоянны по всей поверхности А. В действительно-
32
--------------- page: 34 -----------
ста Темпёр&туры двух жидкостей при движении вдоль омываемых поверхностей меняются в результате процессов

теплообмена. Поэтому в формулах предыдущего параграфа следует применять значение усредненного температурного! напора. Вычислим этот

у с р е дн е н н ьий температурный

напор. Прежде всего следует

рассмотреть случай, когда обе

жидкости, омывающие поверхности стенки, текут параллельно в одном и том же направлении (рис. 1-4); такая

•схема движения называется

прямотоком. На рис. 1-4 показан также график изменения

температур обеих жидкостей

по мере их движения вдоль

омываемой поверхности А.
Выделим элемент поверхности йА. Температуры жидкостей по обе стороны этого элемента ^ и ^ Пусть разность

температур жидкостей равна А1. Тогда
Ы —
Количество передаваемого тепла через участок йА определяют из уравнения (1-17), а именно, применяя принятые

обозначения:
АС1 = кйАЫ.
Коэффициент теплопередачи к принимается "постоянным для

всей омываемой поверхности. Вследствие теплообмена более

горячая жидкость охлаждается На (II. Поэтому справедливо

следующее равенство:
= — тхсх(И^
где т1 — масса жидкости, протекающей над омываемой поверхностью за единицу времени (весовой расход жидкости), а

Л — теплоемкость жидкости. Коэффициент т1сх представляет

собой водяной эквивалент или теплоемкость жидкости, протекающей над поверхностью за единицу времени. Из уравнения
А0. — тгслй1^
3-308
Рис. 1-4. Теплопередача при

прямотоке.
--------------- page: 35 -----------
где т2 и с2 — соответственно весовой расход и теплоемкость

второй жидкости, следует, что более холодная жидкость

нагревается на <Н2. Дифференцирование уравнения (1-19) дает:
й(М) = И1 — й1ш.
Если в это уравнение подставить выражения дифференциалов

температуры из уравнений (1-21) и (1-22), то оно принимает

вид:
(^г+^к)й«=-л с-24)
где о. равно выражению, заключенному в скобки. Уравнение

(1-24) легко интегрируется. Выражая температурный напор в

начале омываемой поверхности А через и в конце — через

Ме, получаем уравнение
Ы.-Ые = №.
Подстановка значения й<3 из уравнения (1-20) в уравнение

(1-24) дает следующее равенство:
Ш1=^-^ЫА, '
а интегрирование по всей поверхности нагрева А с учетом

граничных условий (А = 0 для М = Дг'.) приводит к уравнению
1п-^- =-*кА.
Отсюда температурный напор в конце поверхности нагрева

можно определить из выражения
Ь;е = Ы.е-»кА.
Количество передаваемого тепла через всю омываемую поверхность А можно вычислить из уравнения, получаемого заменой

{*■ в уравнении (1-25) его значением, находимым из уравнения

(1-27):
<*=кАт^г-
Дробь в правой части последнего уравнения представляет

•собой не что иное, как искомый усредненный температурный

34
--------------- page: 36 -----------
напор Ыт. Таким образом, количество передаваемого тепла

можно вычислить при помощи следующих формул:
М
0 = кАЫт,

1п
гН'
(1-30)
(1-31)
Другой т-ип теплообменников строится таким образом,

что две жидкости текут параллельно, но в противоположных направлениях, как показано на рис. 1-5. Такая схема

движения жидкостей называется противотоком.
В этом случае расчет усредненного температурного напора производится таким же

образом, как и для теплообменников с прямотоком, но

в уравнении' (1-22) появляется

минус, так как температура

холодной жидкости падает, если двигаться по поверхности

нагрева А в положительном

направлении. Значение \х находится из выражения
I
*
т1с1
(1-32)
противотоке.
Приведенные в параграфе формулы (1-28) — (1-31) считаются справедливыми и для противотока.
Среднелогарифмический температурный напор, вычисленный из уравнения (1-31), бывает всегда меньше среднего арифметического Мм между начальным и конечным

температурными напорами
Д^+ Ые
м'
(1-33)
Отношение а (среднелогарифмического значения [уравнение (1-31)] к среднеарифметическому зависит от величины отношения температурных напоров А^/А4, как это видно из табл. 1-2. Эту таблицу можно использовать для более простого определения среднелогарифмического температурного напора по среднеарифметическому путем умножения последнего т коэффициент а, приведенный в таблице, - *
3*
--------------- page: 37 -----------
Таблица 1-2
Отношение а среднелогарифмического температурного напора

к среднеарифметическому температурному напору Им

при прямотоке и противотоке1
д^_

а
“1
Мс
а
Д 1{
ме
а
ме
а
1,0
1,000
2,0
0,962
3,0
0,910
6,0
0,798
1,2
0,998
2,2
0,952
3,5
0,889
7,0
0,770
1,4
0,991
2,4
0,942
4,0
0,867
8,0
0,748
1,6
0,981
2,6
0,928
4,5
0,846
9,0
0,729
1,8
0,971
2,8 ,
0,918
5,0
0,829
10,0
0,710
1 Значения в таблице также справедливы и для обратных величин Ме/М}.
Третья схема движения жидкостей в теплообменниках

такова, что жидкости текут в направлениях, перпендикулярных друг другу. Такая схема называется перекрестным током и показана на

рис. 1-6. Одна из жидкостей

омывает поверхность нагрева

спереди, а другая — сзади и

скорость обоих потоков жидкостей одна и та же. Определить средний температурный

напор в этом случае бывает

гораздо труднее, чем для теплообменников о прямотоком

и противотоком. Такой расчет

был выполнен В. Нусеельтом

[Л. 1]. Как видно из рис. 1-6,

температура обеих жидкостей

в конце пути неодинакова по

всему сечению канала. Средняя температура по сечению

/канала в конце пути обозначается символом '/^Температурный напор в начале пути двух жидкостей, омывающих

поверхность нагрева, находится из выражения
где ^.—начальная температура горячей жидкости;
^ — начальная температура хододиой жидкости, Рис. 1-6. Теплопередача при

перекрестном токе.
--------------- page: 38 -----------
Конечный температурный напор находится из выражения
Ч
где 1{е — средняя конечная температура жидкости, отдающей

тепло;
— средняя конечная температура жидкости, получающей тепло.
В этом случае средний температурный напор зависит

не только от величины отношения А^/Д^?, но также и от

величины отношения т1С\/т2С2 водяных эквивалентов обоих жидкостей. Отношение среднелогарифмического температурного напора Д'^п к среднеарифметическому температурному напору Ым можно определить из табл. 1-3, которая составлена на основании результатов 'исследований

Нуссельта; средний температурный напор определяется,

■ка:к и в случаям прямотока и противотока.
Таким образом, при противотоке можно применять наименьшую поверхность нагрева для данного количества передаваемого тепла и пр,и данных начальном и конечном

температурных напорах.
При прямотоке необходима большая1 площадь поверхности нагрева.
Более того, противоток выгоднее прямотока и в том отношении, что конечную температуру холодной жидкости $2е можно поднять выше конечной температуры горячей

жидкости {1\е (рис. 1-5). Такого же результата можно достичь и с перекрестным током [в области отрицательных

значений Ме/Мг (табл. 1-3)]. Что касается величины поверхности нагрева, то перекрестный ток занимает среднее

положение. Разница в величине поверхности нагрева бывает наибольшей, когда теплоемкости обеих жидкостей

одинаковы. С увеличением теплоемкости одной из жидко*

стей разница в величине поверхности нагрева становится

меньше.
Если же теплоемкость одной из жидкостей становится

бесконечно большой, разницы в величине поверхности нагрева уже не существует. Как показано на рис. Ь7, в этом

случае температура одной жидкости остается постоянной

по всей поверхности нагрева, и здесь уже не имеет смысла

говорить о прямотоке, противотоке или перекрестном токе.

На практике картина, иллюстрируемая на рис. Ь7, получается, например,' при -испарении или конденсации одной

ИЗ жидкостей,
87
--------------- page: 39 -----------
Таблица 1-3
Отношение а среднелогарифмического температурного напора к среднеарифметическому

температурному напору Мм для перекрестного тока (на основании расчетов Нуссельта)
А(т = аЫм
Д/^/Д^*
тхсх\т&ъ
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,5
0,3
0,2
0,1
0
0,2
0,5
1,0
0,998
0,998
0,998
0,998
0,993
0,993
0,993
0,993
0,986
0,987
0,988
0,989
0,978
0,981
0,982
0,983
0,962
0,971
0,977
0,978
0,939
0,958
0,968
0,974
1
0,902
0,936
0,945
0,961
0,836
0,902
0,935
0,948
0,707
0,848
0,913
0,933
т1с1/т2с2
ме/м1
0
—0,1
—0,2
—0,3
—0,4
—0,5
—0,6
—0,7
—0,8
0
0,2
0,5
1,0
0
0,762

0,874 •

0,912
0,630
0,819
0,876
0,750
0,835
0,632 •

0,766
0,519
0,710
0,618
0,500
0,380
0,220
1 Значения этой таблицы справедливы также и для обратных величин
--------------- page: 40 -----------
Если теплоемкость одинакова Для обеих жидкостей, то

три противотоке начальный температурный напор [см.

уравнение (1-25)] равняется конечному температурному
^1е
ке
Ы
Рис. 1-7. Теплопередача при Рис. 1-8. Теплопередача при

бесконечной теплоемкости противотоке и равной тепло-

одной из жидкостей.
напору Л4, так как для этого случая согласно уравнению

(1-32) (л = 0. Среднелогарифмический и среднеарифметический температурные .напоры также имеют одну и ту же

величину:
К = =
В этом случае температуры меняются вдоль поверхности

нагрева по линейному закону, как показано на рис. 1-8.

Поверхность нагрева необязательно должна быть ллоюкой,
%
Че
\Ье
Ч
Противоток
Прямоток
Перекрестный
ток
Рис.*1-9. Противоток, прямоток и перекрестный

ток в системе с пучками труб.
как это показано на рис. 1-4—1-8. Пользуясь выведенными

формулами, можно также рассчитать охлаждение жидкостей или газов, проходящих через пучки труб (рис. 1-9).
39
--------------- page: 41 -----------
Однако, строго говоря, эти уравнения будут справедливы

только для очень большого количества рядов труб, хотя на

практике их можно применять и для небольшого количества труб.
При выполнении предыдущих расчетов (предполагалось,

что коэффициент теплопередачи к имеет постоянное значение на всей поверхности нагрева. Однако часто бывает необходимо делить всю поверхность нагрева на отдельные

участки, для каждого из которых коэффициент теплопередачи можно считать постоянным. Расчеты для каждого из

участков можно производить, пользуясь выведенными формулами.
Расчет теплообмена три прямотоке и противотоке был

произведен также ,и для случая, когда коэффициент теплопередачи меняется прямо пропорционально изменению температуры (Л. 2]. Тогда вместо уравнений (1-30) и (1-31)

необходимо применять формулу
^ —Л 1п к^^М, •-
Кроме того,'расчеты можно производить, пользуясь средним

коэффициентом теплопередачи. Расчетную температуру

при этом необходимо брать из номограмм {Л. 3].
Помимо случаев, рассмотренных в настоящей главе и

иллюстрированных рис. 1-9, на практике встречаются и

другие схемы, как, например, смешанная схема с прямотоком и противотоком. Значения температурных напоров

для подстановки в уравнение (1-30) были вычислены и сведены в но!мограммы Боумэном, Мюллером и Наглем для

большого количества различных сочетаний [Л. 4]. Дополнительные сведения приводятся в главе, посвященной расчету теплообменников.
Пример 1-3. Необходимо нагревать 45 кг воды (//21 = 45 кг) в 1 ч

от 10 до 75° С дымовыми газами с начальной температурой 165° С. Расход ды.мавых газов /л2= 180- кг/ч; удельная теплоемкость газов

ср = 0,25 ккал/кг • град; коэффициент теплопередачи к =*

= 100 ккал/м2 • ч- град. Требуется вычислить величину поверхности нагрева А для прямотока, противотока и перекрестного тока.
Охлаждение дымовых газов можно определить для каждого случая

из уравнения теплового баланса. Поглощение тепла воДой равно:
45
При отсутствии теплопотерь количество тепла, передаваемого дымовыми

газами, должно равняться количеству тепла, поглощаемого водой. На

основании этого можно вычислить конечную температуру дымовых газов
2
40
--------------- page: 42 -----------
При прямотоке справедлива следующая схема распределения температуры по поверхности нагрева:
/165° С -► 100° С \
155° С( 10° С-»75° С ]2о°С-
Таким образом, начальный температурный напор М1 = 155° С и конечный температурный напэр Д^ = 25°С. Среднеарифметический темпе-
155+25 155

ратурный напор Мм~
= 6,2. Из табл. 1-2 находим, что а 0,793. Теперь находим среднелогарифмический температурный напор Мт = 0,798-90 — 72° С Из уравнения (1-30) следует, что
2
А ~~ 100-72,0 ~°>405 м%-
Для противотока получаем следующую схему:
/165° С -» 100° С \
90° С ( 75° С <- 10° С ) 90° С’
где = Д^ = 90°С. Таким образом, М1/Ме = 1; следовательно, и а— 1.

Отсюда среднелогарифмический температурный напор Мт = 90° С, а поэтому
2
^ = 100-90 = 0’325 м%'
Для перекрестного тока имеем:
155 I 25
д^ = 155° С; Ме = 25° С; Мм =
Ые 25

М; 155
165°С
155°С^

Ю°С
75°С
т°с
Интерполированием из табл. 1-3 находим, что я = 0,942, откуда
Мт = 0,942-90 = 84,6° С.
Отсюда находим, что величина поверхности нагрева
2
Л~ 100-84,6 ^~°>345
41
--------------- page: 43 -----------
Результаты показывают, что наименьшая поверхность нагрева требуется при противотоке, а наибольшая — при прямотоке. Если воду необходимо нагревать до более высокой температуры, то величина поверхности нагрева при прямотоке возрастает чрезвычайно сильно. Если

конечная температура воды должна равняться 87,5° С, то конечный температурный напор Ые 'будет равен нулю, а поэтому и протяженность

поверхности нагрева возрастает до бесконечности. Отсюда следует, что

повышение температуры воды выше указанной не может быть достигнуто прямотоком, а лишь .противотоком или перекрестным током.
ЗАДАЧИ
1-1. В этой главе было показано, что термическое сопротивление

многослойной стенки может быть вычислено так же как последовательное соединение электрических сопротивлений.
Покажите, что подобная аналогия существует между электрическим

параллельно включенным сопротивлением и термическим сопротивлением стенки толщиной 6, составленной из различных материалов так,

что площадь поверхности разделена на участки Ли Л2у..., Лп и каждый

участок по всей толщине Ъ сохраняет однородность материала.
1-2. В теплообменнике с перекрестным током при атмосферном давлении нагревают 10 кг/сек воды от 26 до 100° С, затем испаряют и доводят перегрев до 126° С. Нагревающей средой служат топочные газы,

проходящие со скоростью 45 кг/сек при начальной температуре 650° С.

Коэффициент теплообмена для всей площади равен 170 ккал/м2 • ч • град.

Требуется вычислить площадь теплообменника.
1-3. Составьте дифференциальные уравнения и установите граничные условия для вычисления температурного поля в теплообменниках

с перекрестным током. Как изменяются дифференциальные уравнения,

если одна среда постоянно смешивается в пределах каждого поперечного сечения нормального ненаправленного потока?
--------------- page: 44 -----------
ЧАСТЬ А
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
В следующих четырех главах рассматриваются физические явления, физические законы, физические свойства и

их математические формулировки, знание которых необходимо при изучении .процесса теплопроводности. Тепловой

поток в твердых телах обусловливается исключительно

теплопроводностью, в то время как в жидкостях и газах

действуют одновременно процессы теплопроводности, конвекции и теплового излучения. Наибольшее внимание уделяется рассмотрению твердых тел, ибо все предыдущие

рассуждения и результаты рассмотренных задач в предыдущих главах, посвященных теплопроводности, применимы

ко всем твердым телам. В отдельных особых случаях, когда невозможен конвективный теплообмен, а тепловое излучение ничтожно мало,, допустимо использовать понятие

теплопроводности применительно также к жидкостям и

газам. Изучение теплопроводности в твердых телах целесообразно разбить на четыре самостоятельных раздела:

1) Теория теплопроводности и уравнения теплопроводности, 2) Теплопроводность в условиях стационарного режима, 3) Теплопроводность в условиях нестационарного

режима и 4) Теплопроводность с движущимися границами.

Эти подразделения выбирались произвольно и служат для

систематизации излагаемого материала.
Теплопроводность с макроскопической, феноменологической точки зрения легко можно понять без привлечения

микроскопического представления явления теплопроиззод-

ности в твердых телах. Не следует все же считать, что физика твердых тел не играет .никакой роли, поскольку эта

наука также имеет будущее. Для глубокого понимания

науки о тепло- и массообмене необходимо всесторонне

знать как микроскопическую точку зрения, так и макроскопическую. В последующих главах теплопроводность бу43
--------------- page: 45 -----------
дет рассматриваться на основе макроскопической феномё^

нологической теории. При таком подходе к решению .поставленной задачи физические .понятия легко воспринимаются, но

математическое выражение таких «понятий, как температурное пол^, интенсивность теплового потока, температурно-временная зависимость и т. д., обычно очень сложное.

Встречаются чисто математические трудности, но это

отнюдь не означает, что излагаемый в книге материал изобилует ими. Более сложные задачи и задачи с граничными

условиями читатель найдет в .превосходной книге Карслоу

и Егера [Л. 5].
Исключая один-два случая, полагается что теплопроводность не зависит от температуры. Такое предположение

не только упрощает математическое описание, но является

и допустимым приближением при решении различных физических задач в случае небольших колебаний температуры. При решении задач, связанных с химическими реакциями или фазовыми превращениями, не следует пренебрегать температурной зависимостью. Поэтому при выборе

физических постоянных необходимо тщательнейшим образом всесторонне разобраться в каждой поставленной задаче с точки зрения физики. Задачи теплопроводности обычно затрагивают 'конвективный или лучистый теплообмен

в тех случаях, когда устанавливаются соответствующие

граничные условия. При рассмотрении задач теплопроводности, в которых учитывается конвективный теплообмен,

полагается, чго коэффициенты теплообмена известны.

Сущность коэффициентов теплообмена и способы их определения устанавливаются в главах, посвященных конвективному теплообмену.
ГЛАВА ВТОРАЯ

ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И УРАВНЕНИЯ

ТЕ ШЛО П РО ВО Д Н ОСТ И
2-1. ПОНЯТИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

*
Принятая теперь теория тепла ассоциируется с понятием тепловой энергии вещества, которую в термодинамике

связывают с физическим или химическим состоянием вещества —положением и ( движением молекул и атомов

в теле. Кинетическая теория тепла дает .несколько весьма

важных выводов, которые обычно подтверждаются опытом.

44
--------------- page: 46 -----------
1.
пательным, вращательным и колебательными движениями

молекул, атомов и их составляющими, то теплопроводность совершенно определенно может быть отнесена

к этим видам движения.
2.
сивность и частота движения ‘молекул и атомов: поэтому

теплопроводность будет увеличиваться с повышением температуры Ч
Согласно теориям тепла и строения вещества теперь

принято считать, что теплопроводность в аморфных твердых телах, жидкостях и газах является результатом непосредственного переноса молекулярного (или атомного)

движения от молекулы к молекуле в соприкасающихся поверхностях. Этот способ теплообмена часто представляют

как процесс диффузии тепла. В веществах с более сложной структурой, таких, например, как кристаллы, движения атомов превращаются в колебательные движения всего каркаса кристалла.
Твердые тела. В соответствии с последними данными

теории теплопроводности в твердых телах проводят четкое

‘разграничение между диэлектриками (неметаллами) и металлами, таким образом эти вещества вообще имеют более высокую теплопроводность. В диэлектриках теплообмен осуществляется колебаниями атомов кристаллической

решетки.
В металлах и других твердых проводниках электричества передача тепла осуществляется колебаниями кристаллической решетки и свободными электронами. Таким образом, эти вещества вообще обладают большей теплопроводностью.
Жидкости. Процессы фазовых изменений — от твердого

тела к жидкости — предполагают изменение от состояния

относительно упорядоченного расположения молекул к неупорядоченному состоянию. Это изменение фазы порождает существенные изменения в молекулярном строении.

Оно ослабляет молекулярные связи, нарушает состояние
1
сталлов и металлов уменьшается от минимального значения при очень

низких температурах до точки плавления. 2. Теплопроводность большинства жидкостей понижается с уменьшением температуры. Однако в некоторых жидкостях, таких как вода, она увеличивается с повышением

температуры в некотором температурном диапазоне и уменьшается

в другом.
45
--------------- page: 47 -----------
'Твердого тела и создает возможность теплового движения

молекул. Эти изменения приводят к заключению, что

жидкость может быть совершенно подобна газу в том отношении, что молекулы в жидкости находятся полностью

в хаотическом состоянии, но группируются на средних

межмолекулярных 'расстояниях, меньших, чем .молекулы

газа.
Этот вывод не является абсолютно бесспорным, поскольку вблизи точки плавления жидкое состояние не может очень отличаться от твердого и, следовательно, :нет

условий для свободного молекулярного движения. По этой

причине в основе современных теорий лежит положение,

что строение жидкостей более напоминает строение твердых тел, чем строение газов, и сохраняет видимость порядка в большей степени. Это представление подтверждается

такими экспериментальными данными, как 'рентгеновские

дифракционные Измерения.
Газы. Процесс испарения ослабляет межмолекулярные

связи, которые существуют в жидкостях, и увеличивает

межмолекулярные расстояния до такой степени, что молекулы обретают возможность свободного движения в любом направлении. Единственным препятствием на их пути

могут быть только другие молекулы, с которыми они могут

столкнуться. Газ вблизи любой границы поверхности имеет

случайное распределение молекул. В этом случае все свойства и особенности газа можно объяснить кинетической

теорией газов. Иными словами, теплопроводность в газах

можно сравнивать с процессами, молекулярной диффузии

от более горячих слоев -к более холодным, при этом теплопроводность в газах обусловливается обменом местоположения и энергией молекул.
Существуют и другие представления о физической сухц-

носги переноса тепловой энергии; однако в любом случае

перенос энергии связывают с теплом и процесс переноса

«энергии называют теплопроводностью.
Хотя даже основной механизм теплопроводности неполностью ясен, но тем не менее гипотезы, на которых зиждит-

ся наука о теплопроводности, основываются на экспериментальных наблюдениях.
Последовательное применение этих гипотез как основ

для математического анализа, который подтверждается

экспериментальными данными, само по себе уже достаточно, чтобы установить закон, характеризующий перенос.

Установленный таким образом основной закон полностью
46
--------------- page: 48 -----------
соответствует классической термодинамике. Все вышеуказанное в меньшей мере касается физической природы

теплопроводности и главным образом иллюстрирует применение основного закона теплопроводности к теплопере-

носу в системах.
2-2. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В соответствии со вторым законом термодинамики

тепло распространяется от одного тела к другому (или от

одной части тела к другой части того же тела), если существует разность температур. При этом поток тепла направлен от точки с большей температурой к точке о меньшей

температурой. В соответствии с первым законом термодинамики (сохранение энергии) поток тепловой энергии сохраняется при отсутствии источников тепла цри стоков.

Поэтому в твердом теле имеет место распределение температур, которое зависит от пространственных координат и

времени наблюдения:
Можно предполагать, что в этом случае в твердом теле

есть такая поверхность, при наблюдении за которой в определенное (время окажется, что все ее точки имеют одинаковую температуру. Такая поверхность называется изотермической поверхностью. Можно обнаружить

другие изотермические поверхности внутри этого тела, температуры которых отличаются от температуры указанной

поверхности на величину +6^. Эти изотермические поверхности никогда не пересекаются, так как никакая точка, не

существует .в 'этом твердом теле при двух разных температурах в одно и тоже время. Таким образом, твердое тело

представляется нам как бы составленным из некоторого

числа произвольно тонких изотермических оболочек, которые, конечно, изменяются со временем.
Далее рассматриваются только изотропные твердые

тела, т. е. такие твердые тела, (Свойства которых и их

структура в окрестности любой точки не зависят от направления. В этом случае вследствие симметрии поток

тепла в точке обязательно имеет направление, перпендикулярное к изотермической поверхности через точку. Это положение будет обсуждаться ниже.
47
--------------- page: 49 -----------
Математическая формулировка закона теплопроводности может быть выражена следующим образом:
(2-1)
Уравнение (2-1) можно пояснить, воспользовавшись

рис. 2-1. Поток тепла С}/А протекает по (перпендикуляру п

к площади А в направлении уменьшения

температуры, т. е. в направлении отрицательного градиента температуры. Знак

■минуса в уравнении (2-1) указывает

на то, что поток тепла идет по направлению отрицательного градиента ,и служителя того, чтобы сделать поток тепла

в этом смысле положительным. Коэффициент пропорциональности X <выра-

жает теплопроводность и является

характеристикой материала, через который проходит поток тепла.
Для бесконечно малой площадки,.вьи-

деленной из пл'ощади, уравнение (2-1) можно записать

в виде:
Рис, 2-1. К выводу

закона теплопроводности.
щ = — ХйА^-
(2-2)
Уравнения (2-1) и (2-2) обычно приписываются французскому математику Жану Батисту Фурье и в его честь названы уравнениями теплопроводности Фурье.
Количество тепла, проходящее за час через единицу

площади любой поверхности, называется удельным потоком тепла # и измеряется в ккал/м2 • ч.
Поток тепла — вектор, иными словами, он должен характеризоваться как величиной, так и направлением.
Тепловой поток может быть определен вдоль любого

направления через площадь, перпендикулярную этому направлению.
На рис. 2-2 показаны изотермы тела I и '1+41. Перпендикуляр к этим изотермам обозначен лучом п, который

является также перпендикуляром и к элементу площади йА. Поток тепла по перпендикуляру -и в направлении 5

можно вычислить следующим образом:
п
ал
--------------- page: 50 -----------
Легко показать, что п = 8 соза. Поэтому
= — ХШГс08а*
Или иначе, является составляющей вектора теплового

потока <7П.
Из уравнения (2-3) следует, что самым большим потоком тепла будет тот, который рассчитан вдоль ,н,ормали

к изотермическим поверхностям. В частности, если составляющие потоки относятся к плоскостям, имеющим системы

координат ху у, г, то это будут потоки
*
Ух~~ дх~ ’ Чу ~ ду~’ У г ~ Иг' ()
Потоки, выраженные уравнением (2-4), являются составляющими вектора теплового потока
Теплопроводность. Следует отметить, что коэффициент

теплопроводности X необязательно должен 'быть постоянным. В действительности теплопроводность является функцией температуры для всех фаз, а в жидкостях и газах зависит также от давления, особенно вблизи к критическому

состоянию. Теплопроводность в дереве и кристаллах также

заметно 'меняется от направления. Так, например, теплопроводность в дереве поперек волокна по сравнению

с теплопроводностью дерева вдоль волокна изменяется на

множитель от 2 до 4.
Зависимость теплопроводности от температуры для отдельных небольших диапазонов температуры может быть

приемлемо выражена в линейном виде:
* = Яв(1+р*),
где Я0 — величина теплопроводности при некоторых начальных

условиях;
Р — температурный, коэффициент, он может быть положительным или отрицательным в зависимости от

материала.
Рис. 2-3 показывает изменение температурного градиента в теле в зависимости от того, положительно или отрицательно р.
Легко понять, что линейный градиент температуры существует только при постоянной теплопроводности.
4—30§
--------------- page: 51 -----------
Интересно отметить, что уравнение Фурье для теплопроводности совершенно аналогично закону Ома для электрического проводника. Закон Ома для1 проводника любой

формы можно выразить так:
ё/ = -ас1А§-.
В уравнении (2:6) электрический' ток соответствует .потоку тепла <2, электрический потенциал Е соответствует температуре I и электропроводность а (а = //р, где р—электрическое сопротивление) соответствует теплопроводности.

Поскольку уравнения (2-2) и (2-6) имеют один и тот же
Рис. 2-2. Направление потока Рис- 2-3. Распределение
температуры в простой

в тепла.
вид, то температурное поле внутри нагретого тела и поле

электрического напряжения в телах такой же формы аналогичны при условии, что распределение температур на

поверхности соответствует поверхностному распределению

электрического напряжения. Эта аналогия способствует более детальному уяснению задач теплопроводности при помощи подобных электрических цепей.
2-3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В этом разделе приводится вывод уравнения теплопроводности в виде дифференциального уравнения в прямоугольной системе координат. Дифференциальный вид уравнения теплопроводности является наиболее удобным*
50
--------------- page: 52 -----------
Уравнение теплбйровоДнбсти ДЛя изотропных материалов. Рассмотрим бесконечно ма- *

лый объем пространства с измерениями ,§х, б у и бг, изо-^

браженный в трехмерной

системе координат х, у и г,

как показано на рис. ,2-4.
Рассмотрим также и нестационарные условия, т. е. изменение температуры времени т.
Согласно закону теплопроводности Фурье . тепло,

протекающее в элементарный объем вдоль оси х,

можно записать в виде:
й<}х = -ЩЪг^.
Величину теплового потока, выходящего из объема вдоль оси х, можно

получить, ра:злагая
только первые два члена, как достаточное приближение:
= ^х + 5Г §ЛН~ • • •
Приращение потока тепла, вызванного теплопроводностью

в направлении х, будет:
л(1~йЧ,+ь, = -§;(>-шУхЬ«Ьг- <2'7)
Два уравнения, подобных уравнению (2-7), для направлений у и 2 можно записать- подобным же образом:
Сумма приращений тепловых потоков является тем количеством тепла, которое должно накопиться в объеме:
Рис. 2-4. К выводу уравнения теплопроводности.
[й-(*!-)+зНдчг)+5г (*'§)]и8"!г- <2-8>
4*
--------------- page: 53 -----------
Ёслй за едйницу времени в едикйЧном объеме возникает

количество тепла С?' (л:, у, г, -с), тогда накопление тепла в

элементарном объеме будет равно:
С?ЪхЪуЪ2.
Тепло, которое осталось в элементе объема благодаря проводимости [уравнение (2-8)] и тепло, выделившееся в самом

объеме [уравнение (2-9)], увеличивает тепловую энергию элемента объема. Такое увеличение тепловой энергии вызывает

изменение теплоемкости элемента объема и может быть записано:
фхЬуЬг^,
где с — удельная теплоемкость;

р — плотность;

ъ — время.
Баланс энергии для элемента объема может быть составлен путем приравнивания изменения содержания тепла в элементе объема к потоку тепла, поступающему благодаря теплопроводности и теплу, образовавшемуся в самом элементе:
<2-п>
Здесь следует отметить, что
Х — Х(х, у, г, 1)\ с = с(х, у, г, I) и р = р(х, у, г, I).
Таким образом, (2-11) справедливо для изотропных, гетерогенных сред.
Если член уравнения, выражающий тепловыделение в объеме,

можно опустить (тело свободно от источников), то (2-11)

можно записать в проекции на три оси координат как
Это выражение носит более общий характер и будет полезно

в разделе, посвященном неизотропным материалам.
Уравнение (2-11) можно упростить применительно к изотропным однородным материалам, и если величина теплопроводности считается величиной постоянной; таким образом,
X гдН , дч , дч 1 , <Э'
52
--------------- page: 54 -----------
Комплекс к/рС имеет размерность,квадрата Линейногб

измерения, деленного на время, и называется температуропроводностью а. Он характеризует свойства материалов.
Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат. При помощи преобразования системы координат (2-13) можёт быть записано

в виде, более удобном для цилиндрической системы. Таким образом, в соответствии с рис. 2-5
Уравнение теплопроводности в сферической системе координат. Подобное преобразование для

сферической системы (рис. 2-6) приводит к следующим выражениям:
лг=/'81пфсо8 9; у = г8шфзт9; г~гсозф;
Уравнение теплопроводности для анизотропных материалов. В предыдущем разделе получено уравнение теплопроводности для изотропных сред.
2
/
\
\
ч
/
Рис. 2-5. Цилиндрическая

система координат.
Рис. 2-6. Сферическая система

координат.
;е = гсоз8; у = гзтб; г — г\
(2-15)
53
--------------- page: 55 -----------
Некоторые, технически ва&йЫе слоистые материалы имейт

теплопроводность весьма заметно изменяющегося в зависимости от направления «потока тепла, «проходящего через

тело. К этой категории материалов относятся кристаллические вещества, дерево, сложные пластинки и (металлы, использующиеся в якорях трансформаторов, и фанера. Что-

бы применить к этим анизотропным материалам уравнение

теплопроводности, его необходимо соответственно пересмотреть. Обычная форма этого уравнения очень сложная

[Л. 5] и поэтому не рассматривается в этой книге; однако
основные понятия будут рассмотрены в случае двухмерного

измерения.
Теплопроводность в случае двухмерного измерения распределена таким образом, что максимальные и минимальные значения имеют место по «предпочтительным» осям

или, как их называют, главным осям. Величины теплопроводности в других направлениях имеют промежуточные значения. Распределение теплопроводности можно

представить эллипсом, оси которого соответствуют максимальному и минимальному значениям теплопроводности.
Рассмотрим тело, расположенное в (х, у) системе координат (рис. 2-7), которая образует угол р с главными

осями теплопроводности материала. Система координат

(?> ц) совпадает с главными осями теплопроводности. Потоки тепла через тело в направлении координат и ц:
х
Рис. 2-7. Поток тепла в анизотропной

среде.
54
--------------- page: 56 -----------
Потоки в направлениях х и у будут:
+ 5*П Р
Ё. •

дп ’
Я
^ = ^8Шр + «чС08р = — 51ПР~ —
%

К
дп
(2-16)
Температурный градиент может быть преобразован в градиенты х и у следующими_соотношениями:
д^
дх ' дуд% ’
д1
дЧ~ дх ди) ' ду дг)
и согласно геометрии фигуры
у = X зш р = соз Р; л;=:?созр = — ^зтр.
Подставляя эти значения в уравнения (2-16) и преобразуя

их, получаем для потоков тепла
<7* = — (яеС083Р+Ят8!п2Р)|1 ~~ (я^—яч)С08Р51п^;
Яу = — ~ *,) «о Р С08 Р %с~ (яг 51п2 р + Хп соз2 р. (2-17)
Применяя уравнения теплопроводности в общем виде [уравнение (2-12)] тепловых потоков [уравнение (2-17)], можно написать уравнение теплопроводности в двух измерениях для

неизотропных материалов в виде:
>с 5Г С05‘ Р +1, 5'"' Ш‘+
+ (Л, вш* (1+1, соз1 Р) |р+(I, - уяп 2Р Д. (2-18)
Для изотропной среды Я, = Я^ и р = 0. Для этих условий

уравнение (2-18) сокращается до двухмерного уравнения (2-13).
Интересно отметить, что если ^пластинку из анизотропного материала зажать между изотермическими поверхностями испытываемой тегугапро,водящей системы и если пла-
55
--------------- page: 57 -----------
стана образца приготовлена так, что ее глав.ные оси составляют угол р с изотермическими поверхностями, то измеряемые теплопроводности (зависящие от того, проводились ли измерения по направлениям х или у) выражаются как
Хх = Xе соз2 р -{- Х^ зт2 р;
Ху = Х^ 81П* Р + Л соз2 р.
Если геометрические оси анизотропного тела совпадают с

главными осями теплопроводности, тогда уравгение (2-18)

упрощается:
д1 * дЧ , - дЧ
(2'19)
Для древесины, которая имеет различную теплопроводность

вдоль волокна г и поперек волокна г и по окружности 0,

можно использовать идею уравнения (2-19) применительно к
Рис. 2-8. Вектор потока тепла в слоистом

материале.
уравнению (2-14), располагая ось г по линии центра дерева

и пренебрегая членом, выражающим источник тепла: таким

образом, в цилиндрических координатах
рс д±=— А (г
^ дъ г дг \ дг ) г2д02 ‘ *дг
Пример 2-1. Плита (пластина) слоистого материала используется

в опыте на теплопроводность. Слои составляют угол р с гладкими поверхностями образца (рис. 2-8), Поверхности А сохраняют постоянную,

но различную температуру и, таким образом, являются изотермическими

поверхностями. Требуется вычислить угол, составленный вектором тепло-
56
--------------- page: 58 -----------
Лого йотока с йерйендикуляром & к изотермическим Поверхностям. ЙЗ

рис. 2-8 можно сделать вывод, что для
Яп \ д*1дг1

^ ~ Ц д*1д1 ■
Но на основании более ранних расчетов
д1 д* , д^
дт, - ^Р^ЗГ+С°*Р ду >

д1 . д1 , д1
[соз р (61/ду) — 51П р (д*1дх)]
^ ^ ~ [соз р (д1/дх)— зш § (д^ду)] *
Однако в рассматриваемой здесь системе граничные поверхности остаются-

изотермическими: т. е. ось координат у находится в направлении перпендикуляра п их лежит в изотермической плоскости. Отсюда с№/дх=0,

и выражение (а) принимает вид:
^7]
Следовательно, у <С ос и вектор теплового потока не перпендикулярен

к изотермической поверхности, как это имело бы место, если бы материал был изотермическим. Если 2А^ среда—дерево и р = 45°, тогда
1
7=26,6°.
отсюда
ЗАДАЧИ
2-1. Предложите метод измерения теплопроводности жидких металлов при высоких температурах. Укажите схематически основные части

прибора и определите погрешность предложенного измерения.
2-2. Используя цилиндрическую систему координат, разверните уравнение (2-14) по образцу уравнения (2-11).
2-3. Используя сферическую систему координат и малый элемент

объема в этой системе координат, разверните уравнение (2-15) по образцу

уравнения (2-11).
2-4. Составьте уравнение теплопроводности для анизотропной среды

в трех измерениях, полагая, что
57
--------------- page: 59 -----------
РлАвА ТРЁТЬ#
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ пт СТАЦИОНАРНОМ

РЕЖИМЕ
3-1. РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОГО
РЕЖИМА
Для тел простой формы, таких <как стена, полая труба,

полый шар .в случае стационарного одномерного распространения тепла, уравнение теплопроводности значительно

упрощается.
Плоская стена (плита). В плоской стене с постоянной

теплопроводностью толщиной I и с бесконечной протяженностью в другом измерении (рис. 3-1) тепловой поток в рассматриваемой области действительно одномерный. Поэтому такое тело удобно рассматривать в прямоугольной

системе координат. Если в стене отсутствуют источники

тепла и поток тепла стационарный и одномерный, то уравнение (2-13) примет вид:
& = <>■ <3'1>
решение которого будет:
(— С Хх -(- С2.
Постоянные Сх и С2 можно вычислить из граничных условий

определяющих температуру поверхностей х = 0 и х = 1.

Используя эти условия, получаем выражение для распределения температур в стене:
ъ=*ГТ-
Поток тепла через стену можно получить из закона теплопроводности Фурье:
«=-М^=-М'^=!0.' (3-3)
Итак, снова уместно отметить совпадение по форме

уравнения (3-3) с обычным законом Ома. Член 1/ХА является эквивалентом электрического сопротивления' и соответственно называется тепловым или термическим соп рот и® л е!нием.
53
--------------- page: 60 -----------
Труба. Трубу (рис. 3-2) или полый цилиндр удобно рассматривать в цилиндрической 'системе координат. Рассматриваемый случай — стационарный режим, постоянные свойства и отсутствие источников

тепла. При этих и других ограничениях поток тепла имеет
Рис. 3-1 Теплопроводность в плите

при • стационарном

режиме.
Рис. 3-2. Теплопроводность через толстостенную трубу

при стационарном

режиме.
только радиальное направление (это обусловливается значительной длиной трубы по оси), уравнение (2-14) упрощается до обыкновенного дифференциального уравнения
4?
а'г2 * г йт'
=0,
(3-4)
решение которого имеет вид:
—{— С2'
Граничные условия состоят в задании температур I. и на

радиусах г. и г0 и позволяют вычислить постоянные Сх и С2,

дающие в пределе выражение для радиального распределения

температуры в трубе
1п (г//-,)
1—1 о 1п(г;/гв) •
(3-5)
Тепловой поток поперек сечения стен трубы определяется

законом Фурье; одтако площадь, нормальная к ректору теплен
«8
--------------- page: 61 -----------
вого потока, изменяется вместе с радиусом и ее следует учитывать. Таким образом,
(2 = -1Л(г)^=-Я(2«г1>Л
йг
(3-6)
где ^ — длина трубы по оси.
Продифференцировав уравнение (3-5) и подставив этот результат в уравнение (3-6), 'получаем:
(?=■
* I
(1/2кМ)1п(г0/г;)
(3-7)
Уравнение (3-7) аналогично уравнению (3-3) для плиты. Отличается оно только выражением

для теплового сопротивления
1
1п —
2тлХЬ г/
Многослойная труба (рис. 3-3).

Как и в случае многослойной

стенки, можно рассматривать и

многослойную трубу. С точки

зрения физики это может быть

труба с различными видами изоляционных оболочек. Поток тепла может быть определен так же,

как и !в случае плиты, состоящей

из ряда последовательно соединенных тепловых сопротивлений.
Рис. 3-3. Теплопроводность

в сложной трубе при стационарном режиме.
<э=-
1
1п~
1
1п-
—1—1 ГЛ

1п г3
(3,8)
Промежуточные температуры, так же как и для плиты,

можно легко определить.
Шар. Распределение температур и величину теплового

потока через стенки полого шара можно вычислить из

уравнении (2-15) и закона Фурье, примеряя аналогичные

60
--------------- page: 62 -----------
допущения, как и в случае плиты и трубы. Полученное таким образом распределение температур
Выражение для составного шара легко находится из уравнения (3-10) таким же образом, как и из уравнения (3-8).
3-2. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ГРАНИЧНЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ
Основной задачей изучения теплопроводности является

определение температурного поля и .величины теплового

потока внутри тела. При этом условия на поверхности оказывают существенное влияние. Граничные условия могут

быть заданы распределением температур на поверхности

либо плотностью теплового потока в любой точке поверхности.
Если сопротивление потоку тепла в теле намного меньше, чем сопротивление конвекции на поверхности, то тепловой поток определяют условия на поверхности,

а не условия внутри тела.
Основная задача конвективного теплообмена довольно

сложная, и решение ее зависит от нескольких переменных.

Детально она будет рассматриваться в последующих главах. Однако между общей проблемой конвекции и чистой

теплопроводностью имеется много общего, о чем говорилось в гл. I1, в связи с формулировкой закона охлаждения

Ньютона. Мы используем это положение о важности кон*

вективкого теплообмена, чтобы установить граничные условия для тех задач, которые будут рассмотрены в этой

главе.
Применение изоляционного материала к внешней поверхности круглых труб с небольшим диаметром в некоторых случадх адо^§т увеличить теплоотдачу от лоцерхцости.
61
_
(3-9)
Отсюда находим тепловой поток
(1 /4яЛ)[( 1 /г;) — (1 /г0)] •
(3-10)
3-3. КРИТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА ИЗОЛЯЦИИ
--------------- page: 63 -----------
Теплоотдача от трубы с изоляцией к окружающему потоку

жидкости определяется выражением
^(1/Л)1п(г0/д + (1/а0г0)-
При минимальной величине знаменателя отдача тепла будет

максимальной. Минимальную величину знаменателя можно вычислить, принимая производную знаменателя по г0 равной

нулю.
При этом г. считается постоянным параметром, тогда
1
\Г0 а, Г2
0
откуда
<3'13>
Очевидно, что этот результат не зависит ют гг\ Коэффициент теплообмена считается (постоянным »при этом расчете.

Такое допущение закономерно для 'многих практических

случаев, где изменение г0 незначительно.
Физически результат уравнения (3-12) можно объяснить следующим образом. Член (1/Л) 1п (г0/гг) выражает

тепловое сопротивление изоляции; член 1/аоГо—' тепловое

сопротивление пленки жидкости. Первый увеличивается

с увеличением г0, в то время как последующий уменьшается с увеличением г0. При критическом радиусе /окрит

скорость увеличения сопротивления изоляции равна скорости уменьшения сопротивления в пленке, давая таким образом минимальную величину суммы сопротивлений, как

и показано уравнением (3-12). Таким образом, для труб

с внешними радиусами (в данном случае ), меньшими

критического г0крит, как подсчитано здесь, может иметь

место увеличение теплоотдачи, если довести изоляцию до

величины критической толщины. Обычно это требует небольших радиусов, сравнительно 'больших теплопроводностей изоляции и малых коэффициентов теплообмена. Практическим применением является задача изоляции электрических проводов, целью которой является обеспечение

электрической изоляция И одновременно максимального

охлаждения проводу ~ •
Щ
--------------- page: 64 -----------
3-4. ТОНКИЙ СтёрЖёНЬ
в?
Другим простым, но важным примером является решение уравнения (2-13) для случая тонкого стержня,-основание

которого помещено .на .нагретой стене, а теплоотдача происходит с его поверхности в окружающую среду. Эта система (показана на рис. 3-4. Температура в месте соединения

стержня со стеной 1\\ ,площадь

поперечного сечения стержня А;

периметр сечения С, длина I.
Предполагается, что коэффициент

теплообмена постоянен по всей

поверхности. Площадь А и периметр С — постоянны по всей

длине стержня. Есл.и диаметр

стержня невелик по -сравнению

с его длиной и если конвективная

пленка по существу контролирует

тепловой поток, то в стержне не

будет радиального распределения

температур, но будет температурное поле по длине, т. е. в стержне имеет место случай

одномерной стационарной теплопроводности.
Так как тепло, переносимое от основания стержня, рассеивается в окружающую среду конвекцией, то задача может быть решена в результате сокращения уравнения

(2-13) до членов, описывающих аксиальную теплопроводность и отдачу тепла конвенцией.
Таким образом имеем:
йх
Рис. 3-4. Передача тепла

через стержень при стационарном режиме.
йх2 Л
(3-14)
Потеря тепла 0' должна быть выражена величинами, определяющими теплоотдачу конвекцией, где О' — потеря тепла единицей объема:
ач
ах2-
аСЬх (( — (()
\Л$х
(3-15)
Физический смысл уравнения (3-15) очевиден; такой же

результат мог бы быть получен путем приравнивания потока

тепла, обусловленного теплопроводностью к конвективной
63
--------------- page: 65 -----------
‘теплоотдаче. Если использовать обозначение 0 = /— ТО

уравнение (3-15) принимает вид:
(3-16)
Уравнение (3-16) можно решить обычными методами [Л. 6),

которые дают в пределе решение в виде:
Ъ = С1етх+С%е-тх9
где
т
=]/-■

V ХА
. Постоянные Сг и С2 должны вычисляться с помощью соответствующих граничных условий. Конец стержня, прикрепленный к стене, имеет температуру 1Х. Другой конец может

передавать тепло к окружающей газообразной или жидкой

среде. Математически процесс теплоотдачи на конце стержня

может быть выражен следующим уравнением:
-ХА{^1=гаМ‘=- <М8)
Если стержень достаточно длинный и тонкий, то можно написать:
<3-»>
Подстановка этих двух граничных условий в общее решение

(3-17) дифференциального уравнения дает:
^1 — ^1 —
== 0 — тС/11— тС.,е~т1.
Решение уравнений (3-20) относительно Сх и С2 и подстановка этих величин в уравнение (3-17) дает:
а е<п(1-х) + е-т(1-х) _ сЬ т (/ _ х)
», ~ ет!-\- ё~т1 ~ с1{т1 '
Избыточная температура конца стержня (х = 1) равняется:
--------------- page: 66 -----------
Тепловой поток через основание стержня (х = 0) будет равен:
= V аСХАЬх ти
Графики функции 1/сЬ т{ и И\ т1 приводятся на рис. 3-5,

а численные значения — в табл. 3-1. Как видно из

рис. 3-5, вначале с увеличением / количество передаваемого тепла сильно возрастает, но затем приращения функ*

ции делаются все .меньше и меньше и, наконец, количество

передаваемого тепла приближается к асимптотическому

значению.
Таблица 3-1
Вычисленные значения функции для расчета теплопроводности
стержня
т1
0
0,5
1
1,5
2
3
4
5
6
сЬ т1
1
1,1276
1,543
2,352
3,762
10,07
27,31
74,21
201,7
т1
0
0,4621
0,7616
0,9052
0,9640
0,9951
0,9993
0,9909
1
Избыточная температура на конце очень длинного стержня

равна нулю.
Решение уравнения (3-16) с граничными условиями, выраженными уравнением (3-18) (т. е. случай учета теплоотдачи

на конце стержня), имеет более громоздкий вид:
0
§7
т. е. учитывается распределение температур вдоль стержня.
Избыточная температура на конце стержня (х = 1) оказывается равной:
§7=~сЬ т.1 + (я2/тА.) зН пй '
Тепловой поток через основание стержня (лг = 0) равен:
О
У1 ~~
В последних трех уравнениях величина а2 — коэффициент теплообмена на конце стержня; эта величина обычно отличается от коэффициента теплообмена вдоль поверхности стержня. Уравнение (3-26) сводится к уравнению

(3-23) для достаточно малых величин а^т'к. '
5—308'
--------------- page: 67 -----------
Следующий пример числового расчета имеет большое

практическое значение. Температуру газа, протекающего

по трубе, обычно измеряют термометром, который вставляют в специальную гильзу, вваренную в трубу, как показано на рис. 3-6. Если температура газа сильно отличается от внешней температуры, то стенки трубы имеют, более

низкую температуру, чем газ, и тепло отводится по гильзе

к стенкам трубы. Таким образом, конец гильзы, где нахо-
\
I * —(
Рис. 3-6. Измерение температуры жидкости в движущейся

трубе.
дится шарик термометра, может иметь более низкую температуру, чем газ, и термометр не будет показывать истинную температуру газа. Эту погрешность можно определить,

используя уравнения (3-22) и (3-25). С этой целью следует

обратиться к рис. 3-5 и табл. 3-1, с помощью которых можг

но определить длину трубы, при которой погрешность не

превосходит заданной величины.
Пример 3-1. В трубу диаметром 90 мм для перегретого пара вварена железная гильза (рис. 3-6) диаметром 15 мм для термометра. Давление пара 1,0 кГ/см2, температура 315° С. Пар проходит по трубе со

скоростью 20 м/сек. Необходимо .найти длину гильзы, при которой погрешность показаний термометра составляла бы менее 0,5%. разности

между температурой пара и температурой стенок трубы. Коэффициент

теплообмена от пара к стенкам трубы а=90 ккал/м2 • ч- град. Если

толщина стенок гильзы 5=0,9 мм, то поперечное сечение, через которое передается тепло А = йпз, а периметр С = %й. Отсюда
т.= ^ - = х7=|/Л 47,5-0,0009 =46ж-1-
Применяя обозначения настоящего параграфа, погрешность

02/01-0,005. Из табл. 3-1 находим, что для такого значения произведе-
6 6
ние т1 должно равняться 6. Отсюда длина гильзы /== ^=^в0,13 м=
Рис. 3-5. Кривая для определения

теплового потока и распределения

температуры в стержне.
66
--------------- page: 68 -----------
= 130 мм. Так как длина гильзы больше диаметра трубы, то гильзу

надо вварить под углом к оси трубы (рис. 3-6).
Теплообмен излучением между концом гильзы и стенками трубы

может также внести погрешность в показания термометра, но об этом

будет говориться в отдельной главе.
3-5. РЕБРИСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ НАГРЕВА
В гл. 1 было .показано, что общее термическое сопротивление плоской стенки определяется наибольшим из частных термических сопротивлений. Если последнее является конвективным сопротивлением, то тепловой поток через

стенку можно увеличить путем

в месте с наибольшим сопротивлением. Ребристые поверхности

нагрева находят широкое применение, например, в экономайзерах паровых котлов, в радиаторах паровых и водяных систем

отопления, электротрансформаторах, двигателях внутреннего сгорания с воздушным охлаждением

цилиндров, авиамоторах и пр.
Прямоугольное ребро. Простейшим случаем является расчет

плоской оребренной поверхности.
Если высота ребер на , трубе

сравнительно невелика, то для

расчета цилиндрически* ребристых поверхностей можно применять формулы, выведенные для плоских оребренных поверхностей. Для ребер постоянной толщины высотой I справедливы формулы, выведенные в § 3-4. Применяя обозначения рис. 3-7, находим, что площадь поперечного сечения

ребра равна ЬЬ и периметра С=21, что справедливо при Ь

малом относительно Ь. Значение т определяется в результате подстановки .найденных значений в выражение
я=/п“/1-
Теплопотери ребра определяются из уравнений (3-23) и

(3-26).
Весьма важно знать те условия, при которых ребристая

поверхность выгоднее плоской. Ответ на этот вопрос зависит от относительной важности соображений стоимости,

веса и габаритов теплообменного устройства. Прежде все5*
ореорения поверхности
гГ/ШЖ
Рис. 3-7. Поверхность нагрева

с ребрами прямоугольного

сечения.
--------------- page: 69 -----------
го необходимо ответить на вопрос, пр.и каких условиях вообще оребрение увеличивает тепловой поток через стенку. Очевидно, оребрение выгодно в том случае, когда тепловой поток через ребро усиливается с возрастанием высоты ребра. Если же тепловой <поток ослабляется с возрастанием высоты ребра, то ребра выгоднее делать как можно

ниже, т. е. выгоднее совсем не прибегать к оребрению. Поэтому предельные условия выгодности оребрения описываются уравнением
Это уравнение дает правильные результаты в том случае, если используется уравнение (3-26). Так как в рассматриваемой задаче %, А, т и Ф могут считаться постоянными величинами, то в уравнении (3-26) достаточно продифференцировать только числитель и знаменатель дроби.

Получающееся выражение равняется нулю, когда либо

числитель равен нулю, либо знаменатель—бесконечно

большая величина. Последнее соответствует тривиальному

решению Л=0, поскольку это значение удовлетворяет решению уравнения (3-28). Поэтому рассмотрим лишь числитель. Дифференцирование уравнения (3-26) дает для числителя следующий результат:
После упрощений получаем выражение
Подстановка формулы (3-27) дает:
Левая часть последнего равенства представляет собой

термическое сопротивление теплообмена, а правая часть—

термическое сопротивление теплопроводности плоской стенки, толщина которой в 2 раза меньше толщины ребра.

Когда- оба термических сопротивления обладают одной и

той же величиной, оребрение бесполезно. Надо, конечно,

учитывать, что действительные условия, характерные для

коротких ребер [уравнение (3-26)], отличаются от тех, которые приняты для расчетов. Линии теплового потока и

68
(3-28)
0.
--------------- page: 70 -----------
изотермы в таком ребре в действительности имеют вид,

изображенный на рис. 3-8, а три приведенных выше расчетах предполагалась, что температура изменяется только

в направлении высоты, а поэтому она постоянная в «плоскостях, перпендикулярных

оси ребра. Это обстоятельство' отражается на числовом '.выражении уравнения

(3-29). Однако справедливо, что к оребрению поверхности выгодно прибегать при

условии
•§>5.
На рис. 3-9 приведено сравнение теплового' потока, проходящего через основание

трех различных ребер: А—короткое ребро, В — длинное ребро с изолированным

концом, С — длинное ребро с утечкой тепла через конец. На рисунке указаны длины

ребер, которые можно рассматривать как длинные ребра

и, следовательно, применять к ним более простой анализ

одномерного теплового потока.
Пример 3-2. Необходимо* определить, когда на поверхности нагрева

выгодно иметь чугунные ребра толщиной 3 мм. Коэффициент теплопроводности чугуна дается в приложении. Возьмем среднее значение

Х—49 ккал/м • ч • град. Если тепло передается воздуху, то значение

коэффициента теплообмена заключается в пределах 10-?-
100

аЬ 100-0,003 ^
Следовательно, при передаче тепла воздуху (или другим газам)

оребрение поверхности выгодно. Если тепло передается воде, значение

коэффициента теплообмена будет заключено в пределах 500-г-

5 000 шал/м2 • ч • град. Если снова 1в:зять /наибольшее значение, то
2Х __ 2,49
аЬ 5000-0,003 ~6’5*
Так как эта величина очень низка, оребрение .поверхности практически

не усиливает теплоотдачу. Эффективность оребрения для жидкостей

можно повысить применением металлов с лучшей теплопроводностью и

более тонких ребер. Однако на практике толщину ребер нельзя сделать

значительно меньше 3 мм, а теплопроводность меди, наиболее теплопроводного металла, лишь в 5 раз больше теплопроводности чугуна,

поэтому оребрение незначительно увеличивает теплоотдачу жидкостям.
В случае целесообразности оребрения теплообмен увеличивается,

если ребра располагаются на практически возможно близком расстоянии друг от друга. Поскольку коэффициенты теплообмена уменьшаются,
Рис. 3-8. Тепловой поток в коротком ребре

прямоугольного

сечения.
69
--------------- page: 71 -----------
Рис. 3-9. Поток тепла через короткие и длинные

ребра.
А — короткие ребра; В —длинные ребра с изолированным концом; С—длинное ребро с утечкой тепла с торца.
когда наблюдается взаимовлияние пограничных слоев, расположенных

на поверхности, то расстояние между соседними ребрами не должно

быть заметно меньшим, чем двойная толщина пограничного слоя. Расчет

толщины пограничного слоя будет производиться в другой главе этой

книги. Однако здесь укажем, что поток воздуха, омывающий пластину

длиной в 30 см со скоростью 15 ж/сек, создает пограничный слой толщиной примерно в 1,25 см.
Прямоугольное оребрение минимального веса. При конструировании систем охлаждения для транспортных ма-

70
--------------- page: 72 -----------
шин, в особенности для самолетов, приобретает особую

важность решение проблемы максимального теплообмена

при минимальном весе теплообменника. Решим эту задачу

для ребристой поверхности. Вес одного ребра (рис. 3-7)
где р — плотность материала ребра;
Ах — площадь поперечного сечения ребра, перпендикуляр'
Длина Ь задана, а значения Ь и / надо подобрать таким

образом, чтобы при данной величине Ах тепловой поток через

ребро был максимальным. Подставляем в уравнение (3-23)

значения т = ]/ 2а/ЛЬ и А = ЬЬ (следует заметить разницу

между А и Аг. А — сечение, нормальное к тепловому потоку,

Ах— сечение в плоскости чертежа (рис. 3-7). Если выразить

высоту ребра I через площадь поперечного сечения А1 (1=Аг/Ь),

получим:
Выражение (3-32) будет иметь максимальное значение при

с1С}1/с1Ь = 0; дифференцируя уравнение (3-32) и приравнивая

производную нулю, получаем:
Это трансцендентное уравнение необходимо решать либо численно, либо графически, составив, например, графики изменения обеих частей уравнения 1с изменением и и

определив точку (пересечения кривых. Таким образом, для

и можно получить значение и= 1,419. Следовательно, максимальный тепловой лоток через ребро данного веса получается, когда справедливо следующее равенство:
№ = рШ = р*А,
(3-31)
ного Ь.
(3-32)
с ЩУ2а.1ХЬ(Л11Ь)]
(З-ЗЗ)
Подстановка
(3-34)
дает:
--------------- page: 73 -----------
Отсюда видно, что отношение высоты ребра к поло,мне

его толщины обусловливается той же характеристической

величиной, которую мы находим в уравнении (3-29). Ком-

Ь п
плекс а ^-/Я встречается так часто в задачах теплопроводности в условиях пограничного конвективного теплообмена, что этот комплекс назвали критерием Био. Он 'безразмерный и подобен числу Нуссельта, с которым ,мы встретимся при изучении конвективного теплообмена. Однако

между ними есть существенное различие. Теплопроводность в критериях Био приписывается проводящему телу,

в то время как теплопроводность, выраженная числом Нуссельта, относится1 к конвективному потоку жидкости или

газа.
Избыточная температура на конце ребра относительно

температуры окружающего воздуха равна:
^=7Б = °-457а-
к
Это равенство дает возможность выяснить, достигнута ли

оптимальная высота .ребра при данных Фч и ■дг.
Когда поверхность нагрева не имеет ребер, поверхность,

равная площади сечения у основания ребра, отдает количество тепла 0,'—аЬШ\. Таким образом, отношение коли-

'ства тепла, отдаваемого ребрами, к количеству тепла 0.'

для наилучшего ребра согласно уравнению (3-32) будет

иметь следующую величину:
|=/1*>.“ = 0,889/|.
Это уравнение позволит определить, насколько можно

интенсифицировать теплообмен оребрением поверхности

нагрева.
Пример 3-3. Для чугунного ребра толщиной 3 мм значение 2%/аЬ

равно 330. Подставляя это значение в формулу (3-35), получаем: при

теплоотдаче в воздух оптимальное значение отношения //(6/2) =25,8,

при теплоотдаче в воду // (Ь/2) =3,64. Для алюминиевого ребра толщиной ,1,0 мм с коэффициентом теплопроводности Я= 178 ккал]м • час • град

оптимальное значение отношения //(6/2) равно 85,1 для воздуха и 12,0

для воды. Можно заметить, что толщина ребра должна быть больше,

когда отношение термического сопротивления теплообмена к термическому сопротивлению теплопроводности становится меньше. Чугунные

ребра крайне слабо интенсифицируют теплоотдачу в воду.
Ребра стальных цилиндров авиационных поршневых двигателей

воздушного охлаждения делаются приблизительно 1,0 мм толщиной и
72
--------------- page: 74 -----------
20
алюминиевыми ребрами приблизительно толщиной в 1,5 м и высотой
35,6
близки к оптимальным величинам, получаемым из уравнения (3-35).

Радиаторы с водяным охлаждением также имеют очень тонкие ребра

(приблизительно 0,10—0,20 мм при высоте 5,08 мм).
В стационарных теплообменных установках толщина ребер обычно

делается больше оптимальной, так как вес в этом случае не играет

существенной роли. Оребренные трубы экономайзеров паровых котлов

имеют ребра от 1,25 до 4 мм толщиной и от 13 до 25 мм высотой

с расстоянием между ними от 13 до 20 мм. Трубы системы водяного

отопления имеют обычно ребра толщиной 1,0—2,5 мм и высотой 25—

40 мм при шаге 10—25 мм.
Эффективность ребра. Уравнение (3-37) является математическим определением понятия «эффективность ребра».

Поскольку система передачи теплового потока может быть

произвольной, требуется обсудить два определения эффективности ребра: 1) эффективность относительно основания

площади ребра в случае его отсутствия; 2) эффективность

относительно такого же ребра с бесконечной теплопроводностью.
Ясно, что уравнение (3-37) относится к первому типу.

В качестве иллюстрации ниже приводится выражение для

обоих видов эффективности простого прямоугольного

ребра.
Бесконечно длинное ребро
,/хс.
1 = -й»Г=Г М’

ф_уг^сх1э, _ 1
аС19, т1 ■
Ограниченное ребро
1=уя^1С"а
Ф
аСуЭ,
В уравнениях (3-38)—(3-41) т,—эффективность относительно

площади основания и Ф—эффективность относительно такого

же ребра бесконечной теплопроводности.
Прямое ребро треугольного профиля. При определении

оцтцмального ребра возникает вопрос, нельзя ли сэконо-
73
(3-38)
(3-39)
--------------- page: 75 -----------
Рис. 3-10. Ребра треугольного сечения.
мить на весе, применяя ребра не прямоугольного поперечного сечения, какие рассматривались до этого, а. ребра

с какими-либо другими формами сечения. Далее будут
рассматриваться прямые ребра

треугольного сечения. Такое ребро изображено на рис. 3-10. Математический анализ в этом

случае такой же, как и в случае

ребра прямоугольного «сечения,

за исключением примера, & котором пл о ща дь, пе рп ендику л я р -

ная к тепловому потоку, рассматривается как функция расстояния по ребру, уменьшающаяся с увеличением длины ребра. Таким образом, дифференциальное уравнение, записанное для постоянной теплопроводности и коэффициента теплообмена, -принимает вид:
л[лм|]-т»- 9 <3'42>
Площадь А (л;) можно выразить непосредственно в членах,

выражающих отношение высоты ребра к длине х/1:
А(;с) = /1у
и для случая, когда Ь^> Ь, периметр
С = 21.
Подставив эти величины в уравнение (3-42), имеем:
, 1 сЮ
йх2 1 х йх
,1
X
• о.
(3-43)
где & — избыточная температура ребра относительно температуры окружающего воздуха и
р
и •
Уравнение (3-43) не что иное, как модифицированное уравнение Бесселя [Л. 7], решение которого имеет вид:
Ъ = А19(2УРх) + ВК9(2 У?х),
(3-44)
74
--------------- page: 76 -----------
Функции /0 (а) и К0 (а) графически изображены на рис. 3-11,

а их численные значения приведены в табл. 3-2.
Очевидно, что К0(2 */рл;) имеет бесконечно большие величины у конца ребра (л: = 0), и поскольку температура

физически не бесконечно большая в этой точке, то коэффициент В для этого члена должен быть равен нулю.
Рис. 3-11. Модифицированная функция Бесселя.
Остающееся граничное условие относится к температуре

у основания ребра
& = для х — 1.
Подставив эти граничные условия в уравнение (3-44),

можно определить оставшуюся постоянную:
--------------- page: 77 -----------
Таблица 3-2

Некоторые значения функций Бесселя [Л. 8]
а
/о («)
1г И
2
ЦКо
(*)
2
(«)
0,0
1,0000
0,0000
0,2
1,01003
0,1005
1
116
3
040
0,4
1,04040
0,2040
0,7
095
1
391
0,6
1,09205
0,3137
0,4
950
0,8
294
0,8
1,665
0,4329
0,3
599
0,5
486
1,0
1,2661
0,5652
0,2
680
0,3
832
1,2
1,3937
0,7147
0,2
028
0,2
767
1,4
1,5534
0,8861
0,15
512
0,2
043
1,6
1,7500
1,0848
0,11
966
0,15
319
1,8
1,9896
1,3172
0,09
290
0,11
626
2,0
2,2796
1,5906
0,07
251
0,08
904
2,2
2,6291
1,9141
0,05
683
0,06
869
2,4
3,0493
2,2981
0,04
470
0,05
330
2,6
3,5533
2,7554
0,03
527
0,04
156
2,8
4,1573
3,3011
0,02
790
0,03
254
3,0
4,8808
3,9534
0,02
212
0,02
556
3,2
5,7472
4,7343
0,017
568
0,02
014
3,4
6,7848
5,6701
0,013
979
0,015
915
3,6
8,0277
6,7927
0,011
141
0,012
602
3,8
9,5169
8,1404
0,028
891
0,029
999
4,0
11,3019
9,7595
0,027
105
0,027
947
4,2
13,4425
11,7056
0,025
684
0,026
327
4,4
16,0104
14,0462
0,024
551
0,025
044
4,6
19,0926
16,8626
0,023
648
0,024
027
4,8
22,7937
20,2528
0,022
927
0,023
218
5,0
27,2399
24,3356
0,022
350
0,022
575
5,2
32,5836
29,2543
0,022
888
0,022
062
5,4
39,0088
35,1821
0,0215
181
0,0216
531
5,6
42,7376
42,3283
0,0212
214
0,0213
262
5,8
66,0381
50,9462
0,039
832
0,0210
648
6,0
67,2344
61,3419
0,037
920
0,038
556
6,2
80,72
73,89
0,036
382
0,036
879
6,4
96,98
89,03
0,035
146
0,035
534
6,6
116,54
107,30
0,034
151
0,034
455
6,8
140,14
129,38
0,033
350
0,033
588
7,0
168,6
156,04
0,032
704
0,032
891
7,2
202,9
188,3
0,032
184
* 0,032
331
7,4
244,3
227,2
0,0317
646
0,031
880
7,6
294,3
274,2
0,0314
262
0,0315
172
7,8
76
354,7
331,1
0,0311
530
0,0312
248
--------------- page: 78 -----------
17родолжение табл. 3-2
а
и (а)
/1 (*)
2
тс Ко
(«)
2
(«)
8,0
427,6
399,9
0,049
325
0,049
891
8,2
515,6
483,0
0,047
543
0,047
991
8,4
621,9
583,7
0,046
104
0,046
458
8,6
750,5
705,4
0,044
941
0,045
220
8,8
905,8
852,7
0,044
000
0,044
221
9,0
1 093,6
1 030,9
0,043
239
0,043
415
9,2
1 320,7
1 246,7
0,042
624
0,042
763
9,4
1 595,3
1 507,9
0,042
126
0,042
236
9,6
1 927
1824
0,0417
226
0,041
810
9,8
2 329
2 207
0,0413
962
0,0414
658
10,0
0,0411
319
0,0411
872
Таким образом, окончательное уравнение распределения

температуры будет следующим:
9 /Д2т^М_
»1 /„( 2УЦ)
Интенсивность теплового потока можно определить по

закону Фурье и первой производной уравнения (3-45), имея

в виду, что с110(а)/йа=/,(а):
(3-46)
Если тепловой поток входит в ребро треугольного сечения

при оптимальных условиях, то наилучшее отношение 1{Ь может

быть выражено следующим образом:
1,3°9/|.
Избыточная температура на вершине ребра
», = 0,277»,.
Отношение толщины ребра треугольного сечения к толщине ребра прямоугольного сечения при одинаковом тепловом потоке равно 1,31; отношение площадей поперечных

сечений равно 1: 1,44. Следовательно, при использовании

ребер треугольного сечения можно сэкономить 44% материала.
77
--------------- page: 79 -----------
Ребро с минимальным весом [Л. 9, 10]. Теперь интересно

определить, какова оптимальная форма сечения ребра,

имеющего -наименьший !вес при заданной величине теплового потока. Очевидно, что каждая часть такого ребра

должна использоваться с одинаковым к. л. д., т. е. удельный теплозой поток должен оставаться постоянным по

всему сечению ребра. Доказательство этого положения

было дано Е. Шмидтом.
Линии теплового потока в таком ребре должны иметь

форму, показанную на рис. 3-12. Оли представляют собой

ряд равноудаленных друг от друга прямых, параллельных

оси ребра. При постоянном тепловом потоке температура

изменяется вдоль линии теплового потока по линейному

закону от температуры у основания ребра. Необходимо

добиваться того, чтобы температура на :вершине ребра как

можно меньше отличалась от температуры 18 окружающего газа. Изменение температуры внутри ребра показано

в .верхней части рис. 3-12. На расстоянии х от вершины

ребра температура равна I. Вследствие одномерности температурного поля разность между температурой I и температурой газа ^ можно выразить следующим образом:
Пусть тепловой поток вдоль оси ребра равен Рассмотрим элемент поверхности ребра на расстоянии х. Пусть этот

участок поверхности составляет с осью ребра угол 9. Тогда

тепловой поток через участок будет равен <7 зт ср, а так как

тепло, снимаемое с этого участка, передается окружающему

газу, то справедливо уравнение
д$\п = — = —
Это уравнение определяет угол 9 как функция расстояния л:,

а именно:
<х9,
5ШФ = -7 X.

т 41
Числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения имеют постоянную величину.
Таким образом, контур ребра, найденный указанным

методом, представляет собой дугу окружности, так как

окружность определяется уравнением зт<р=л;/г, которое

точно соответствует приведенному выше уравнению, причем в данном случае радиус окружности равняется ^//свч.

78
--------------- page: 80 -----------
Тот факт, что контур сечения ребра минимального веса

образуется дугами окружности, был впервые обнаружен

Ф. Вейнигом. Необязательно ребро должно иметь бесконечно малую по тонкости вершину, как показано на

рис. 3-12. Для построения контура сечения ребра с постоянным тепловым потоком можно использовать любую часть

окружности, как показано пунктирной линией на рис. 3-12.

Разница в весе ребра с такими вогнутыми поверхностями и

ребра треугольного сечения очень мала. Так как в производстве легче получить ребра треугольного сечения, то такое ребро практически можно считать наилучшим.
Устройство ребра. Площадь поперечного сечения Аи ко*

торая необходима для определенного теплового -потока

в ребре прямоугольного сечения, находится из уравнения

(3-32) подстановкой (3-34). Решение уравнения остноси-

тельно А\ дает:
А-(0Л*1Л

Это уравнение показывает, что ребра выгоднее делать настолько маленькими, насколько это возможно. Ведь для

удвоения снимаемого тепла поверхность одного ребра необходимо увеличить в 8 раз, тогда как достаточно применить два ребра исходных размеров.
Уравнение (3-49) позволяет выяснить сравнительные

достоинства различных материалов для ребер. Площадь поперечного сечения А\ обратно пропорциональна величине

коэффициента теплопроводности %. Поэтому вес пропорционален р Д. В табл. 3-3 приведены значения отношения плотности р к величине коэффициента теплопроводности X

для различных материалов. Следует отметить, что при использовании алюминия вместо меди достигается 50% экономии в весе. Чугунные ребра весят в 10, а ребра из леги-
Таблица 3-3
Материал
Теплопроводность X,

ккал 1м^ч»г рад
Плотность р,

г/см*
РА,
ч»кг^град
ккал/м2
р/Х
(рА)д!
Медь
327
8,965
27,4
1,96
Алюминий чистый .....
193
2,722
14,0
1,00
134
2,658
20,0
1,42
Магний чистый ../...
149
1,761
14,0
1,01
Сталь
48
7,845
164,5
11,80
Сталь нержавеющая ....
12
7,845
658,0
47,10
79.
--------------- page: 81 -----------
рованной стали в 50 раз больше. Таким образом, нет смысла для оребрения цилиндров авиационных двигателей воздушного охлаждения применять медь вместо алюминия,

тогда как замена железа алюминием представляет большие преимущества.
Цилиндрические ребра. Весьма часто в технике встречают-
Рис. 3-12. Сечение

ребра минимального

веса.
Рис. 3-13. Поверхность

с цилиндрическим

оребрением.
ся так называемые цилиндрические ребра, которые

устанавливаются на трубах. Такая система ребер изображена на рис. 3-13. Задача может быть решена аналогично

тому, как она решалась в случае прямоугольных ребер,

только здесь следует учитывать зависимость площади от

радиуса. Площадь, перпендикулярная к вектору теплового

потока, может быть записана в виде:
А— 2 ъгЪ,

а периферию можно выразить как
С = 4 %г.
Эти величины, введенные в уравнение (3-42), где л; заменен на г, в пределе дают дифференциальное уравнение
80
(3-50)
--------------- page: 82 -----------
Соответствующие граничные условия для уравнения (3-50)

могут быть следующие:
г = 1и »==»,;
I
г=1> аг=°-
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0,5
ОЛ
0.3
0,2
0.1
О
т Г г* ч
/в)
' -1&Щ,
/ ^~~<М \п=0;цы(х/1)'/г;фЛ Щ-
\\\
\\
м) ш,
“ь шмь)
Щ
.ф„
“ь
%
' 1—

1


1^фУь~

_|
1,0
Рис. 3-14. Игольчатое оребрение [Л. 317].
5,0
Решение уравнения (3-50) получаем в виде модифицированных функций Бесселя:
9 _Кг (к У И /. (г У Г) + /, (/, УЬ) К. (Г У р)
9* Кг (I. У» /. (/, У Р) + Л (к У Р) Ко (/, V р)
Поток тепла к основанию
(3-51)
<3,=2«/,6Я)/Р,
У* '[ГгУгУЪЖ^гУЪУ+Кг^УМ/оУгУЪ)]
6-308
(3-52)
81
--------------- page: 83 -----------
К- А. Гарднер [Л. 11] обобщил расчетные соотношения для

систем теплообменников с развитой поверхностью не только на виды теплообменников, описанных в предыдущих -параграфах, но и на некоторые другие формы. Эти результа-
Рис. 3-15. Прямое оребрение [Л. 318].
ты, могущие быть использованы: при .проектировании, представлены на рис. 3-14—3-17 в виде эффективности,

о-онованной на таком же ребре с бесконечной теплопроводностью. Дополнительные данные по решениям для развитых ^поверхностей теплообменников имеются в работе

Шнейдера [Л. 12].
Пример 3-4. С целью увеличения отвода тепла от двигателя с воздушным охлаждением используют обычные цилиндрические ребра

(рис. 3-13). Сравним отвод тепла от оребренного цилиндра и от цилиндра без оребрения.
82
--------------- page: 84 -----------
Уравнение (3-52) выражает тепловые потери одного ребра этого

вида. Предположим, что по спецификациям требуются, чтобы ребра

были длиной в 25,4 и 2,28 мм, толщиной с расстоянием между ними

4,56 мм. Коэффициент теплообмена а принимаем 244,1 ккал/м2 • ч • град

вследствие наличия вынужденного потока по поверхности ребра.
Рис. 3-16. Цилиндрическое оребрение с прямоугольным поперечным

сечением [Л. 319].
Коэффициент теплопроводности Я=41,66 ккал/м • ч . град берется из

приложения. Температура стенки цилиндра равна Г21°С, а температура

окружающего воздуха 21° С:
/,=7,62 см\ /2=Ю, 14 см\
&,= 121— 21 = 100° С;
2-244,1
-=5139; /р =71,68 м'Ц

ХЬ
Из табл 3-2
6*
41,66-0,00228
^==0,0762.71,68 = 5,45;
/, уу= 0,1014-71,68 = 7,26.
/,(7,26) = 188; *Г,(7,26) = 0;

/,(5,45) = 37,2; К,(5,45) = 0,0024;

/0 (5,45) = 41,0; К0 (5,45) = 0,0022.
83
--------------- page: 85 -----------
Рис. 3-17. Цилиндрическое оребрение с треугольный поперечйым

сечением [Л. 320].
Таким образом,
188-0,0024
=6,28-0,0762-0,00228-41,66-71,68» 100 - 188>0 0022- =
= 355,4 шал/ч.
Для неоребренной трубы
<2В = 80,1 ккал!ч\
<3. 355,4

~0^ 80,1 ~4’4*
3-6. СТЕНКА С ВНУТРЕННИМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА
Предыдущие рассуждения можно распространить также и на любой случай генерации тепла, например на такой

случай, когда источники тепла равномерно распределены

по всему телу. Простейшим примером тела с внутренними

источниками тепла является электрический проводник,

в котором электрическая энергия превращается в тепло.

Расчеты температур, возникающих при таком выделении,

84
--------------- page: 86 -----------
представляют собой интерес при проектировании электрических машин и приборов. В области химии и одерных исследований также возникает много вопросов, связанных

с проблемами «источника тепла». Например, специальные

охладительные системы должны быть предусмотрены

проектам для того, что'бы предотвратить возможность возникновения недопустимо высоких температур при выделении тепла во время укладки бетона.
Тепло образуется так же за счет механической работы движущихся жидкостей и газов, причем для .газов, движущихся с большими старостями (нагрев при трении), в частности в авиации, повышение температуры может

быть порядка нескольких сотен градусов и увеличивается пропорционально

квадрату числа Маха. Значительное

повышение температур наблюдается

при выделении тепла за ючет внутреннего трения в смазке 'быстроходных

подшипников. В настоящем параграфе

мы рассмотрим только твердые тела, а именно плоскую стенку или плиту (рис. 3-18). (Пусть в стене имеются

равномерно распределенные источники тепла с удельной

мощностью 0'. Тогда С}' не зависит от пространственной

координаты. Внешняя поверхность плиты омывается циркулирующим потоков!, температура которого Коэффициент теплообмена для каждой поверхности а. Если полагать, что теплопроводность 'постоянна и условия стационарны, то уравнение (2-13) сводится к
гг.+т=°-
где & — избыточная температура.
Граничные условия для определения двух постоянных, которые появятся в решении уравнения (3-58), могут быть выражены следующим образом:
I
к
I
йх/
V/
Рис. 3-18. Стенка

с внутренним источником тепла.
--------------- page: 87 -----------
Решение уравнения (3-53)
(3-54)
Выражая с помощью граничных условий постоянные в уравнении (3-54), получаем:
<2'/
»=§('■
(3-55)
Следовательно, изотермы в плите с равномерным тепловыделением имеют форму парабол, как показано на рис. 3-19.
Максимальную избыточную температуру

получаем из уравнения (3-55), когда

х = 0:
Я' /2 I Я'1
2А. ‘ а
(3-56)
Рис. 3-19 иллюстрирует метод определения температурного градиента на поверхности. Если графически изобразить

расстояние Х/а от поверхности и «а этом

расстоянии отложить температуру ^ как

ординату и затем соединить точку 1У которая получена таким образом, с точкой 2, соответствующей температуре поверхности, то наклон прямой линии, соединяющей обе точки, дает температурный градиент у стены. Этот результат может быть непосредственно получен из решения второй части уравнения

граничных условий для градиента у стены:
Рис. 3-19. Кривая

распределения температур в стенке

с внутренним источником тепла.

йх/х=1 А./ос
(3-57).
Пример 3-5. Цилиндрическая катушка трансформатора, выполненная из изолированной медной проволоки, имеет внутренний диаметр

170 мм и внешний диаметр 250 мм. Медь составляет ф=0,6 части

общего поперечного сечения катушки, а остальная часть падает на изоляцию. Плотность тока в проводнике /=200 а/см2; удельное сопротивление меди р =2 • 10“6 см • ом. Отсюда количество тепла, выделяемое

на единицу объема катушки, <3'=0,24 ср/2р=0,24 • 10“3 ккал/дж- 0,6Х

X 2002 а2/Ьм2 • 2 • 10~6 ом • см • 10~6 смг/м* • 3 600 дж/вт • ч—

= 41 500 ккал/м? • ч.
Коэффициент теплообмена обеих поверхностей катушки, охлажденной воздухом при температуре 21° С, а=19,5 ккал/ч • м2 ■ град; коэффициент теплопроводности катушки А,=0,3 ккал/м- ч • град (слюда, клей),

Если в первом приближении рассматривать катушку как плоскую стен-
--------------- page: 88 -----------
ку толщиной 2/=40 мм, то согласно уравнению (3-56) наивысшая температура в ней будет равна:
21
= 70° С.
Таким образом, температура в середине обмотки катушки равна

70+21 =91° С. При более точном расчете температурного поля в катушке, рассматриваемой как полый цилиндр, получается значение 91,5° С.

Следовательно, расчет катушки как плоской стенки дает довольно хорошие результаты даже для обмотки значительной толщины.
3-7. ПОДЗЕМНЫЙ КАБЕЛЬ
Использование понятия источника тепла (стока) дает

возможность проанализировать определенные виды систем

в стационарном состоянии, которые другим способом проанализировать не удается. Таким примером может служить

подзем,ный кабель. Предполагается, что кабель заложен в плотно утрамбованной почве и выделяет каким-то образом тепло (это

может быть электрический

.кабель или трубопровод, по

которому идет поток жидкости, возможно химически

активной). Удельная, мощность теплового потока постоянная. Окружающая кабель среда ограничена уровнем поверхности (рис. 3-20)

на расстоянии а .выше центральной линии кабеля. Температура поверхности кабеля и и температура поверхности почвы 4 постоянны.
Избыточная температура в

любой точке Р (х, у) будет

•& = ^—/8 и избыточная температура О0 = ^)—Ъ на поверхности кабеля. Требуется определить температурное поле вокруг кабеля в самой почве.
Чтобы получить решение, кабель рассматривается как

такой источник, который проводит тепло радиально. Пола-

-гается, что кабель очень длинный и имеет направление,

перпендикулярное к плоскости бумаги. Ясно, что если почва имеет бесконечную протяженность в направлениях х и
87
Рис. 3-20. Кабель, проложенный

в земле.
--------------- page: 89 -----------
у, то изотермами будут служит контуры, расположенные

по окружности вокруг центра кабеля, и температура поверхности не будет линейно постоянной, как этого требует

постановка задачи. Однако если представить себе зеркальную систему, показанную на рис. 3-20, и допустить, что

верхний фиктивный кабель является стоком тепла, то на

расстояниях, равноудаленных от источника и стока, будет

как раз эта температура. Эта система дает изотерму у = 0.
Рассмотрим кабель. Мы знаем, что поток тепла, выделяемый кабелем, равен:
® = (»/.«*!) 1п(г,/г.) •
Благодаря этому температура в точке Р (х, у) будет:
(3-59)
Если фиктивный кабель выполняет функцию стока тепла, то он должен иметь температуру —О0 на поверхности

и поглощать такое же количество тепла, которое выделяет

действительный кабель. Таким образом, его эффект в точке Р (х, у) определится следующим образом:
».=-».+зэтКт-
Поскольку уравнение теплопроводности линейное, то мы

можем воспользоваться принципом суперпозиции. Сложение

уравнений (3-59) и (3-60) дает в результате величину избыточной температуры в точке Р (х, у), обусловленной действием

источника и стока тепла
*=ЯИГ<7-
Радиусы г, и г2 могут быть записаны через х, у и а следующим образом:
г\ = ха-{-{у-\-ау и г\=х3-\-{у — а)\
Введем эти величины в уравнение (3-61):
»=таг1п
Уравнение (3-62) может быть записано в виде:

(4*>х/<э)& _хг + (у — а)г
*• + (?+«У
(3-63)
--------------- page: 90 -----------
Уравнения иЗотёрм могу? быть получеш, если поЛойшт'Ь

левый член постоянным; обозначим его буквой С. Таким

образом, решая это уравнение относительно С и считая х и у

параметрами, получаем:
4 Со2
(1-С)2
(3-64)
Уравнение (3-64) представляет семейство окружностей

с центром в 1 = 0:
у — а( 1 + С)/( 1 — С) с радиусами г = 2а,уС/(1 — С).
Для окружности, выражающей изотерму 0=0, величина С=1 и радиус равен бесконечности, т. е. она вырождается в прямую линию. Центр этой окружности расположен ;на оси е/.
Расчет теплообмена

кабеля, такого же как

мы рассматривали .выше,

может быть выполнен

для любой глубины погружения. Следует заметить, что действительная

линия источника тепла

будет выше, чем центральная линия кабеля (в

действительности это одна из изотерм) (рис.
3-21) потому, что величина (1 + С)/(1—С)>1; поскольку С>0; таким образом, по мере увеличения радиусов центры изотермических окружностей

опускаются.
Если О—диаметр кабеля и N — глубина погружения

центральной линии кабеля ниже поверхности, то
Рис. 3-21. Распределение температуры

вокруг кабеля, проложенного

в земле.
1+С
1
а;
О
2
89
--------------- page: 91 -----------
Уравнение (3-64) может быть записано относительно С:
С2 + ^2 — 16^)С+1=0.
Это квадратное уравнение может быть решено обычным способом:
С=[ 8^]2—1
Вопрос выбора правильного знака в уравнении (3-66) определяется физическими характеристиками системы. Предположим, что Ы/й очень велико; поэтому
/ЛГ\*
’-%< п) ± 8 ^ ^ .
Если берется отрицательный знак, С = 0 и, следовательно,
е(4к\ЦО) * _ д
и отсюда & — величина отрицательная. Это утверждение противоречит первоначальному предположению о том, что кабель

является источником тепла. Следовательно нужно взять положительный знак. Окончательный результат
с°=[8 (дУ-1 ] + 45-)/4(^)2-1=^и/,э,Ч (3-67)

Решая уравнение (3-67) относительно (2, получаем:
О
1п {[8 (Д^/О)2 — 1] + 4 (N/0) V4 (ЛГ/1))2— 1} ’
где &0 — разность температур, а все остальное в уравнении

выражает термическое сопротивление1:
^ _ 1п {[8 (ЛГ/ду - 1] + 4 (Л7Р) V4 (N/0)* - 1 } _ (д_69)

Если Ы/й 1, уравнение (3-68) сводится к
«=1-пда>-
1 Тепловые сопротивления для других проложенных под землей тел

вычислены А. А. Лондон ом .и приводятся Мак Адамсом [Л. 13].
90
--------------- page: 92 -----------
Полезно отметить, что уравнение (3-68) является также

решением для теплового потока через цилиндр с круглым

каналом, эксцентричным к внешней стенке. Однако 'необходимо сохранить постоянную температуру поверхностей,

чтобы поверхность была изотермической *в задаче о подземном кабеле.
3-8. ДВУХМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Уравнение теплопроводности для изотропных однородных материалов в двух измерениях, в которых распределение температуры во времени постоянно при отсутствии источников тепла, можно записать в следующем виде:
дЧ__ . дЧ_
дх2 * ду2
(3-71)
Это уравнение может быть

истолковано в результате использования комплексного переменного1. Рассмотрим рис.
3-22, на котором изображена

плоскость г, причем г=х + гу.
На этой плоскости нанесены

следы плоскостей Ф и о|э, которые связаны с г посредством

выражения
ф+*‘ф=/(*+»/)=/(2).
Ф и ф — сопряженные функции комплексной переменной. Поэтому можно. записать следующие соотношения:
й-+‘'!=т 1+<1=<7Ч2).
Рис. 3-22. Потенциальная функция тока в комплексной

области.
дх
Отсюда, разделяя и приравнивая действительные и мнимые

части, получаем соотношения Коши—Римана:
дФ
ду
- дФ = дф

дх ду
(3-72)
1 См., например И. С. и Е. С. Сокольниковы, Высшая математика

для инженеров и физиков, 1941 [Л. 14].
91
--------------- page: 93 -----------
■Следы Ф = сопз1 и а|)=сопз{, таким образ-ом, взаимно

ортогональны, т. е. перпендикулярны друг другу

в точках пересечения. Другим свойством сопряженных

функций является то, что, каждая из них удовлетворяет

уравнению Лапласа. Это свойство можно продемонстрировать, дифференцируя уравнение (3-72) по частям, сначала

по х, а затем по у:
д2ф
ду дх дх2 дхду ду2
И
д2Ф
ду2 дхду дх2 дхду'
Из этих соотношений получаем два уравнения Лапласа:
д2Ф . д2Ф
дх2 ' ду2 ~ ’
(3-73)
Если принять, что Ф = ^ обозначает температуру, то <|>

должна обозначать линию теплового потока и поэтому относиться к ф*. Рассмотрим рис. 3-23, на котором изображена

система координат 5, и, расположенная таким образом, что п

перпендикулярна к изотерме, а 5 является касательной к ней

в этой же точке. Для потока тепла, направленного вдоль п,

мы можем написать:
. дФ , о дф , . о дФ

дп
Когда эти условия используются применительно к уравнению (3-72), это уравнение примет вид:
_Я*?=_Дсо80*-Иап»й=-»§. (3-74)
[Уравнение (3-74) графически изображено на рис. 3-23.]

Поэтому
дф
дп дз'
(3-75)
*
потенциальной функцией и функцией тока. Здесь это соответствует

температуре и потоку тепла соответственно.
92
--------------- page: 94 -----------
В частности, если отрезки линий постоянной температуры

и тока тепла берутся в конечных приращениях, то уравнение

(3-75) может быть заменено следующим приближенным выражением:
АФ=Аф

Ап Аз '
(3-76)
Уравнение (3-76) .полностью справедливо, когда скорости изменения Ф и а|) постоянны. Из уравнения (3-76)

следует, что плоскость будет разделена на криволинейные

квадраты, если ДФ = Лг|) и приросты достаточно малы.1 Чем
Рис. 3-23. Соотношения компонентов производных* от функции потока.
меньше прирост, тем ближе криволинейные квадраты

к геометрическим квадратам. Уравнение (3-76) имеет важное применение в технике графических расчетов, которая

будет использоваться в следующем разделе.
Природа ф функции потока может быть выражена, если
1
дратам только в пределе, когда число квадратов стремится к бесконечности. В конечном виде криволинейные квадраты могут быть использованы в конструировании, когда нужно получить стороны с такой

длиной, чтобы средние длины противоположных друг другу сторон

были равны. Внутренние углы, конечно, равны я/2 в каждом случае.
93
--------------- page: 95 -----------
мы вычислим поток тепла, проходящий через элементарную

площадь (рис. 3-24):
Щ = - IIА йу = - и йу,
где Ь — измерение, перпендикулярное к плоскости чертежа.

Интегрируя уравнение (3-76) по высоте (у г—уг) с помощью

уравнения (3-72), мы опять получаем:
Уз
$х^-^1жйУ = -Х1уГуаУ=--Х1(Ь-Ь)-
Ух
Таким образом,
•^- = -4*
или функция тока ф принимает вид:
*=»г-
Таким образом, функция тока “ф — общий поток тепла,

рассчитанный на единицу теплопроводности и единицу глубины. Если г|) постоянно, тогда величина потока тепла О,
постоянна и поверхности, выраженные ЛИНИЯМИ Ч])] И 1|)2,

образуют трубку тока тепла,

в которой 0 — постоянно.
Графическое изображение

потока. Изложенное в последних параграфах можно иЮполь-

зовать при решении двухмерных стационарных задач теплопроводности, применяя способ, известный под названием

графического изображения потока.
В основе этого метода лежит зарисовка от руки линий

тока (линий течения) и потенциальных линий с соблюдением правил, относящихся

к ортогональным линиям в криволинейных квадратах. Таким

образом, вычерчивается сетка линий ягока или гра-

94
х
Рис. 3-24. Функция тока.
--------------- page: 96 -----------
фик потока. Далее приводится опйсайие этого Метода.
Рассмотрим параллелепипед (рис. 3-25), верхняя и нижняя поверхности которого имеют постоянные температуры

соответственно 1\ и и, а другие поверхности полностью

изолированы. Верхняя поверхность может быть совершенно исключена, чтобы образовать произвольное число проходов для теплового потока (трубок тока). Линии, изобраг

жающие изотермы, могут быть вычерчены с интервалами

А у, сохраняя при этом Ау=Ах и условия перпендикулярности изотерм и линий потока тепла в точках их пересечения. Поток тепла через трубку теплового потока равен
(3-80)
Уравнение (3-80) можно записать аналогично уравнению

(3-78) для условия Ау = Ах:
—(3-81)
Построение должно быть продолжено до тех пор, пока

поле потока Н будет исчерпано. В результате имеем Ыс

трубок тока и приростов температуры Д^. Весь поток

тепла в теле, очевидно, является суммой приростов потоков

тепла, обусловленной общей разностью температуры:
<3-82>
где 1^>12. При построении принималось Ах —А у; отсюда
(3-83)
Отношение Л^С/Л^ = Е есть коэффициент формы1 тела. Коэффициент формы тела — чисто геометрическая величина и

может быть определен раз и навсегда для любой данной
1
теплообмена и каждый раз имеет различное значение, которое читатель

легко усвоит. Общее для всех коэффициентов формы это то, что они

определяют геометрию и поэтому в каждом отдельном случае для каждого рассматриваемого тела определяются раз и навсегда.
95
--------------- page: 97 -----------
Системы. На рйс. 3-25 коэффициент объема тела может

быть вычислен путем подсчета и колонок и рядов
Легко показать, что если линии теплового потока поменять

местами с изотермами (это более соответствует горизонтальному потоку тепла, чем вертикальному), коэффициент

формы V для этой сменной задачи является обратной величиной, определяемой уравнением (3-84):
Рассмотренная система была очень простой и как таковая имеет значение только в качестве иллюстрационного примера. Однако описанный метод применим не только

к (Простейшим системам. Он часто очень полезен для быстрого получения приближенных результатов.
Пример 3-6. Рассмотрим распространение потока тепла в стенке

канала квадратного сечения с постоянными температурами поверхностей. Поскольку канал симметричный, рассмотрим только один угол. На

рис. 3-26 схематически изображены изотермы и линии теплового потока,

при построении которых уделялось внимание вычерчиванию результирующих криволинейных квадратов. Коэффициент формы можно легко

определить, подсчитав, что число линий теплового потока 10, а линий

прироста температур 4. Поэтому коэффициент формы
Рис. 3-25. Схема для расчета

потока тепла в параллелепипеде при стационарном режиме.
Рис. 3-26. Температурное поле и линии потока тепла в

^образном теле при стационарном режиме.
96
--------------- page: 98 -----------
й йоток тейла, йередаваемый благодаря тейлойроводности,
С? = 2,85X1(1! — /2).
Поток тепла можно вычислить, зная характеристики материала, из которого сделаны стенки канала, и падение температуры на толщине стенки1.
Метод релаксации. Решение двух (трех) мерного уравнения теплопроводности с источником тепла или без источника тепла можно получить при

помощи численного метода, разработанного Саусвеллом [Л. 16, 17,
16] и называемого методом релаксации. Этот метод применяется главным образом при решении уравнения Лапласа—Пуассона, но здесь

его обсуждение связано с задачей

теплопроводности.
При стационарном режиме без

внутренних источников тепла уравнение Лапласа является дифференциальным уравнением, решение которого с учетом соответствующих

граничных условий определяет в результате стационарное температурное поле в теле, в котором отсутствуют источники тепла:
5+|^=0.
Рассмотрим точку* Р (л;, у) в теле, через которую проходит

система прямоугольных координат (рис. 3-27). Другие точки

в этом теле могут располагаться на небольших расстояниях

от Р (х, у) таких, как Р(х-\-а, у), Р(х, */ + а), Р(х—а, у),

Я (л:, у — а). Они для удобства соответственно пронумерованы 1, 2, 3, 4. Если температура в точке Р{х, у) известна, то, применяя ряды Тейлора, можно температуру в

окружающих точках вычислить с любой желаемой степенью точности. Например, принимая точку Р (.х, у) за нулевую, получим:
Рис. 3-27. Система координат для метода

релаксации.
*»=*<
+ (&).« + (й),Т+(й)*+- («•)
1
с электрической проводимостью, потоком жидкости и т. д., которые

можно использовать, чтобы получить графическое изображение желаемой формы или для грубого определения коэффициента формы.
Более 'употребительные из этих систем обсуждаются П. Дж. Шнейдером, «Теплопроводность», гл. 13 [Л. (15]*.
*
7— 308
--------------- page: 99 -----------
и
Если уравнения (3-86) и (3-87) объединить, то получаем

*, + *. = 2*. + а2 + О (а4),
где О (а4) указывает на остаточные члены порядка а*.
Уравнение (3-88) может быть записано явно в членах

(дЧ/дх2)0:
Подобные уравнения, основанные на выражении для

дЧ\
(т-а) , можно записать:
(1г-),=',+ »г2',+0(а<)-
Сумма этих вторых производных дает решение уравнения

Лапласа с точностью порядка а4:
(Ц.)+(^)Г,-+,- + '-,+ '--,,‘=0. (3-89)
*
через температуры окружающих точек в состоянии равновесия
= *«+*« + *» + *♦.
Целью этого метода является установление^ в теле

такого температурного поля, каждая точка которого удовлетворяла бы уравнению (3-90). Чтобы проделывать это

систематически, определяем остаток <20:
Со — ~Мз “Ь
и задача сводится к приведению остатков к нулю для каждой точки тела. Рассматривая рис* 3-27 опять в свете

уравнения (3-91), замечаем, что изменение температуры

на единицу в любой из близлежащих точек может изменять

остаток (2о на ±1, в то время как изменение температуры

самой точки на единицу изменяет остаток <20 на ±4. Это

98
--------------- page: 100 -----------
является ключом к вычислению. На рис. 3-28 изображена модель релаксации, которой удобно пользоваться.

Следующий простой пример вполне объясняет этот процесс.
■ Пример 3-7. В качестве примера, иллюстрирующего этот метод, рассмотрим Ь-образный угол. Такой угол показан на рис. 3-29. Температура на границах стенки постоянна. Начальное распределение температур

предполагается соответствующим

граничным условиям. Величины распределения температур показаны

оправа от узловых точек. Следующим

шагам является подсчет остатков для

каждой из узловых точек путем

использования соответствующей модели релаксации,' которая в этом

случае является моделью для уравнения Лапласа, поскольку источники

гепла отсутствуют. Остатки показаны налево от узловых точек. Воз-

действуя на самые большие остатки, рис 3.2а Схема та мето.

перемещаются от точки к точке,
изменяя температуры и уменьшая
остатки.
При этом не надо стремиться точно установить температуру. Как

и «при любой экспериментальной работе, умение приходит с практикой.

На рисунке показано несколько первичных вычислений, иллюстрирующих этот метод.
Ввиду симметрии вычисления произведены лишь для половины

угла.
Если рассматриваемое нами тело имеет источники тепла, то уравнение т0плопро1во|д1ност!и принимает .вид уравнения Пуассона
дЧ , дЧ <3'(х, у)
*>• (3’92)
Снова используя выражения для частных производных, получаем:
^1 + ^2 + ^3 + ^4

Остаток С?0 в этом случае, пренебрегая членами четвертого и более высокого порядка, принимает вид:
Оо
В случае уравнения (3-94) модель релаксации нужно изменить, как
показано на рис. 3-30, чтобы отобразить .член а2} (х, у), характеризующий тепловыделение. Очевидно, что источники тепла могут быть произвольно распределены по всему телу, это распределение изображается

точками при проведении вычисления. Таким образом, источник тепла

является своего рода модификацией влияния изменения -в нулевой точке.
Метод {релаксации можно использовать и в цилиндрической системе

координат; однако в этом случае уравнения, соответствующие уравне-
7*
--------------- page: 102 -----------
ниям (3-91) и (3-94), не так лелко применить. Заменой переменных

можно свести цилиндрическую систему координат к прямоугольной системе, выраженной в новых переменных. В условиях стационарного режима уравнение теплопроводности в двух измерениях г и 0 принимает шд:
Д
(0
Рис. 3-30. Схема расчета методом релаксации для уравнения

Лапласа—Пуассона.
дЧ 1
дг2 + г дг г2 дб2 °*
(3-95)
Примем К = 1п г, т] = 0; таким

образом,
дЧ дЧ

д02 дт? 9

Г ~аГ;
дЧ 1 дЧ 1

дг2
Подставив эти значения в урав- Рис* 3-31. Логарифмическое преоб-

нение (3-95), получим:
дч дч

дК2 дч\2 * \ /
где теперь /=/(?, т|). Теперь можно применить систему релаксации —

уравнение (3-91). Новые граничные условия можно получить, используя соотношения ?=1пг и г\= 0. Полученные результаты легко изобразить графически, переходя от системы /(^, г|) к системе /(г, 0),
Рассмотрим 'рис. 3-31. На рис. 3-31,а изображена часть трубы, для

которой требуется определить температурное поле. На рис. 3-31,6 изр-

бражена часть трубы, преобразованная в плоскость (^, г^) путем замены

1п г; г|^=0. Граничные условия изображаются здесь как постоянные

температуры по-верхности; однако если температура поверхности изменяется в зависимости от г или 0, или от г и 0 вместе, то ее величина
101
а)
Ув Ъ % % 7* Ъ Ъ Ъ
ГН 6





(С. у) ПЛОСХОС/77&
--------------- page: 103 -----------
у граничной точки будет соответствовать такой же точке преобразований в (^, т]) плоскости. Прямоугольная сетка релаксации может быть

применена непосредственно к рисунку в плоскости (5, т]), чтобы вычислить температуры .в каждой точке. Поскольку это уже установлено,

величины температур для этих точек связаны уерез условие преобразования с точками в плоскости (г, 6) и таким образом задача решена.
ЗАДАЧИ
3-1. Напишите выражение для зависимости температурного поля от

длины в коническом ребре, основание которого имеет радиус Ь и угол а

у вершины. Темшература у основания считается постоянной.
3-2. Измерения, проводимые при .помощи ряда термопар, присоединенных к полубесконечному телу по направлению теплового потока, показывает, что (И/йх<0 и что йЧ1йх2<0.
Какой вывод можно сделать на основании этих экспериментальных

наблюдений?
3-3. Предложили нагревать воду при помощи двухкиловаттного нагревателя Калорда диаметром в 2,5 мм и длиной в 71 см. Нагреватель

поместили (концентрически) в трубу с внутренним диаметром 1,59 см.

Коэффициент теплообмена %к потоку боды, проходящему через нагреватель 146 538 ккал/м2 • ч•град, температура воды на выходе 60° С.
Можно ли использовать нагреватель в медной оболочке?
3-4. Труба диаметром 20,32 см проложена на глубине 76,2 см ниже

поверхности земли. Температура на поверхности земли 4,4° С, температура стенки трубы 83,5° С. Определите стационарный поток тепла от

трубы к поверхности земли при помощи графического изображения

потока.
Сравните результаты этого измерения с результатами, полученными

вычислениями.
3-5. Сколько требуется стеклянной и минеральной ваты для изоляции, чтобы температура плиты в кухне не превышала 58° С. Максимальная температура в печи поддерживалась при помощи термостатической регулировки и достигала 288° С.
3-6. Стены холодильника изолированы стеклянной ватой толщиной

7,62 см, которую поместили между наружной и внутренней стенками

холодильника. Поверхность внутренней стенки вблизи испарителя

—6,6° С. Показания тепломера, установленного на внешней стенке,
40.7
Эффективна ли изоляция? Если нет, то укажите причины низкой

эффективности.
3-7. Определите температурное поле при стационарном режиме

в балке^прямоугольной поперечной площади сечения 6,35x25,4 мм очень

большой длины по сравнению с другими измерениями, через которую

проходит ток 100 а.
Балка — медная, температура окружающего воздуха 18,3° С.
3-8. Вычислите теплообмен через стенку круглого цилиндра с эксцентрическим каналом. Внешний диаметр .равен 20,32 см, а внутренний
12.7
сти равна 121° С, а внешней поверхности 30° С. Материал, из которого изготовлен цилиндр, проводящий, неизолирующий.
102
--------------- page: 104 -----------
3-9. Завершите решение задачи, Показанной на рис. 3-29.
3-10. Определить стационарное температурное поле в любой точке

Р(г, 6) длинного стержня радиусом /?, половина поверхности которого

при О<0 <я сохраняет температуру 18, в то время как другая половина л;<9<2я сохраняет нулевую температуру.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
4-1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В предыдущих главах рассматривались такие системы,

в которых «в результате теплопроводности процессы изменения температуры во времени были завершены. Теоретически считается, что требуется значительный промежуток

времени для установления стационарного потока тепла и

исчезновения влияния переходных явлений на границах

системы.
В этом разделе будет обсуждаться

процесс нагревания или охлаждения тел,

т. е. так называемые переходные процессы.
Твердые тела с бесконечно

большой теплопроводностью. *■
Если тело имеёт очень большую тепло- рис. 4-1. Однород-

проводно'сть и низкий коэффициент теп- ная болванка-

ло обмен а, то тепловой поток к телу или

от тела главным образом определяется конвективным .сопротивлением и ,в теле либо имеют место малые

градиенты температуры, либо они совсем отсутствуют,

т. е. тело пространственно изотермично, температура

меняется только со временем. Некоторые небольшие

тела с ограниченной теплопроводностью удовлетворяют «вышеупомянутым условиям. Рассмотрим небольшую

болванку (рис. 4-1), которая находится в среде, имеющей равномерную температуру. В некоторый момент времени ее поместили .в поток жидкости или газа, который

имеет другую температуру. Задача заключается в том, чтобы определить изменение температуры со временем как

функцию характеристик системы. Запишем уравнение теплового баланса для болванки:
Р сУ^-аА^-1^
103
--------------- page: 105 -----------
В уравнении (4-1) V — объем болванКи и А—ЪлощаДь поверхности. Соответствующие начальные условия 1 = при

т:=:0. Температура окружающего потока ^ — постоянная.

Уравнение (4-1) можно записать в виде дифференциального

уравнения для избыточной температуры, где & = ^ :
(4-2)
Используя граничные условия т = 0, & = получим решение уравнения (4-2) в следующем виде:
®_ =е-(«А1?сУ)Т'
Ясно, что графическое изображение уравнения (4-3) в координатах 1п&/&0 от х дает семейство прямых линий с

аА/рсУ в качестве параметра. Уравнение (4-3) можно переписать в более удобной форме:
Л- = е-(о1^)(^/1г)
где аЬ/Х — критерий Био;
ах//,2 — критерий Фурье;
а — коэффициент температуропроводности.
Соответствующий график уравнения (4-4) представляет собой зависимость 1пО/&0 от аъ/Ь2 с аЬ/Х в качестве параметра

(рис. 4-2).
Величина Ь в критериях Био и Фурье представляет

собой характерный размер системы и определяется как отношение объема тела к площади его поверхности. Таким образом, для простейших геометрических форм величину Ь легко

получить:
шар
цилиндр
4/3
1>г0;
куб
/, = —=—

^ 6 •
104
--------------- page: 106 -----------
Критерии Био и Фурье — безразмерные величины. В случае конвективного .теплообмена использование их позволяет представить температурно-временную зависимость

[уравнение (4-4)] для всех тел с бесконечно большой теплопроводностью одним универсальным графиком.

Электрическим аналогом охлаждения болванки является разряд электрического конденсатора в цегти с линейным сопротивлением. Процесс изменения напряжения

на таком конденсаторе описывается уравнением
Е_
Ел
, (*с)
где Е0 — напряжение в момент времени, равный нулю;

Я — сопротивление;
С — электрическая емкость.
(4-5)
105
--------------- page: 107 -----------
Эта аналогия привела к созданию многих приборов, основанных на С-дёпях, моделирующих переходные процессы

теплообмена.
Пример 4-1. При измерении переменной температуры термометром

важно знать, насколько быстро термометр реагирует на изменение температуры. Полупериодом называют интервал времени, в пределах которого начальная разность между истинной температурой и показанием

термометра сокращается наполовину после внезапного изменения истинной температуры. Необходимо определить этот полупериод для ртутного

термометра, находящегося в потоке воздуха. Пусть ртутный шарик имеет

форму цилиндра радиусом 3 мм. Коэффициент теплопроводности ртути

Х = 7,45 ккал/м-ч-град (см. приложение). Коэффициент температуропроводности а = 0,0166 м2/ч, термическим сопротивлением тонкой стеклянной стенки пренебрегаем. Коэффициент теплообмена для потока воздуха а = 50 ккал1м2-ч-град.
аЬ 50-0,003
Отсюда критерий Био ~у~~ ~7~Т5-2—Отношение в уравнении (4-4) равно 0,5, когда численное значение показателя степени равно

0,693. Таким образом уравнение для определения полупериода времени
будет (<пд//.2).
(х) -°;69а
ахН 0,693 л

Отсюда характеристическая величина
69,3*9* 10~6

'с^==—о 0166-4
Таким образом, можно полагать, что показания термометра правильно

отражают истинное изменение температуры, если это изменение происходит более медленным темпом (для синусоидального колебания температуры найденный период должен быть в 10 раз больше [Л. 19]).
Твердые тела .бесконечно большой теплоемкости. Граничные условия — функция времени. Рассмотрим болванку, изображенную на рис. 4-1,

приняв, что температура потока -меняется от (Нуля линейно

со временем, т. е. температура потока определяется следующим выражением:
1^ = Въ.
Уравнение (4-1) можно написать иначе, учитывая изменение температуры потока:
106
<Н . аЛ , аАВ

йъ 1 р сУ
(4-7)
--------------- page: 108 -----------
Решение уравнения (4-7) принимает вид:
*
Постоянная С, может быть оценена изначального условия,

которое предполагает, что начальная температура равна

нулю. Следовательно, общее решение принимает следующий

вид:
I
Уравнение (4-9) графически изображено на рис. 4-3.

Можно видеть, что температура плиты всегда отстает от

температуры потока. Как только переходные явления исчезают, отставание становится постоянным. Это можно заключить из уравнения (4-9) для очень большого т.
Пример 4-2. Термометр из примера 4-1 используется для того,

чтобы контролировать температуру в обыкновенной кухонной плите.

Нужно вычислить отставание показаний термометра при нагреве плиты

со скоростью 204° С/ч.
Примем коэффициент теплообмена а = 9,8 ккал/м2-ч-град. В этом

случае
РсУ_г.\ _ 0,003.7,45
а-А 2аа 2.0,0166-9,8 и’иб - ’
Ы = 0,08*204 = 16,32° С.
Бесконечно большая плоская пластина.

Вопросы переходных процессов теплопроводности в системах с пространственным распределением температуры связаны с очень громоздкими и сложными математическими

выкладками. Фурье [Л. 20] разработал знаменитый метод

рядов Фурье для решения этой проблемы.
Для плиты толщиной / в направлении х и бесконечной

в направлениях у и г, изолированной на поверхности х = 0

и теряющей тепло конвекцией на поверхности х = 1, уравнение теплопроводности -при отсутствии источников тепла

сводится к
^ 1ЛЧ

7н=аМ’
где 8- — избыточная температура в любой точке тела. Изображение плиты приводится «а рис. 4-4. Уравнение (4-Ю)

можно решить для ряда граничных условий методом разделения переменных.
107
--------------- page: 109 -----------
Принимаем в качестве решения выражение вида:
Ъ = Р(х)0(х),
где, как указано, Р является функцией только г, а О —

функцией только х:
дд
дъ
=0(х) Р' (х);
д^=Р{х)0"{х).
Рис. 4-3. Графики нагревания

однородной болванки под воздействием линейных изменений

температуры жидкости.
Рис. 4*4. Теплопроводность в бесконечной плите.
Подстановка этих двух величин в уравнение (4-10) приводит

к выражению
О (х) Р' (г) = аР (х) О" (х),
■-±к\
(4-12)
в котором переменные разделяются:
1 р* О"

а Р ~ О
где к — постоянная1.
Уравнение (4-12) представляет собой два дифференциальных уравнения вместо одного уравнения (4-10), но эти уравнения являются обычными линейными уравнениями и поэтому

поддаются решению. Эти два уравнения можно написать так:
Р'±к*аР = 0\
0"±:к*а = 0.
1
108
--------------- page: 110 -----------
Решенйе уравнения (4-13) дае1,‘.
Р=,Схе^к^
и, поскольку мы знаем, что избыточная температура уменьшается со временем, мы принимаем отрицательный знак.

Решение уравнения (4-14) с отрицательным к2 дает:
О
Полное решение, конечно, в = /7('с)0(л;), поэтому
& = е~к*ах (Лсоз кх В$т кх).
Граничные и начальные условия следующие:
§-=0, х=0;
5Г“—Г».;
д = х = 0.
По существу нужно определить три постоянные А, В

и к. Соответственно имеются три условия для их определения.
Уравнение (4-16) требует, чтобы производная дЬ/дх = 0

при л: = 0
(— /Мет кх -{- 5/гсоз кх).
Из уравнения (4-17) видно, что В должно быть равно

нулю, для того чтобы температурный градиент (дЪ/дх)х=о=0.

Получаем решение
& = Ае~‘соз кх.
Второе граничное условие, уравнение (4-16а), можно использовать, чтобы определить к:
(ят)„
Из уравнения (4-18)
== Ае~^ат соз Ы.
109
--------------- page: 111 -----------
Объединяя уравнения (4-19) й (4-20), получаем:
с\%к1=^~.
Уравнение (4-21) служит для определения величины к,

которую можно получить, построив график каждой части

уравнения в зависимости от к, как показано на рис. 4-5.
Рис. 4-5. Определение величин собственных значений

для задачи теплопроводности бесконечной плоской

плиты.
Из пересечений кривых двух функций можно получить

столько значений к, сколько необходимо.
Температурное поле
—к'~ аг
0=^ Апе " со8кпх>
п=1
где теперь можно определить величину Ап для каждого кп.

Для этой цели используется начальное условие.
Допустим, что &0 можно разложить в бесконечный ряд:
&0 = Дсоз кгх Л2соз кгх -[- Л3соз к3х -(-... (4-23)
110
--------------- page: 112 -----------
Если уравнение (4-23) умножить на со§кпхйх и проинтегрировать от л;=:0 до х = 1 (полагая, что интегрирование

допустимо), то можно показать, что
I
^ Атсоз кпх со8 ктх йх = О,
о
если тфп. Оставшиеся значения
/
| О0соз кпх йх = | Л/гсоз2 кпх йх,

о
дают возможность получить постоянные Ап.
Следовательно,
« кп1-\-зт кп1сов кп1 '
Теперь для удобства предположим, что кп = Ъп/1 и, таким

образом, получим окончательную формулу распределения

температуры:
00
52 {„1Р) 20о5щ бпсоь(8пх/1)
Ъ «я + аадпсоадя • I " >
п=1
Тепловые потери для полубесконечной плиты получаем

из закона теплопроводности Фурье
/*>\
Vй* А=/ * 2^
/2—1
Если уравнение (4-26) подставить в формулу теплопроводности закона Фурье, то
--------------- page: 113 -----------
Интегрирование уравнения (4-27) дает тепловой поток на

единицу площади:
Уравнение (4-21), содержащее характеристические корни кп ,

можно записать через 8п:
Результаты решений уравнений (4-26), (4-28) и (4-29)

можно графически изобразить в виде функций
Эти результаты были вычислены и представлены в виде

графиков изменения Гребером [Л. 21], Гарней — Лурье

[Л. 22], Хайслером [Л. 23] ои другими. Аналогичные решения

были получены для цилиндра и шара. Результаты этих трех

решений графически изображены на рис. 4-6—4-8 в виде

номограмм для ограниченного диапазона переменных.
Решения двух- и трехмерных задач. Чаще всего задачи

нестационарной теплопроводности затрагивают ограниченные тела, такие как прямоугольные параллелепипеды или

короткие цилиндры. Те решения, которые уже подверглись обсуждению, в этих случаях нельзя применить непосредственно. Однако метод А. Б. Ньюманна [Л. 24] дает

возможность распространить метод решения' одномерных

задач, для которых решения существуют, на двух- и трехмерные. Метод для двухмерных задач может быть легко

использован при решении трехмерной задачи и заключается .в следующем.
(4-28)
(4-29)
01_

<2.
Щ
--------------- page: 114 -----------
Рассмотрим длинный прямоугольный брус, изображенный в разрезе, на р,ис. 4-9. Теплообмен конвекцией имеет

место на внешних поверхностях бруска, при этом коэффициент теплообмена си может быть швсюду постоянным

или .равным на противоположных сггорО|нах.
’ О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 /,4
17
Рис. 4-6. Нестационарная теплопроводность в плите [Л. 321].
Поскольку система симметрична, следует рассмотреть

только одну четвертую часть бруска.
Дифференциальное уравнение для системы:
Граничные условия:
_=0, х=0;
ду
=0, у = 0;
Д: = -4;
§—303
(4-30)
из
--------------- page: 115 -----------
Рис. 4-7, Нестационарная теплопроводность в цилиндре [Л. 322].
Рис. 4-8. Нестационарная теплопроводность в шаре [Л. 323],
114
--------------- page: 116 -----------
Уравнение (4-30) и граничные условия становятся безразмерными, если мы полагаем:
х'-
ах
А2 *У Ж
и учитываем тот факт, что безразмерные отрезки времени

есть критерии Фурье.
ш’УГ/Г/?777?77777777Г/77/77Т/)
Изоляция
дУ
Рис. 4-9. Двухмерный поток тепла

в бесконечном стержне.
Подстановка приводит к следующему:
9' , / А \2 дЬ' _д*Ъ' . / А \2 д2»' .
<*;
=0, л;' = 0;
=0, у' =0;
дЬ'

дх'
дЬ'

ду'
дЬ' аА

дх'
(4-31)
|^=х8'. »'=>•
Решение предполагается получить в виде &' = 0^ X
где
Т)!
»;=/,(✓. 5.x)-
8*
115
--------------- page: 117 -----------
Подстановка принятого вида решения 6 уравнение (4-51)

дает:
. (А_ 2_1_ Му
К К Vй/ ь'у' дху
_ 1 дч’х ■ / А у 1
9^ дх'2 Ь )
Уравнение (4-32) имеет форму
Фх(х, *) = Ф„(у, х) = 0*.
Таким образом, имеем два уравнения:
дЬ'х _ дЧ'х дЪ'у _ д%

дг'х дх'* дх'у ду'1 •
Уравнения (4-33)—это безрамерная форма уравнения

(4-10), которая имеет решения, подобные решениям уравнений (4-2-5) и (4-28).
Итак, ясно, что произведение решений для двух нтолу-

бесконечных пластин толщиной 2А и 2В дает решение для

бесконечного бруска с поперечным сечением 2ЛХ2В.
Легко убедиться, что параллелепипед с измерениями

2АХ2ВХ2С имеет решение, которое является произведением решений для трех полубесконечных плит, с измерениями соответственно 2А, 2В, 2С. На рис. 4-10 приводятся

кривые для тел различных форм, которые вначале имели

избыточную температуру Фо и поверхности которых затем

были мгновенно охлаждены до 0=0 [Л. 25]. Многие другие решения приводятся в книгах Карслоу и Егера [Л. 26],

Шнейдера [Л. 27] и Мак Адамса [Л. 28].
Пример 4-3. При термической обработке стальной болванки в форме прямоугольного параллелепипеда с измерениями 0,3X0,3X0,6 м требуется, чтобы все части болванки нагревались до 370° С, но так, чтобы

температура любой части болванки не превышала 398° С. Для того чтобы создать эти условия, болванку при начальной температуре в 21° С

помещают в печь, в которой происходит циркуляция инертной атмосферы .при 398° С, вследствие чего коэффициент теплообмена равен
788,6
чтобы температура ее центра достигла 370° С.
Для того чтобы использовать уже имеющиеся решения, применяемые только для случая твердых тел с равномерным -начальным распре-
*
постоянной. Однако любое уравнение должно быть справедливо при отсутствии другого, поэтому .постоянная должна быть равна нулю.
116
(4-32)
(4-33)
--------------- page: 118 -----------
Делением Температуры, которые в момент времени, равный нулю, погрузили в жидкость с нулевой температурой, мы должны -решать задачу

с болванкой та'иим же образом. Это сопровождается изменением граничных условий, (причем 398° С берем за .нулевую температуру. Это приводит к .появлению эквивалентной задачи, из условия которой вытекает,

что первоначальная температура болванки должна быть 398—21 =377° С;
Рис. 4-10, Распределение температур по центральным осям тел различной формы в процессе охлаждения [Л. 324].
/ — плита; 2 — цилиндр квадратного сечения бесконечной

длины; 3 — цилиндр круглого сечения бесконечной длины;

4—куб; 5 —шар; 6 — цилиндр круглого сечения, длина

равна диаметру.
болванка погружена в жидкость с нулевой температурой в момент времени, равный нулю, причем теперь надо вычислить время, которое необходимо, чтобы температура в центре болванки достигла 398—370=28° С.

Из приложения находим Х=37,2 ккал/м* ч • град \и коэффициент темпера туроировод-насти а=0,053 м2/ч.
На основании решения произведение Ньюмана равно
(±\ (±) (±\ =±

\ и ]а \ /в \ /с
=Й=0’074-
Поскольку Л = В = 0,3 м и С = 0,6 л*, вышеприведенное выражение

принимает вид:
(х)\
а А а В 488,6-0,2* „ а С 488,6-0,6

Х = Х= 37,2 ^3’9 и Т~°' 37,2 =7-8 (а)‘
Эту задачу можно решить методом последовательных приближений.

Берем время, равное т, вычисляем две величины ат/А2 и аъ/С2 и
используем их вместе с величинами ос Л/А и а С/Х, чтобы определить (т-)
и ^ из графика для х\1 = 0, изображенного на рис. 4-6. Эти величины подставляем в вышеприведенное выражение (а). Процесс повторяется вплоть до тех пор, пока не получим удовлетворительное значе-
117
--------------- page: 119 -----------
ние для (а). Время, взятое для этого значения, — время, за которое температура в центре болванки повышается до 370° С.
Приведем результаты, полученные после нескольких попыток, допустим, что х = 1,53 н:
= 0,901; -г-=0,25;
ах 0,053*1,53

"Л* 1=8 М9 —аЛ
ах 0,053-1,53
с* оТзб 0> 5; ^~0,125-
Из рис. 4-6 для х/1— 0 (центр каждой плиты) находим значения параметров
302;
Таким образом, (0,302)2 (0,805) =0,0735, т. е. время, 'необходимое для

того, чтобы температура в центре болванки достигала 370° С в условиях, поставленных задачей т=1,53 ч.
Неограниченное твердое тело. Рассмотрим характер распределения температуры в твердом теле для

если при ъ = 0 температурное поле описывается выражением

^ = Подлежит решению уравнение
= <4-34>
Рассмотрим выражение
(4-35)
Ух
которое продифференцировав по г один раз и по х — дважды

и подставив в уравнение (4-34), убедимся, что оно полностью

удовлетворяет уравнению.
Выражение (4-35) можно записать в слегка измененном

виде, которое все еще является решением дифференциального уравнения:
I = -рк е~ {х~^аЖ
2У я#х
где | — параметр. Это выражение имеет то свойство, что

оно везде равно нулю в момент времени, равный нулю, за

исключением случая, когда х = \, где оно конечное. При

возрастающих значениях х температурное яоле по про-
118
--------------- page: 120 -----------
странствен,ной координате х такое, как показано ,на

рис. 4-11. Уравнение (4-35а) можно рассматривать с физической тачки зрения как температуру мгновенного плоского источника тепла, в момент времени, равный нулю, расположенного в точке х = %. Тогда температура в любой

точке х является результатом действия источника, распо-
Рис. 4-11. Мгновенный источник тепла и последующее распределение температуры в бесконечном

твердом теле.
ложенного в точке |. Мощность источника равна /(^), а количество тепла, выделенного единицей площади плоскости,

равно /(5) р С, т. е. {(%) —температура, до которой могла

бы подняться температура объема (единица площадиX

Хб|), под воздействием тепла, выделенного источником.
Поскольку уравнение теплопроводности линейное, сумма любого числа частных решений также является решением; отсюда
+00
/ =
2
—00
с
Если в решении (4-36) произвести замену переменной
6 = л: + Р
тогда
+00
1(х, •*)=—1= С 1(х + $У4ач)е*У4сп<1$
2V кая ^
—00
119
--------------- page: 121 -----------
1 (х,г)= у=г 11 (х + р У4ах) е+й%.
—ОО
Если в вышеприведенном уравнении 1 = 0, то ! (х-{-фу/4ах)=

= [(х), поэтому
00
*(х,0) = у=-! (х) | Лр = /(*).
Таким образом, решение (4-35а) удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию и, следовательно, является решением задачи.
Полубесконечное твердое тело. Полубесконечным твердым телом может быть тело, ограниченное плоскостью
х=0 и стремящееся к бесконечности в направлении положительного х. Предположим, что тело имеет температуру

1=1(х) в момент времени, равный нулю. Температура поверхности равна .нулю для т>0. Температурное поле для

этого тела можно определить с помощью решения для бесконечного тела [уравнение (4-36)], если продолжить твердое тело в направлении отрицательных х и начальное

распределение температуры принять равным /(§), а

120
Рис. 4-12. Модель распределения температуры для

полубесконечного твердого тела.
--------------- page: 122 -----------
плоскость х=0 останется при нулевой температуре

(рис. 4-12). Таким образом, из решения (4-36)
< = 2-т^{ГнУ^‘~№“’<Я+ | ЬИ-()]е-('-да“д1
О
или, переписав, получим
00
I
2
о
Когда начальная температура ^0 постоянна, решение (4-37)

можно упростить подстановкой вместо первого члена в интеграле I = х 2^|/а* и вместо второго члена & = — х +2р ах-

Таким образом, получаем:
,=% $ ^<9 ~$г
~х/2Уаъ
х[2Уах
=у= | е~'^=у= |
—х{2У ам
Определенный интеграл в решении (4-38) табулирован, краткое табулирование приводится в табл. 4-1.
Если определенный интеграл в решении (4-38) обозначить как
ыг=Ые~^-
о
тогда решение задачи для полубесконечного твердого тела,

поверхность которого поддерживается при нулевой температуре и начальная температура которого 10, дается выражением
1|.= еП-^=.
О
2
Теплоотдача с поверхности х = 0 определяется как
Чс)».-7^- <4-40>
Решение (4-36) можно применить к случаю, когда два

листа тяжелого материала свареньи вместе заливанием между ними расплавленного металла.
121
--------------- page: 123 -----------
Таблица 4-1-
Функция ошибок или интеграл ошибок [Л. 29]
2
ег{2=
О
X
ег! г
2
ег! 2
2
ег! 2
2
ег! 2
0,00
0,00000
0,66"
0,64938
1,30
0,93401
1,94
0,99392
0,02
0,02256
0,68
0,66378
1,32
0,93807
1,96
0,99443
0,04
0,04511
0,70
0,67780
1,34
0,94191
1,98
4 0,99489
0,06
0,06762
0,72
0,69143
1,36
0,94556
2,00
0,99532
0,08
0,09008
0,74
0,70468
1,38
0,94902
2,05
0,99626
0,10
0,11246
0,76
0,71754
1,40
0,95229
2,10
0,99702
0,12
0,13476
0,78
0,73001
1,42
0,95538
2,15
0,99764
0,14
0,15695
0,80
0,74210
1,44
0,95830
2,20
0,99814
0,16
0,17901
0,82
0,75381
1,46
0,96105
2,25
0,99854
0,18
0,20094
0,84
0,76514
1,48
0,96365
2,30
0,99886
0,20
0,22270
0,86
0,77610
1,50
0,96611
2,35
0,9991107
0,22
0,24430
0,88
0,78669
1,52
0,96841
2,40
0,9993115
0,24
0,26570
0,90
0,79691
1,54
0,97059
2,50
0,9995930
0,26
0,28690
' 0,92
0,80677
1,56
0,97263
2,60
0,9997640
0,28
0,30788
0,94
0,81627
1,58
0,97455
2,70
0,9998657
--------------- page: 124 -----------
0,30
0,32863
0,32
0,34913
0,34
0,36936
0,36
0,38933
0,38
0,40901
0,40
0,42839
0,42
0,44747
0,44
0,46623
0,46
0,48466
0,48
0,50275
0,50
0,52050
0,52
0,53790
0,54
0,55494
0,56
0,57162
0,58
0,58792
0,60
0,60386
0,62
0,61941
0,64
0,63459
х
0,96
0,82542
0,98
0,83423
1,00
0,84270
1,02
0,85084
1,04
0,85865
1,06^
0,86614
1,08
0,87333
1,10
0,88020
1,12
0,88679
1,14
0,89308
1,16
0,89910
1,18
0,90484
1,20
0,91031
1,22
0,91553
1,24
0,92051
1,26
0,92524
1,28
0,92973
&
Продолжение табл. 4-1 ~
г
ег? г
г
ег! г
1,60
0,97635
2,80
0,9999250
1,62
0,97804
2,90
0,9999589
1,64
0,97962
3,00
0,9999779
1,66
0,98110
3,10
0,9999884
1,68
0,98249
3,20
0,9999940
1,70
0,98379
3,30
0,9999969
1,72
0,98500
3,40
0,9999985
1,74
0,98613
3,50
0,99999925691
1,76
0,98719
3,60
0,99999964414
1,78
0,98817
3,70
0,99999983285
1,80
0,98909
3,80
0,99999992300
1,82
0,98994
3,90
0,99999996521
1,84
0,99074/
4,00
0,99999998458
1,86
0,99147
4,20
0,99999999714
1,88
0,99216
4,40
0,99999999951
1,90
0,99279
4,60
0,99999999992
1,92
0,99338
4,80
0,99999999999
1,00
--------------- page: 125 -----------
Если предположить, что не имеется никаких осложнений, обусловленных фазовыми изменениями, и что поверхность листов теряет тепло значительно медленнее, чем то

тепло, которое притекает к металлу, благодаря теплопроводности, задачу можно идеализировать введением неко-
1
1—а—1
1
1=0
1
1=0 х


Рис. 4-13. Начальное распределение температуры при сварке двух листов.
торого начального распределения температуры, как показано на рис. 4-13. Это температурное поле показывает, что

^=0 для х<1 и х>т, для 1<х<т. Решение можно

написать, если уравнение (4-36) записать по частям. Интеграл от I до т является единственным участком, который

дает добавление:
т
I
2
I
Производя замену переменной, как и прежде,
(т—х)/2 Vсп
'=& !
(I—х)Р У ат
или, переписывая в символах функции ошибок, получаем:
<4-42>
Решение (4-42) является адекватным решением, но если

л: = 0 равноотстоит от / и т, Ь = (т — /)/2; тогда решение (4-42) выражается через Ь следующим образом:
I
2
графический метод Шмидта. Во многих случаях быстрое решение для полубесконечного тела и плиты

можно получить, если применить приближенный графиче-

124
--------------- page: 126 -----------
■ский метод Шмидта [Л. 30]. Уравнение теплопроводности

МОЖ1НО преобразовать в уравнение в конечных разностях

путем деления времени на интервалы Ат и толщины (глубины) стенки на интервалы Ал: с последующим рассмотрением изменений температуры :в .этих интервалах (рис.4-14).

Уравнение (4-34) в конечных разностях имеет вид:
<4'44>
Индексы у 'символов разности указывают, что либо время

т, либо координата х «являются (переменными при нахождении разности М Интервалы координаты и времени необходимо по порядку занумеровать. Так, например, п

(р.ис. 4-14) можно -считать номером какого-либо пространственного интервала в плите, а к— номером какого-либо

момента времени.
Основываясь на этом, величину Д^ можно выразить таким образом:
= *п,к+1 *п,ку
а также величину Д,* = *л+1>л —*я>*.
Выражение есть разность между двумя последующими разностями, а именно:
Ах1 = — 1пк) {1п>к 1,&)==
= ^л+1 ,к ^п,к “1" К—\,к •
Подстановка этого выражения в уравнение (4-44) дает:
К,к+1 ^пхк = а ХГ* ^л+1 Л ^п,к ^я—1 ,к )ф (4-45)
%
При помощи этого уравнения можно определить температурное поле в стене в (&+1)-й интервал времени, если

распределение температур известно для (6)-го интервала

времени. Исходя из известного начального распределения

температур, последовательным применением этого уравнения можно постепенно установить изменение температурного поля. Вместо аналитических расчетов можно использовать графический метод решения, иллюстрируемый

рис. 4-14. На этом рисунке показана кривая распределения

температуры 4 в к-й интервал времени. Соединим прямой

две точки температурного поля, разделенные двумя интер-
^
--------------- page: 127 -----------
валами координаты Ах, например точку 1п-\,к на ординате

(п—1) с точкой *п+1,л на ординате (м+1) (рис. 4-^).
Отрезок прямой пересекает ординату в-точке А. Этот

отрезок имеет величину
; 1п-\,к + *п±\,к + —_!//
I—
(4-46)
Это уравнение .весьма напоминает разность температур,

выраженную (правой частью уравнения (4-45); единственное отличие одного выражения от другого заключается

лишь в том, что вместо коэффициента У2 в выражении
Рис. 4-15. Графический метод

определения температурного

поля плоской стенки при

нестационарном режиме по

Шмидту.
Рис. 4-14. Графический метод определения температурного поля плоской

стенки при нестационарном режиме

по Шмидту.
(4-46) в уравнении (4-45)

имеется
аДт/Дх2. Однако мы всегда можем подобрать величину интервала времени Дт относительно произвольно

избираемого интервала Дл; таким образом, чтобы удовлетворялось условие аДт/(Дх)2 = у. Методом, показанным на
рис. 4-14, находим точку А температурного поля, которая

соответствует температуре (&+1)-го интервала времени,

равного
Дх =
(Дх)2

2 а
126
--------------- page: 128 -----------
Соединяя Другие точки Температурной кривой, мы мбжеМ

получить все точки температурного поля для (6+1)-го интервала времени и, таки/м образом, определить все температурное поле, пользуясь лишь этим методом. Чтобы

иметь возможность применить описанный графический метод решения, 'необходимо знать распределение температур

в -стенке для какого-либо определенного момента времени.

Если, кроме того, известно изменение температуры поверхности во времени, то распределение температур в стенке

можно изобразить так, -как показано «а рис. 4-15. Здесь

даны температура и для момента времени т=0 и температура поверхности (точки 0,1,2 и т. д.) для последовательных интервалов времени. Однако чаще известны

лишь температура жидкости, омывающей стенку, и коэффициент теплообмена на ее поверхности. Поэтому деление на -слои лучше производить методом, показанным на

рис. ^-16. В этом случае градиент температурчна поверхности стенки определяется для каждого момента из граничного условия
Графически это означает, что касательная к температурной

кривой в точке, лежащей на поверхности, должна проходить через направляющую точку, расстояние которой от

стенки равно х/« и ордината которой равна температуре

жидкости. Эта зависимость уже была изображена ранее.?
127 ~
■А/а
Рис. 4-16. Графический метод определения температурного поля плоской стенки и пограничного слоя

при нестационарном режиме по Шмидту.
--------------- page: 129 -----------
Здесь она-.может быть йбмольэована следующим образом.

Продолжаем кривую начального (распределения температур

1, 2, 3,... (рис. 4-16) до точки пересечения прямой (г, а)

с поверхностью стенки и соединяем, как описывалось выше,

точку 0 с точкой 2, точку 1 с точкой 3 и т. д. отрезками пря-
Рис. 4-17.'Температурное поле кирпичной стенки

при нестационарном режиме.
мых. В результате (Получаем новую кривую (распределения

температур 12\ 3'... Продолжаем эту ло'маную линию до ,

пересечения с поверхностью путем соединения точки 1

с направляющей точкой г. Таким образом, получаем точку

О'. Затем продолжаем этот процесс несколько раз. Если

с течением ©рамени изменяется температура окружающей

орещы ^ или коэффициент теплообмена а, это обстоятель-

128
--------------- page: 130 -----------
сиво можно легко учесть путем 'соответствующего перемещения натравляющей.точки в вертикальном или горизонтальном направлении.
Эта легкость в обращении с различными условиями на

поверхности является одним из преимуществ графического

метода' по сравнению с аналитическим решением дифференциального уравнения, когда временные граничные

условия (привадят к значительным математическим трудностям. Впоследствии этот метод был применен А. Несси и

Л. Ниссолем для тел других форм и для гомогенных

систем [Л. 31].
Пример 4-4. Начинают отапливать жилую комнату с кирпичными

стенами, температура которой первоначально равна внешней температуре— 1° С. Необходимо определить, через какой промежуток времени

в комнате и стенах установится постоянное распределение температур.

Конечная температура в комнате 21° С. Коэффициент теплообмена на

внутренней поверхности стены аг = 6 ккал/м2 • ч • град; коэффициент теплообмена на внешней поверхности аа = 14,5 ккал/м2 • ч • град; коэффициент температуропроводности а=0,0011 м2/ч; толщина стены 0,396 м.

Распределение температуры в стене при стационарном режиме задается

прямой, соединяющей точки а и Ь при температуре—1 и 21° С, которые отстоят от поверхностей стены на расстоянии Я/аг и Я/аа. Если

предположить, что теплоотдача к внутренней .поверхности стены постоянна, то за время прогрева ‘наклон температурной кривой к внутренней

поверхности будет оставаться неизменным. Теперь, чтобы приступить

к графическому решению, разделим стену на шесть слоев толщиной

Д*=0,066 м. Отсюда находим интервал времени
(Ах)2 0,0662

Дт~ 2а 2-0,0011 — 1,9 4’
Построение температурных кривых можно проследить на рис. 4-17. Как

видно из рисунка, для установления стационарного режима необходимо

более 80 ч, т. е. более 4 дней. По истечении 9,85 ч интервал по координате увеличен до 2Ах; в соответствии с этим увеличен и интервал времени: 4X1,97=7,88 ч.
{ 4-2. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА ч
На практике явления передачи тепла часто наблюдаются в таких условиях, когда температурные граничные

условия периодически изменяются 1во времени. Эти явления

имеют .место в цилиндрах паро'вых .машин и двигателей

внутреннего сгорания, в процессах производства, где тепловой цикл системы более желателен с точки зрения осуществления контроля, и во многих других случаях, ^акие процессы можно рассматривать с помощью только что описанного графического метода Шмидта. Однако этот метод связан с определенными затруднениями графического выпол-

9—308
--------------- page: 131 -----------
нения. Применение .некоторых аналитических методов

позволяет изучить (природу периодической передачи тепла

и в тех случаях, когда этого нельзя сделать, используя

графические методы.
Твердое тело с бесконечной теплопроводностью, температура окружающей среды —

пер,и одическая функция времени. Рассмотрим

маленькую болванку, о которой ,мы уже упоминали, но

теперь будем (полагать, что она ,погружена в жидкость, температура 'которой периодически изменяется. Любая периодическая функция может быть разложена в ряд

Фурье {Л. 32]. Поэтому для колебаний температуры жидкости можно написать:
<4-47>
п—I
где ап и Ьп — коэффициенты Фурье и %0 — период колебания

температуры. Подставив уравнение (4-47) в уравнение (4-1),

получим выражение
00
(И , аА , аА Г а0 I ЖЧ / 2пп* , и . 21шт\'1 /л лоч
2гН^' = 1у[^2Д. —+ " ~ )]• <448)
п—1
интегрируя которое, будем иметь [Л. 33]:
±
*~е \у
+|] («„С08
/2=1
или в окончательном виде [Л. 34]
°°
/М/рс10* + (2ип/*о)*
+ С1е“вД,/рс1',
где
8 =
Постоянную Сг можно определить, учитывая распределение температуры в момент времени, равный нулю, однако
*
130
--------------- page: 132 -----------
с течением времени переходный член стремится к нулю, и колебания температуры принимают регулярный характер. Температурно-временное состояние болванки по истечении переходного времени можно выразить так:
На основании решения (4-50) можно сделать заключение,

что температура болванки всегда отстает от температуры

жидкости на фазовый угол 8, а амплитуда температурных
Пример 4-5. Термометр .сопротивления применяется для замера температуры газа в цилиндре машины, делающей 120 об/мин. Величина

сопротивления термометра просматривается на осциллоскопе.
Требуется определить возможную ошибку в измерении. Предположим, что колебания температуры синусоидальные, тогда мы можем использовать даиные решения (4-50) три п= 1. Термометр сопротивления

имеет цилиндрическую форму и изготовлен из .платины, его диаметр

0,51 мм. Теплопроводность платины равна 59,5 ккал/м- ч- град, а температуропроводность а=0,087 м2/ч. Коэффициент теплообмена цилиндра

может быть порядка а=244,3 ккал/м2 • ч • град. Характерное измерение

чувствительного элемента составляет /,=0,51 : 4=0,127 мм. Машина

делает 120X60=7 200 циклов в час; таким образом,
Следовательно, здесь имеют место погрешность в температурных

показаниях на 81% и отставание в показаниях на 86,5° или почти на

четверть оборота.
Полу бесконечное твердое тело, температура .поверхности 'периодически изменяется

во времени. Рассмотрим еще раз полубесжонечное твердое тело протяженностью от поверхности х=0 до бесконечности, где температура внешней поверхности при х = 0 изменяется периодически во времени. Дифференциальное уравнение имеет вид:,
00
апсоз [(2тт%1х„) — 8] + Ьп$ш [(2я/п/т0) — 8]
. (4-50)
п=1
Л-И 1г3
колебаний уменьшается на коэффициент
/1+г§2д‘
%
0,087-244,3-1 000
5 = 25,9.
•8 = *ё-« 16,1 =86,5°.
--------------- page: 133 -----------
и должно удовлетворять следующим начальным и граничнымг

условиям:
т = 0; I — 0;

х = 0; ^ = !(%)■,
X оо; I ф оо.
00 7
Решение может быть вида:
г = Р(1)0(х).
Поскольку изменение температуры должно быть периодическим, необходимо, чтобы как время т, так и пространственная координата х входили в аргумент некоторой тригонометрической функции. Это достигается в результате

представления решения для Р(х) в виде экспоненты с мнимым (показателем. Дифференцируя уравнение (4-51) и разделяя 'переменные, получаем:
Р'(х) 0"(Х)
о*(т) С(х)
где I = V — 1 •
Как отмечалось раньше при анализе решений, уравнение

(4-52) на самом деле представляет собой два уравнения:
Р(^—(±1кг)аР(х)^ 0;
0"(х) — (±1к2)0(х) =О,
из решения которых получим
I =
Решение (4-53) может быть представлено в четырех частных решениях:
= Схехр [— ]/" 1/2 кх -(-1 {кгаъ — |/1/2 кх)\,
12 = С2ехр [— У1/2 кх — I (к^аъ — У1/2 кх)\,
^,= С3ехр [У1/2 кх -}-«(кгаъ — У1/2 кх)];
/4 =С4ехр [У 1 /2 кх — I (к3аъ — |/1/2 кх)].
Два из этих решений с физической точки зрения невозможны,

поскольку температура не может бесконечно возрастать

с ростом х. Эти два решения отбрасываются и ^^), а два
132
--------------- page: 134 -----------
других складываются, чтобы получить другое частное решение:
I = е-УТ^кх
Уравнение (4-54) можно записать через тригонометрические

функции:
I = е-г'<2кх соз (к2аг — }/ 1/2 ^лг)+581п {к%ат. —У 1/2кх)
(4-55)
или через фазовый угол
I = Се~гт^х соз (к*а-с — У Т/2 кх — 8), (4-56)
где
8 = ^->|- и С— У А*В*.
Необходимо определить постоянные А, Вик из граничных

условий. Полагаем, что функцию /0 = / (х) можно выразить

рядом Фурье:
00
'.=т-+Б(“.“8??+6»51п2-?> <4-57>
П — \
Уравнение (4-55) для л: = 0 принимает вид:
/0 = Л соз кгах В зш кгах.
Таким образом, сравнивая уравнение (4-57) и (4-58), мы видим, что
Постоянный член а0/2 или средняя температура при х = 0

не входит в решение (4-58). Этот член обычно является

средней величиной колеблющейся температуры при х = 0

и является результатом начальной неравномерности в момент

времени, равный нулю. Ранее мы получили такое решение,

которое для этого случая имеет вид:
<«9>
*" * \
133
--------------- page: 135 -----------
Сложив решение (4-59) с решением (4-56), получим другое частное решение
'=т('-ег,2-7й) +
п=I
+*.-(*?-/!*)]■ <«<»
То, что решение (4-60) удовлетворяет дифференциальному

уравнению и граничны^ условиям, можно установить на основании его оценки при лс = 0 и х-+оо. Решение (4-60) не

удовлетворяет условиям ^ = 0, т = 0 и не может быть использовано в области малого времени1. Однако для больших %

ех1х/2]/га% стремится к нулю и конечное выражение

представляет собой периодическое распределение температуры

для случая, когда первоначальная неравномерность ослаблена:
' ■=■т+2с”со! ^ - УЖх—!.) ■■ <4-61 >
п=1
где
С = V а2 4-Ъ2 и 8
П Г П I П
|
Для более простого случая, когда температура поверхности есть функция косинуса
, .
^0лСО8—^' ’
рассматриваются только колебания около средней температуры.
Это равносильно тому, что за данную температуру принимается а0/2. ?0м является максимальной абсолютной величиной изменения температуры поверхности. Решение (4-61)

сводится к выражению
*
1 Решение, справедливое для малых т, приводится там же.
134
--------------- page: 136 -----------
Физический смысл Только что записанных более сложных

решений можно выяснить, рассматривая более простое решение (4-62). Рассмотрим уравнение (4-62) при некоторых

значениях пространственной координаты х, полагая, что х —

постоянная величина.
Поскольку соз 2#г7с — -(- 1, когда т — 0, 1,2, 3,...будет максимальным, когда
27шт _ / пп

или
''<макс = т-^+Т V'ШГпХ
для любого л;.
Для поверхности д: = 0 температура ^0 = ^ймсоз^^ и яв-
2ппч 0
ляется максимальной, когда
г0
при х = 0.
Сравнивая значения времени, когда имеет место максимальная температура на глубине х и на поверхности, можно видеть, что колебания имеют такой же период \/п на каждом расстоянии от поверхности, но колебание на расстоянии
Рис. 4-18. Сравнение изменения температуры поверхности и изменения температуры на глубине х с

течением времени для периодического стационарного

состояния в полубесконечном теле.
от поверхности х запаздывают по фазе от колебаний

на поверхности на 1/2ъ0/ат:х. Кроме того, амплитуда

колебания на расстоянии от поверхности х уменьшается на множитель е~[Гт1а^ох_ Эти физические особенности графически изображены на рис. 4-18 и 4-19.
135
--------------- page: 137 -----------
Рис. 4-19. Распределение температурных колебаний

в стенке бесконечной толщины [Л. 325].
Если напомнить, что косинус является четной функцией, т. е.
С08 (— Р) = СОЗ Р,
то решение (4-62) может быть записано в виде:
,^-^соз
Величина 10мсо$У Пк/а^0х выражает косинусоидальную

волну с амплитудой 10м и длиной волны х0. Длина волны равна:
*.=2]/=*.
Величина
*ом 008 \/ пЧах ох — (27Е/гх/х0)]
выражает ту же волну, что и раньше, но сдвинутую в положительную сторону направления х на величину 2ъп*/х0.
Таким образом, скорость распространения волны, принимает вид 2|/ шп/ъа. Амплитуда упреждающей волны умень-
136
--------------- page: 138 -----------
шается с удалением от поверхности на множитель е~ п*/ах°х.

Эти характеристики приведены на рис. 4-20.
Решение (4-63) показывает также, что чем выше частота (чем больше п), тем меньше проникновение тепловой

волны, т. е. высокочастотные тепловые' колебания быстро

затухают по сравнению с основными или более низкими гармоническими колебаниями.
Рис. 4-20. Характеристика колебания температуры в по-

лубесконечной стенке.
Пример 4-6. Следует определить, на какую глубину проникают

в землю дневные и годовые температурные колебания. Из приложения

можно получить температуропроводность глиноподобной почвы

3,62 • 10_3 м2/ч и температуропроводность песчаника от 3,81 • 10_3 до

4,55 • 10”3 м2/ч. Вычисления проводились при более .низких значениях

0,039—3,62 • 1СН. Из рис. 4-19 видим, что практически колебания затухают лри х/(2 ^яато)=0,8. Для дневных колебаний То=24 ч. Таким образом, получаем:
лг = 1,6 ^.3,62.10~3-24 =0,835 \м.
Для годовой флуктуации глубина проникновения будет кратна V 365,

т. е. 15,94 м.
После того как начальные нестационарные явления исчезают, в периодическом процессе направление потока тепла будет изменяться,

поскольку температурный градиент на поверхности то положительный,

то отрицательный. Количество поглощаемого или отдаваемого тепла

можно определить из уравнения теплопроводности Фурье:
(4-64)
137
--------------- page: 139 -----------
Если решение (4-62) продифференцировать, например, по д: и подставить

в уравнение^ (4-64), мы получим уравнение
2тшх
-соз
ъ~)
г— , / пп (2ппъ п \
У^.у 35«и(т;—-г]'
которое при интегрировании в пределах от т, до т2 принимает вид:

0 = 0;
У
( 2пт
У 2ппа
со8{нг~н)
(4-65)
Зависимость между максимальной и минимальной температурой, а

также между максимальным и минимальным тепловым потоком показана

. в табл. 4-2.
Таблица 4-2
Фазовые соотношения в периодическом стационарном состоянии

/
о
II
*
х (3
т
0<
1 х0
Мах
0 0
8 п
Мах
1 хо
3 т0
0
4-° Мш
8 п
0
1 т0
5 х0
Мш
2п 0
8 п
Мш
3 т0
7
0
1п Мах
8 п
0
Мах
I» о
9 То
Мах
п
8 п
Используя величины времени для <2макс и <2МИН в решении (4-65),

можно вычислить количество тепла, втекающего в твердое тело за по-

лупериод:
У в Ы”)
2т0
ппа
(4-66)
Ув (Ъ1п)
Решение (4-65) изображается графически на рис. 4-2\.

135
--------------- page: 140 -----------
Полубесконечное твердое тело. Температура

окружающей жидкости периодически изменяется во времени. Если 'температура жидкости, соприкасающейся

с открытой поверхностью л; = 0, изменяется периодически
Рис. 4-21. Фазовые зависимости в периодическом

потоке тепла [Л. 328].
и теплообмен происходит с коэффициентом теплообмена а,

то решение в основном такое же, как .и полученное в предыдущем разделе. Температура жидкости изменяется по

закону
1 .
0=^мсо8^->
а граничное условие на открытой поверхности с учетом перекоса тепла конвекцией
= (4’-68)

Частное решение дифференциального уравнения дается решением (4-56), которое повторно приводится здесь для удобства:
^==•^^е~Vx|:2кx соз (к^аъ—'У 1/2 кх — 8).
Следовательно, необходимо определить значения С1У к и 8,

используя решения (4-56), (4-67) и (4-68), чтобы получить
139
--------------- page: 141 -----------
решение предложенной задачи. По вычйслёнйи этйх постояв

ных, решение принимает вид:
Тщательное рассмотрение решания (4-69) для (условий 1на 'поверхности (я=0) приводит к заключению, что

температура поверхности и колеблется с такой же частотой п]то, как и температура окружающей жидкости, но

амплитуда колебания температуры 'на поверхности уменьшается на величину
Из вышеприведенного решения очевидно также, что

для больших значений критерия Био темлзратура поверхности подходит близко к температуре жидкости, а для

меньших значений критерия Био разница становится

больше. Кроме того, более высокая частота тепловых колебаний 1менее эффективна при проникновении .в тело, чем

низкочастотные колебания.
Пример 4-7. Случай периодического переноса тепла имеет место

в цилиндре двигателя внутреннего сгорания с возвратно-поступательным движением рабочих частей. Нужно рассчитать глубину проникновения температурных колебаний в стенку цилиндра. Предположим, что

двигатель делает 2 ООО об/мин. Если двигатель имеет двойной ход поршня, то период одного колебания равен:
Температуропроводность железа составляет а = 0,0596 м21ч. Таким

образом, используя опять величину х/2
как меру практической глубины проникновения, мы можем вычислить х
Таким образом, колебания температуры проникают только на глубину
2
обмена температура поверхности стенки цилиндра будет изменяться со

значительно меньшей амплитудой, чем температура газа .в цилиндре.
140
е—V кп/а т0х
* М ^ 1 + 2К(я/гХ2/ат0а2) + 2(тс/гХ2/ат0<х2)
X соз
2ппъ
1
(4-70)
Т» 60-2 000 12-10* 4'
--------------- page: 142 -----------
Уменьшение амилятушьг ъгоЖнО' йьпшслить пррг ггомощи формула

(4-70)\ Принимаем м=1 для основной волны и берем из приложения

/1=44,6 ккал/м2 • ч • град и оцениваем а=488,6 ккал/м2 ♦ ч • град, тогда
л(44,6)2.12-104

аг0аг 0,0596 488,6

(1 + 2 V52760 + 2-52= 0,0031.
Если температура газа изменяется с двойной амплитудой в 1 647° С,

тогда температура -поверхности стенки цилиндра имеет двойную амплитуду
1 647X0,0031 = 5,1° С.
Согласно испытаниям, проделанным А. Майером [Л. 36] с двигателем

Отто при п — 2 000 об/мин, колебания температуры поверхности составляли приблизительно 11° С.
ЗАДАЧИ
4-1. Стальная болванка, параллелепипед по форме, с намерениями

1,22X1,22X3,05 м с начальной температурой 260° С помещается в печь,

в которой температура - поверхности составляет 1 203° С. Определить

температуру точки вблизи угла болванки через 25 мин. Точка, о которой идет речь, расположена в 5,1 см от одной поверхности и в 20,3 см

от каждой из других поверхностей.
4-2. Поверхность твердого тела повернута к спокойному потоку

воздуха; температура по всему твердому телу такая же, как и* температура воздуха. Поверхность твердого тела неожиданно подвергают действию потока тепла #=1 085 ккал/м2-ч. Определить изменения температуры поверхности твердого тела как функцию времени. Через 1 сек

облучение прекращается. Определить изменение температуры поверх-

ности со временем от момента прекращения облучения.
X, ккал/ч г рад
р, кг[м3
Ср, ккал/кг^град
Твердое тело . . .
0,149
544
0,50
Воздух
0,022
1,2
0,24
4-3. Кусок броневой плиты из 15% марганцевой стали

(а=0,0111 м2/ч, 14,88 ккал/ч • м • град) толщиной в 40,6 см извлечен

из нагревательного колодца для поверхностной закалки.
Плита закаливается в воде при 100° С, причем коэффициент теплообмена равен 10,750 ккал/м2 • ч • град на поверхности. За какое время

температура плиты .в точках, удаленных от поверхности на расстоянии

6,4 мму достигнет 370° С.
4-4. Если известно, что отбивная хорошо поджаривается при температуре в центре куска в 71° С, вычислите время, необходимое для приготовления куска мяса в 3,63 кг цилиндрической формы и длиной, равной диаметру. Начальная температура мяса 10° С; температура духовки

равна 176,5° С.
4-5. Требуется определить коэффициент теплообмена для конвективного переноса тепла от круглого цилиндра при поперечном обтека-
141
--------------- page: 143 -----------
нии из наблюдения за зависимостью температуры от времени Для медного цилиндра диаметром в 25,4 мм при его охлаждении в .потоке

воздуха.
а)
минимальную величину коэффициента теплообмена, для которого можно не учитывать внутреннее сопротивление цилиндра.
б)
цилиндра при начальной температуре цилиндра 65,5° С для этого коэффициента теплообмена.
4-6. По трубе протекает воздух. Термопара, измеряющая температуру воздуха, вставлена в гильзу, сделанную из стальной трубки, диаметром 6 мм, причем гильза вставлена перпендикулярно направлению

потока. Температура воздуха 65,5° С и коэффициент теплообмена гильзы с термопарой равен 171 ккал/м2 • ч • град. Имеет место мгновенное

изменение температуры на 28° С.
Вычислите время, необходимое для того, чтобы термопара указала

изменение температуры на ГС, предполагая, что показания термопары

дают величину темлературы, близкую к внутренней температуре гильзы.
4-7. Рассмотрим кусочек хлеба, помещенный в автоматическое электрическое устройство для выпечки хлеба. Хлеб подогревается с обеих

сторон витками проволоки, которая образует поверхность с равномерным тепловым излучением в 1356,5 ккал/м2-ч.
Предполагая, что имеет место свободная конвекция, и учитывая ее,

вычислить лри помощи графика Шмидта время, необходимое для того,

чтобы температура поверхности хлеба достигла 176,5° С. Как сравнить

это время с обычным временем выпечки в таких установках?
4-8. Выведите зависимость температуры от времени для тела

с очень большой теплопроводностью, которое неожиданно погрузили

в жидкую ванну, .в которой изменение температуры во времени имеет

вид:
Изобразите графически колебания температуры ванны и тела со

временем.
4-9. На какую глубину нужно заложить трубу, чтобы избежать

замерзания в области, имеющей климатические условия, типичные для

Миннеаполиса? Дайте рекомендации относительно глубины закладки

трубы, принимая во внимание почвенные условия и влагосодержание

грунта.
4-10. Колебания температуры в полубесконечном теле, обусловленные синусоидальным изменением температуры поверхности, описываются выражением
Если затухание считается полным, когда конечная двойная амплитуда

температурной волны составляет 5% температурной волны на поверхности, насколько глубже будет проникать в тело первая гармоника по

сравнению с девятой гармоникой?
4-11. «Несгораемый» сейф нужно изготовить из листовой стали с асбестовой прокладкой между внутренней и внешней оболочками. Определите необходимую толщину асбеста, если нужно предусмотреть защиту от огня на протяжении 1 ч при наружной температуре в 815° С на

этот лериод, в течение которого внутренняя температура поверхности

не превысит 121° С.
I = /0 (1 + В 81 п <о0т).
142
--------------- page: 144 -----------
Сравните результаты, полученные здесь, с гарантиями для торговых сейфов, что'бы определить, насколько приемлемы торговые гарантии.
4-12. Два полубесконечных тела с различными тепловыми свойствами, находящиеся первоначально при различных, но постоянных температурах, внезапно приводят в тесный контакт друг с другом.
Выведите выражение для температуры внутренних обращенных

друг к другу поверхностей тел.
4-13. Рассмотрим стальную плиту, достаточно толстую для того,

чтобы можно было использовать решение для полубесконечного твердого тела. На одной поверхности температура изменяется периодически

^—^[п(2лx[0,Щ+ 50, а другая поверхность находится при температуре 10° С.
а)
б)
приведенные условия?
ГЛАВА ПЯТАЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СИСТЕМАХ

С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
5-1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПЛАВЛЕНИИ

ИЛИ ЗАТВЕРДЕВАНИИ
Много задач возникает в области техники, где теплообмен 'сопровождается фазовым превращением в проводящей ареде или там, где химический 'состав изменяется

вследствие некоторых химических реакций, которые распространяются в 'среде. Подобные явления часто 'сопровождаются (высвобождением или (Поглощением тепла в активной зоне. Образованная таким образом энергия обычно

распространяется в -системе механизмом теплопроводности. Примерами такого явления служат плавление и

затвердевание твердых тел, такие химические реакции, как

горение, а также промерзание грунта. Существенной и

общей чертой этих систем является то, что существует поверхность, разделяющая две области с различными теплофизическими 'свойствами, и эта поверхность раздела перемещается, как некоторая функция времени. Кроме тото,

тепло высвобождается или поглощается у поверхности

раздела. Для решения подобных задач необходимо определить, каким образом будет двигаться поверхность раздела. Такая постановка задач вызывает значительные

затруднения и, несмотря на их очевидную важность для

практики, не привлекает к 'себе соответствующего внимания {Л. 37, 38, 39, 40]. Здесь будет рассматриваться задача

затвердевания жидкости >с учетом того, что и другие задачи можно рассматривать подобным образом. В задаче,
143
--------------- page: 145 -----------
подобной этой, следует учитывать скрытую теплоту плавления и иметь в виду, что такие характеристики, как теплопроводность, температуропроводность, удельная теплоемкость и плотность, различаются иногда очень заметно

для двух фаз. Рассмотрим рис. 5-1 и предположим, что

область л;>0 (первоначально заполнена веществом и замораживается отводом тапла от внениней поверхности, которая сохраняет (Постоянную температуру Т\. В любой момент времени т поверхность, разделяющая жидкую и твер-
Рис. 5-1. Теплопроводность в процессе затвердевания

жидкости.
дую фазы, есть х(х). Средняя интегральная температура

жидкости 'на большом расстоянии от поверхности раздела

равна Т2 и постоянна. Тепло проводится, следовательно,

от жидкости через твердую фазу к 'свободной поверхности.

На поверхности раздела система высвобождает скрытую

теплоту плавления.
В некоторый момент времени т область х<Х(х) состоит

из твердой фазы с характеристиками %и Рх> С\.
Если 1\ — температура в пределах этой твердой фазы,

то она должна удовлетворять уравнению
1 д1
--------------- page: 146 -----------
^ = Т при х = 0.
Область х^> X (х) состоит из
ристиками Я2, а2, р2, с2. Если
жидкой фазы, то, пренебрегая
должна удовлетворять уравнению

дх\ «2 дх
И
^2 Т2 при х -* оо.
В случае, когда вода 'превращается (в лед, наблюдается

увеличение объема ('уменьшение (плотности), .и этот

эффект можно (принимать во (внимание, если отметить, что

поверхность льда будет отодвигаться от начальной поверхности в 'соответствии »с (плотностью каждой фазы. Это

можно выразить три помощи 'соотношения
!г=1=е- • (5-3)
Кроме того, необходимо, чтобы у поверхности раздела, которая имеет температуру, необходимую для изменения фазы,

температура была /, = /2 = Г при х1 = Х1(%) или х3 =

= *,(<).
Если — скрытая теплота плавления твердого тела,

то когда поверхность раздела фаз передвигается на расстояние йх, высвобождается количество тепла
г\ йХх
а* ~ ^Р. йч ’
которое должно быть отведено. Это требует, чтобы на единицу площади
(&)даа-Ч&Ь,Гв'* ^ = ^ ■ <54>
От этой точки и дальше процедура осуществляется по методу Ньюмана [Л. 41].
Предполагаем решения вида
=
2 Ка,
Т
К = ^-Тр = (Тш -Тр)+В ег! с -ф=, (5-6)
2, У 0,^1
10—308
--------------- page: 147 -----------
где А и В — постоянные и, таким образом, уравнения (5-5)

и (5-6) удовлетворяют соответственно уравнениям (5-1) и

(5-2)*. Условия, относящиеся к температуре поверхности раздела, т. е. 11 — 1г = Тр при лг = Хх(т) и лга = Ха (х), приводят к выражениям
Т —Тг = А ег| —4^=

Р
(Т—Тг) = ВеПс
р 2/
X
(5-7)
Теперь, поскольку решения (5-7) должно быть справедливым и для всех значений Хг или Х9, они должны быть пропорциональны Ух.
Отсюда, используя уравнение (5-3), имеем зависимости
х^крУъ
=
где К — постоянная, которую нужно определить. Когда результаты решений (5-5), (5-6) и (5-8) используются в уравнении (5-4), получаем:
ЛХ, е-К«Р*/4а,
Уш,
а когда (5-7) используется в (5-9), тогда получаем:
(Тр — Г,)
(К^^Уа^ /^ег!с(/С/2/7г)
(5-10)
Уравнение (5-10) можно решить численно, получив величину К как функцию от Т1, Т2, Тр и тепловых характеристик материала. Когда К известно, А и В определяют из

решений (5-7) и (5-8).
Из решения (5-8) ясно, что для х -*■ 0, Хх -*• 0 и -Х,-»-0,

а из решения (5-6) следует, что для х2^> 0 и •* -»- 0 температура 1л=Т2\ таким образом, начальное условие таково,

что область х > 0 при % = 0 представляет целиком жидкость

при температуре Тг. Уравнение (5-10) решено относительно К

для предельных значений 7\ и Т2 вблизи температуры затвер-
*
146
--------------- page: 148 -----------
давания 0° С, характерной для Систем вода—лёд при р = 1

и для (5=1,09 отношения плотности воды к плотности льда.

Приемлемое приближение [Л. 42] для К 'в случае системы

вода—лед можно записать в виде:
Таким образом, /С=1,09/С? в случае наличия системы

вода — лед. Легко видеть, что получается меньшее время

промерзания, если учитывается изменение плотности фазы

льда в зависимости от плотности водяной фазы.
Перенос тепла в теле, возникающий при наличии движущегося источника тепла (или стока), имеет огромное

значение для техники и широко применяется в дуговой

сварке, (поверхностном закаливании, непрерывном литье

или закалке и охлаждении вращающихся систем струей,

охлаждающей жидкости. Движущиеся источники тепла

тщательно рассматривались Розенталем [Л. 43] Анализ их

основывается на понятой, что если источник тепла движется по телу достаточно больших размеров, то получается квазистационарное состояние, когда система имеет

кажущееся установившееся состояние с точки зрения наблюдателя, расположенного в источнике и движущегося

с источником. Для 'системы трех измерений в декартовой

системе координат можно применять уравнение, если не

рассматриваются источники тепла!
Если считать, что свойства материала постоянны, то

количество тепла ($ 'может быть передано точечным источником, движущимся вдоль оси с постоянной скоростью V.

Теперь представим себе, что наблюдатель передвигается

с этим источником и проходит при этом материал. Если

мы придадим наблюдателю передвижную систему координат, центром которой он является, то эта система займет

относительно неподвижной системы положение, показанное на рис. 5-2.
10*
5-2. ДВИЖУЩИЕСЯ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
--------------- page: 149 -----------
Точка Р,(х, у, г) в неподвижной системе Преобразуется

в точку Р (<!, т), С) в подвижной системе, и поскольку перемещение в направлении х не изменяет другие координаты

у = ц и 2—С, то Р(х, у,
Рис. 5-2. Система координат движущегося источника

тепла.
вести преобразование переменных стационарной системы координат, где 1 = !(х, у, г, т). В новом ряду переменных

6= х — т\ следовательно дЦдх— 1, дЦдъ = — и и

дт,'1дъ=\. Таким образом, преобразование приводит к выражениям
д(
дх
дЧ
дхг д?*’ ~ду*~Щг’ дг*~д<? ’
Если эти замены произведены в уравнении (2-13), мы получаем уравнение (5-11):
/дЧ , дЧ , дЧ\ д( д(
ду*^~дг*)~дх'
Величина д1!дч> равна нулю с точки зрения наблюдателя

в источнике, и таким образом уравнение (5-11) принимает

квазистационарный вид:
дЧ . дЧ . дЧ
148
--------------- page: 150 -----------
Тонкий стержень. Рассмотрим стержень, подобный

стержню, рассмотренному в разделе 3-4, который имеет постоянную площадь поперечного сечения. Температуру б любом поперечном сечении считаем постоянной, т. е. физически это означает

что сопротивление теплопотерям с поверхности стержня намного больше, чем внутреннее сопротивление тепловому потоку

в самом стержне. Это соотношение сопротивлений дает возможность уравнять температуры в каждой точке из-за высокой теплопроводности проводящего материала по сравнению с низким коэффициентом теплообмена, регулирующим

конвективные потери. В таком случае температурные градиенты

д{/ду и д(/дг отсутствуют, Таким образом, соответствующее дифференциальное уравнение для избыточной темпера-
туры-^- = а^—. Если член, выражающии конвективную потерю тепла от поверхности, принимается таким же,

как в § 3-4, вышеприведенное уравнение принимает вид:
(13—'»■<>)• (5-13>
где т^УаС/ХА. Производя преобразование с введением переменной I в случае квазистационарного состояния, как и

раньше, из уравнения (5-13) получаем
<5-14>
которое имеет решение вида Ь = е~~{гг/2а)^-{ (Е), где нужно определить /(?). Следовательно, дифференцируя выражение для

& и подставляя в уравнение (5-14), получаем:
П^)-[(^)2+ т^т=о'. (5-15)
Уравнение (5-15) имеет решение
1$) = Аеп1+Вё~п\

где
"=1/ (ъ)г+т'=]/~ (5г/+тд--
149
--------------- page: 151 -----------
й поскольку & — е (0/2а)’ / ($), Выражение для & принимает

вид:
+ йехр{-[^(|г)2+п+^]е}. (5-16)
Соответствующие граничные условия, которые следует применить к уравнению (5-16), следующие:
& = О, I ±оо.
Решение принимает два вида, зависящие от I $ 0:
» = ЛеХр{+[-|/Л (,&)!+ет—&]Е}
9=гехр{-[|Л(а-)г+ет+^]Е} Е>°-
При ? = 0 температуры обоих видов решений равны и определяют максимальную температуру. Таким образом А = В —

= & .
макс
«} :<о;
»=»„.„ ехр{-[|/(1)Ч1+^]=} *>0. (5-17)
Тепло, которое протекает в каждом направлении от ; —- 0

можно получить из (5-17) дифференцированием относительно %

и подстановкой в выражение
0 = -1А%,
^=1Ак.,\]/щ+ё~ц !<°.
что дает:
[/(1У+П+-&] ?>°- <М8>
Поскольку общая мощность источника тепла должна быть

равна сумме положительного и отрицательного потоков

150
--------------- page: 152 -----------
тепла, то это отношение дает возможность вычислить максимальную температуру &макс, которая выражается через полную тепловую мощность источника:
(5-19)
макс
2М У(и/2а)2 + аС1ХА *
График решения уравнения (5-17), приводимый на

]рис. 5-3, (показывает, что больше тепла проводится впереди

источника, чем отводится за источником.
Решения уравнений (5-17) — (5-19) могут быть изменены, чтобы дать чисто физический пример тонкого стержня, изолированного на поверхности. Для этого случая

а = 0 и вышеупомянутые уравнения упрощаются.
Точечный источник. Если поток тепла распространяется

в тфех направлениях из точечного источника, расположенного в точке О', двигающегося со скоростью и в направлении х (рис. 5-2), то система выглядит более просто, если

вместо координат х, г/, г пользоваться радиусом из

точки 0\
Уравнение (5-12) имеет решение вида:
которое при использовании в уравнении (5Л 2) дает дифференциальное уравнение для неизвестной функции /"($, у, г)
Рис. 5-3. Распределение температуры в тонком

стержне как результат движения источника тепла

вдоль стержня.
Ъ = е~(а12аП1$, У, г),
Это вспомогательное уравнение можно записать для
г = К|2 + г/* + г2
в виде:
(5-20)
!§1
--------------- page: 153 -----------
когда начальная температура и температура поверхности

таковы, что изотермические поверхности представляют 'собой концентрические сферы, и, таким образом, в этих ква-

зистационарных условиях температура зависит только от

г. Это требует граничных условий для О, которые будут

удовлетворять /понятию радиального теплового потока от

источника.
Эти пран'ичные условия 'могут быть:
Ф = 0; г —► оо\
дЬ — ч' • г = 0,
дг 47сЛг2
где $ — мощность источника тепла.
Решение уравнения (5-20) может быть выполнено путем

преобразования § = 1г [Л. 44], чтобы получить выражение
а*8
аг2
которое имеет стандартное решение
ё=Ае+ №)г + Ве-№)'г
Желательно получить решение для &, которое представляет

собой выражение
Ь = ё~(а12а)г-^г,
таким образом,
а = _± ^Дет <'-*> _|_ Ве~ (“/2о) (г+г>] .
Применяя граничные условия (5-21) для решения уравнения (5-22), окончательно получаем:
& = -3^х-е-(“/2а)(г+Е).
Решение (5-23) дает распределение температуры около

движущегося точечного источника в бесконечной среде.

Этот результат приближенно справедлив для источника,

движущегося по 'Поверхности полубесконечной среды, если

наружная поверхность теряет тепло в количестве, незца-

15?
--------------- page: 154 -----------
ЧйГеЛьном По Сравнению с мощностью источника тепла.

Использование этого анализа лежит в рассмотрении сварочного электрода, движущегося по поверхности очень толстой пластины, где потери минимальны. При решении задач

сва|рки в качестве тепла (рассматривается только нижняя

полуплита. Решение (6-23) нужно изменить, чтобы можно

бьшо написать:
я" е^(а12а)(г+г\
2п\г
где д" — тепло, выделяемое электродом.
Вышеприведенные методы применяются в задачах по дуговой сварке, штамповке, закалке, отжигу и прохождению снаряда по каналу орудия.
ЗАДАЧИ
5-1. Медная проволока протаскивается через волочильную доску

с постоянной скоростью. Допуская, что тепло, образовавшееся при трении, передается проволоке в плоскости, перпендикулярной оси волочильной доски, определите распределение температуры в проволоке как

функцию расстояния от волочильной доски.
5-2. Поток жидкости протекает одномерно в направлении х и в плоскости х=\ он проходит через тонкую (мелкую) сетку, которая подогревается электричеством. Определите распределение температуры

в жидкости.
5-3. Лед образуется на поверхности озера при —18° С из воды при

0° С. По мере утолщения слоя льда скорость замерзания снижается

благодаря тепловому сопротивлению уже образованного слоя льда. Получите выражение, определяющее толщину слоя льда, как функцию

времени. В качестве первого приближения можно пренебречь теплоемкостью льда.
5-4. Автомобиль весом 1 361 /сг, идущий со скоростью 48,3 км/ч,

останавливается за 5 сек четырьмя тормозами, причем тормозные ленты имеют площадь 258,1 см2. Каждая лент$ прижимается к стальному

цилиндру, имеющему ту же самую площадь поверхности. Какого максимального подъема температуры можно ожидать при этом?
Проанализируйте допущения, принятые в решении.
5-5. Рассмотрим замораживание сферического объема воды, начальная температура которого 15,5° С, при условии, что начиная с нулевого

момента времени, температура поверхности сферы поддерживалась при

—15,5° С. Для дальнейшего упрощения физической задачи -предполагается, что тепловые характеристики независимы от температуры, что плотность ©оды и льда одна и та же и перенос тепла наблюдается только

в радиальном направлении.
При этих допущениях уравнение теплопроводности для сферы *мо-

жет быть преобразовано при помощи подстановки
теплопроводности для полубесконечного тела, для которого решение
153
--------------- page: 155 -----------
Известно. Сделайте такое преобразование уравнения и получите решение для сферы. Для каких значений времени будет справедливо полученное уравнение? Когда оно становится 'несправедливым?
Какие иные методы физического анализа этой задачи можно было

бы использовать?
5-6. Нужно сварить два куска стали длиной 1,83 м, шириной

0,61 м и толщиной 3,2 мм. Сварочный электрод дает местную температуру 1 647° С и передвигается со скоростью 61 см/мин. Стальная плита

покрыта слоем краски для предохранения от ржавчины. Вычислите площадь поверхности, которую следует окрасить вновь после окончания

сварки. Поможет ли в достаточной мере конвекция от поверхности?
--------------- page: 156 -----------
ЧАСТЬ В
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
Различные виды теплообмена
В этой главе (рассматривается теплообмен между

жидкостью или газом !и твердой (поверхностью, которая

соприкасается с ними. Движение жидкости или газа может быть вызвано либо каким-(нибудь .внешним источникам, например насосом, либо наличием разности температур, возникающей в результате местного подогрева. Примерам первого типа теплообмена является перенос тепла

от стен канала (К жидкости, которая насосом подается через канал. Примером 'второго типа теплообмена служит

передача тепла от печи, обогревающей комнату, к воздуху. Теплообмен между стенкой и жидкостью или газам, когда перемещение массы происходит под воздействием (посторонних (побудителей, называется теплообменом при вынужденной конвекции. Теплообмен между стенкой и жидкостью или газом, массы которых

перемещаются под влиянием разности температур между

поверхностью стенки и окружающим потоком, называется

теплообменом при свободной йли естественной конвекции. Бывают и такие случаи, когда

трудно (провести 'четкое разграничение между этими видами теплообмена и когда определение бывает «несколько

произвольным.
Основная область сопротивления теплообмену обычно

концентрируется в тонком слое, непосредственно примыкающем к (поверхности стенки. Об этом уже говорилось

в разделе 1-3. Таким образом, теплообмен в сущности

обуславливается взаимодействием теплопроводности и переноса энергии движущейся среды внутри этого слоя.

Тепло, (проникающее в этот слой, отводится потоком

жидкости или газа. Следовательно, коэффициент теплообмена определяется главным образам толщиной и свой155
--------------- page: 157 -----------
ствам'и этого (пограничного слоя, которые >в свою очередь

зависят от всех параметров, определяющих поток, движущийся вдоль поверхности стенки.
И;з дифференциальных уравнений, определяющих процессы тепло- и массопереноса при вынужденной конвекции,

можно сделать вывод, 'что ни поле -скоростей, .ни образование пограничного слоя 'не зависят от теплообмена, если

параметры жидкости или таза, которые входят в уравнение потока, не зависят от температуры.
Тогда образование пограничного слоя является проблемой аэро- и гидродинамики. Однако, как можно видеть из

таблиц (приложения, все физические (параметры в действительности зависят от температуры. В этом случае существует взаимосвязь между процессами тепло-и массопе-

реноса. Такая взаимосвязь значительно затрудняет понимание процесса теплообмена. Чтобы избежать этого, значительная часть настоящей главы посвящается рассмотрению идеальной жидкости, физические параметры которой

не завиюят от температуры.
В такой постановке вопроса имеется еще и дополнительное преимущество. Только для такой идеальной жидкости могут быть выведены соотношения, имеющие универсальное применение, тогда как соотношение для жидкостей,

физические свойства которых изменяются с температурой

или давлением, справедливы для конкретной жидкости

или в лучшем случае для определенной группы жидкостей.

Обнаружение этого факта и его использование для разработки универсальных соотношений явились наиболее

важным 'вкладом /В. Нуссельта (1916). Наконец, имеется

много случаев, когда разность температур в поле потока

настолько мала, что изменением физических свойств,

вызванным разностью температур, можно пренебречь.

В таких случаях соотношения, разработанные для идеальной жидкости с постоянными физическими свойствами,

точно описывают действительный процесс теплообмена.

Для такого положенйя не имеет значения, рассматриваем

ли мы поток жидкости или газа, и соотношения для

идеального потока справедливы и для жидкости и для

газа.
В газах, физические параметры щотока, в особенности

платность, зависят не только от температуры, но также и от давления, и, следовательно, изменения давления

должны быть настолько малы, чтобы изменения плотно-

156
--------------- page: 158 -----------
ста, связанные с этим, могли бы считаться также небольшими.
С другой стороны, это может быть обеспечено тогда,

когда скорости потока малы по сравнению со скоростью

звука. Например, нашли, что для потока воздуха соотношения, (предполагающие постоянство свойств, хорошо описывают действительные процессы до скорости приблизительно 91,5 м/сек.
В технике иногда встречаются явления, когда имеют

место (большие изменения физических свойств. Например,

температурная зависимость «яркости масла тако»ва, что

она значительно влияет на теплообмен в маслоохладителях даже тогда, кодда разность температур весьма умеренная. В ядерных реакторах или при многих других высокотемпературных процессах разности температур настолько велики, (что они вызывают очень большие

изменения физических свойств. В газах при высоких дозвуковых и особенно при сверхзвуковых скоростях большие колебания давления и температуры связаны с процессами 'в потоке. В области теплообмена стало обычной

практикой видоизменять соотношения, разработанные для

потоков жидкостей или (газов с постоянными физическими

ч свойствами таким образом, чтобы они учитывали также

явления, вызванные изменением физических свойств. Разработаны также (некоторые характерные соотношения, которые будут обсуждаться в следующей главе.
При свободной конвекции движение обусловливается

только разностью температур. Следовательно, здесь с самого начала процессы тепло- и массообмена тесно связаны

между собой.
Настоящая глава посвящена почти исключительно процессам теплообмена при стационарном режиме. В нестационарном процессе (переходном ила периодическом) данные здесь соотношения заметно изменяются, поскольку

изменение температуры в пограничном слое происходит

со значительными запозданиями вследствие аккумуляции

тепла (приблизительно, как показано на рис. 4-4).
Однако это относится только к случаям очень быстрых

Изменений, так как толщина пограничного слоя обычно

невелика. Теплоотдачу в цилиндрах дизелей, например,

можно рассчитать, пользуясь значениями коэффициентов

теплообмена для стационарного режима [Л. 45]. Теплоотдача поверхности самолета или ракеты существенно отли-
157
--------------- page: 159 -----------
чается от теплообмена при 'стационарном режиме, если

имеет место ускорание порядка 20—40 8 [Л. 46].
Как указывалось выше, теплообмен определяется гидродинамическими процессами. Поэтому в следующей главе будут рассмотрены наиболее важные элементы теории

движения жидкости.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ И В КАНАЛАХ
6-1. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Существуют в основном два понятия теории движения

жидкостей, 'Которые важны для понимания явлений теплообмена, а именно: понятие пограничного слоя и понятие
турбулентности,

л У ~



;
/ х
^гих случаях имеется возможна
7777777777777777777 тельным условиям, приняв
Рис. 6-1. Напряжение сдвига гипотезу существования жид-

в вязкой жидкости.
жидкости наблюдается действие двух сил — инерции и давления. Состояние

равновесия обеих сил вдоль каждой струи жидкости

определяется уравнением Бернулли (Э. ВегпоиН, 1700—

1782):
/> + Р-у- = с0П51,
где р — давление жидкости;

р — плотность;
V — скорость потока жидкости.
Помимо указанных сил, в реальных жидкостях и газах

действуют та'кже другие силы, существование которых

обусловливается вязкостью. Эти силы проявляют себя

в форме напряжений сдвига 'между отдельными слоями

жидкости, когда последние движутся с различными скоростями. При движении по схеме р;ис. 6-1, -когда вектор скорости и параллелен поверхности стенки аЬ, а в направле-

158
--------------- page: 160 -----------
нии у, перпендикулярном -стенке, наблюдается разность

скоростей, напряжение сдвига или напряжение трения х

появляется в результате вязкости в плоскостях, параллельных стенке, например в плоскости 1—У* Значение этого на-х

пряжения дается уравнением Ньютона:
а его направление указывается стрелками на (рис. 6-1.
Для других видов потока выражение для напряжения

трения 'более сложное. Выражения для напряжений трения

в вязкой жидкости, в обычных условиях которых компоненты скорости и, V, хю существуют (во всех трех направлениях в .пространстве ,и являются функциями всех трех координат х, у, г, установлены Г. Г. Стоксом (1845).
Согласно Стоксу в плоскости, вдрмальной направлению г/, две величины напряжения трения можно представить в следующем виде:
Первый индекс при этих напряжениях т указывает, что

эти напр!яжения действуют в плоскости, перпендикулярной у\ второй индекс указывает направление, в котором

действует сила, вызванная напряжением. В этом более

общем случае скорее уравнение '(6-3), чем уравнение (6-2)

описывает напряжение трения в направлении, указанном

на рис. 6-1.
Подобные напряжения трения существуют в плоскостях, перпендикулярных х и г. Кроме этих напряжений

трения, нормальные напряжения существуют во всех плоскостях. Читатель, интересующийся э’Мши соЪтнюшениями,

найдет 'более подробную информацию в учебниках по механике жидкостей, например в книге X. Шлихтинга

«Теория пограничного слоя». В нашей книге мы будем

рассматривать только такие потоки, для которых простое

уравнение (6-2) описывает напряжение трения с достаточной точностью.
Согласно уравнению (6-2), напряжение трения пропорционально градиенту скорости вдоль нормали к направлению потока. Коэффициент 'пропорциональности |л является

физическим параметром, называемым динамической
(6-3)
159
--------------- page: 161 -----------
вязкостью. Его размерность, определяемая из уравнения >(6-2), кГ • сек/м2 или кг/сек-м. Кроме динамической вязкости, часто применяют кинематическую вяз-кость.

Кинематическая вязкость связывается с динамической

вязкостью соотношением
где р — плотность.
Размерность кинематической вязкости — квадратный

метр в секунду. В таблицах физических (параметров в приложении даются значения коэффициентов вязкости для

некоторых жидкостей и газов. Так как значения коэффициентов динамической вязкости в некоторых -справочниках даются в абсолютной системе, а именно в пуазах

(1 пуаз — 1 г/см-сек), то часто при использовании табличных данных гаместе с величинами в технической системе

мер допускаются ошибки. Этих ошибок .можно из/бежать,

если при расчетах 'применять кинематическую вязкость,

которая в обеих системах мер имеет одинаковую размерность. По этой причине кинематическая вязкость .приводится в таблицах приложения.
Для жидкостей, а также для газов значение коэффициента динамической вязкости |л зависит 'главным образом

от температуры и лишь в незначительной степени от давления. Только близ критической точки начинает сильно

сказываться зависимость от давления. Рис. П-4 иллюстрирует это явление для воды и пара. Все другие исследования жидкости ведут себя принципиально подобным же

образом. Согласно уравнению (6-6) кинематическая вязкость V жидкостей практически тоже не зависит от давления вследствие их незначительной сжимаемости. Для газов согласно уравнению состояния она обратно пропорциональна давлению.
Численное значение коэффициентов динамической вязкости для жидкостей значительно выше, чем для -газов.

Для кинематической вязкости часто бывает справедливым

как раз обратное. Так, например, значение коэффициента

кинематической вязкости для воды при комнатной температуре составляет лишь одну десятую значения этого коэффициента для воздуха при той же температуре.
Так как численные значения коэффициентов вязкости

сравнительно невелики, высокие напряжения трения в потоке бывают только при значительных градиентах ско-

160
--------------- page: 162 -----------
расти йи/йу, как бто и «следует из уравнения (6-2). Такие

значительные градиенты 'скорости 'всегда существуют у поверхности твердых теЛ, 'находящихся в потоке. Бели при

пом-ощи трубки Пито определить распределение скоростей

близ поверхности твердого тела 'в потоке, получи/м кривую

распределения скорости, изображенную на рис. 6-2.
У самой поверхности 'скорость потока равна нулю, затем она возрастает в танкам слое толщиной б, пака не

достигает некоторого постоянного значения. Это явление,

весьма «важное для гидродинамики и тео|рии теплообмена,

было впервые установлено Людвигам Прандтлем в 1904 г.

в его знаменитой теории пограничного слоя. Термин пограничный слой для тонкого

слоя с резким увеличением

скорости был также предложен

Прандтлем. За пределами пограничного слоя градиент скорости, нормальный к направлению потока, обычно настолько мал, что вязкостью

можно пренебречь. Таким образом, поток можно разде- Рис. 6г2. Пограничный слой на

лить Ш две зоны, а именно: поверхности твердого тела.
на пограничный слой, где наблюдается действие вязкости, и на основное ядро потока

за пределами пограничного слоя, аде течение происходит

практически без трения и поэтому для каждой струи

потока справедливо уравнение Бернулли. Тот факт, что

пограничный слой делит поток на зоны и, таким образом,

вносит изменение в режим основного ядра потока, будет

подробнее рассматриваться ниже.
В 1883 г. Осборн Рейнольдс впервые показал, что существуют два основных режима движения: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме отдельные струи потока располагаются упорядоченно, параллельно друг другу, тогда как при турбулентном режиме

они хаотически (переплетены друг <с другом. В последнем

случае отдельные частицы жидкости или газа совершают

колебательные движения относительно (некоторого среднего пути -потока совершенно беспорядочно.
Оба режима можно наблюдать в повседневной жизни

по струйкам дьша от папирос. Как видно из рис. 6-3, дьим

сначала поднимается в виде прямой струйки. Однако вскоре она делается волнистой и кудреватой, и, наконец, дым

11—308
--------------- page: 163 -----------
совершенно исчезает, перемешиваясь с воздухом. Первая

часть струйки дыма представляет собой ламинарную

форму потока, а вторая — турбулентную. Турбулентность

в потоке воздуха можно создать, внося .в него проволочную

сетку. В каждой аэродинамической трубе существует турбулентность, создаваемая в потоке воздуха воздуходувкой
Рис. 6-4. Колебания турбулентной скорости.
и направляющими лопатками.
Коли ч ест'в е н но е 10 пи с а н и е

турбулентного .потока и особенно интенсивности турбулентности обычно получают

следующим путем. Представьте, что измеряют составляющую скорости и

в определенном месте турбулентного потока как функцию времени. В результате

получаем график, подобный

графику, представленному

на рис. 6-4. Составляющая

скорости и в любой момент

может быть записана как
Рис. 6-3. Ламинарный и турбулентный режимы движения струйки

табачного дыма.
и-
где и — средняя во времени

величина и и и' — колебание скорости.
Турбулентный поток называется стационарным, когда

и не изменяется во времени, а и' определяется тем фактом, что его средняя во времени й' равна нулю, когда она

берется за достаточно длинный промежуток времени. Подобные соотношения справедливы для составляющих скорости V и хю. Допустим, что г7 = й;=0, это означает, что
162
--------------- page: 164 -----------
средняя 'скорость имеет место в (направлении х. Тогда

интенсивность турбулентности обычно опи'сывается выражением
в которой член й'2 — средний во времени квадрат флуктуации 'скорости и'. Другие члены, -которые (важны в описании турбулентного потока, это средние во времени произведений .колебаний скорости, подобные й'г?', потому что

они связаны с турбулентными напряжениями трения. Подробное рассмотрение этого будет предпринято, в /следующем разделе.
Вообще для рассуждений в этой иниге нам необходимы

только осредненные во времени скорости. Поэтому символы и, у, хю будут применяться к ним до тех пор, пока

мы не установим противное.
Конвективный теплообмен усили- из з турбумтныи^

вается хаотическими движенияхми

в турбулентном потоке. Поэтому

теплообмен в турбулентном потоке

происходит гораздо интенсивнее, чем
В ламинарном. ц
Турбулентный режим может на- турбулентный погранич-

блюдать'СЯ также и в пределах по- ные слои на поверхности

граничного слоя. Турбулентность
такого рода представляет большой интерес при рассмотрении процессов теплообмена. На поверхности 'плиты, параллельной потоку,

образование пограничного слоя происходит так, как показано на рис. 6-5. Толщина 'пограничного слоя возрастает в направлении потока, начиная от нуля у переднего края плиты. На некотором критическом расстоянии хс от переднего края режим движения- в пограничном

слое меняется с ламинарного «а турбулентный. При возрастании скорости потока иа значение критического расстояния хс уменьшается, но при этом произведение иехе

остается постоянным. Опыты, произведенные с несколькими

газами или жидкостями, характеризующимися различными

значениями вязкости, показали, что переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при определенном значении безразмерного комплекса и5хс/у. Это явление

было 'впервые открыто Рейнольдсом. 6 его честь безразмерный комплекс, получаемый делением произведения

11*
--------------- page: 165 -----------
V
скорости 'потока на расстояние от переднего края плиты на

коэффициент кинематической вязкости, был назван числом

Рейнольдса или критерием Рейнольдса Ке.
Та 'величина числа Рейнольдса, при которой режим

потока меняется с ламинарного на турбулентный, называется критическим или переходным числом Рейнольдса и

обозначается Кес. Более глубокие исследования л оказывают, что на критическое значение числа Рейнольдса для

пограничного слоя оказывают влияние внешние условия.

Если ламинарный режим нарушается, например, внесением

в поток решетки либо особой формы переднего края плиты, либо шероховатостью поверхности, то переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при более

низких значениях числа Рейнольдса. Если, однако, эти

причины возмущений в потоке устранены, возможно получить более высокое критическое значение числа Рейнольдса.
Национальным бюро (стандартов в результате измерений установлено, что для пограничного ламинарного слоя

потока, протекающего по плоской плите, существует определенный верхний предел. В этом исследовании уровень

турбулентности потока к верху пластины, систематически

изменялся. Интенсивность турбулентности —параметр,

определяемый уравнением (6-7),— указывается на оси

ординат (рис. 6-6). Критическое число Рейнольдса Кес

откладывается на оси абсцисс.
Из рис. 6-6 можно видеть, что переходное число Рейнольдса увеличивается с понижением турбулентности свободного потока. Это, однако, справедливо только до определенного уровня турбулентности. Ниже величины 0,08%'

интенсивности турбулентности на критическое число Рейнольдса не влияет турбулентность свободного потока. Поэтому это,число Рейнольдса означает верхний предел для

пограничного ламинарного слоя потока на плоской пластине. Переходное число Рейнольдса зависит, помимо турбулентности потока, также и от других параметров, например от того, как меняются давление потока и скорость

и3 вдоль поверхности. Переходное число Рейнольдса выше,

когда давление понижается или когда скорость увеличивается вдоль поверхности, тогда как уменьшение скорости

вдоль поверхности понижает критическое число Рейнольдса. Предсказание условий, в которых 'существует

ламинарный или турбулентный поток, очень важно для

^расчетов теплообмена, потому что ламинарный и турбу-

164
--------------- page: 166 -----------
лентный теплообмен очень различны по своим величинам.

За -многие годы «собрано большое (количество данных опо

критическому числу Рейнольдса для различных условий

потока. Затрачено также много усилий на исследование,

направленное к уточнению “природы турбулентного потока
Рис. 6-6. Критическое число Рейнольдса для перехода

пограничного слоя к турбулентности на плоской пластине как функция турбулентного потока [Л. 327].
и .переходных процессов. Однако сейчас мы располагаем

весьма ограниченными данными для понимания этих явлений. Кажется, что по существу переход вызывается тем,

что ламинарный поток становится нестабильным в определенных условиях и переходит ;в турбулентный под влиянием даже незначительных внешних возмущений.
' Сам по себе процесс перехода следует рассматривать

в большинстве случаев как непрерывный колебательный*
Г65
--------------- page: 167 -----------
процесс. Например, установлено, что точка перехода часто длительно колеблется во -времени около среднего .положения. Необходим также определенный промежуток

времени и, следовательно, в самом шле потока определенное расстояние для полного установления турбулентности после появления первых .возмущений. Наблюдения

за начальными возмущениями в ламинарном потоке привели к выводу о меньшем критическом числе Рейнольдса,

чем (измерения параметров, -которые указывают установление турбулентного потока. Поэтому различают нижнее

и верхнее -критическое число Рейнольдса. Две кривые на

;рис. 6-6 показывают обе эти величины. Особыми средствами, например, при помощи так называемых турбули-

зирующих устройств (местная шероховатость) можно отметить расположение переходной точки и ускорить установление турбулентного потока. Такие способы очень

полезны и часто применяются в (экспериментальных исследованиях теплообмена в турбулентном потоке.
Условия в трубе вблизи входа подобны условиям на

продольно обтекаемой пластине.
У внутренней поверхности трубы также образуется

пограничный слой, толщина которого до выходного края

равна нулю, а затем по 1мере удаления от входного отверстия постепенно возрастает, как показано на рис. 6-7.

Предполагается, что при соответствующей форме входного

отверстия трубы движение частиц в трубе происходит без

возмущений.
На определенном расстоянии Ье от входа пограничный

слой утолщается настолько, что он заполняет все сечение.

Кривая распределения скоростей в направлении потока

дальше этой точкой не (меняется (ри-с. 6-7) и имеет форму

либо параболы, либо выпуклой кривой в зависимости от

того, происходит ли движение в пограничном слое все еще

при ламинарном режиме или оно уже стало турбулентным.

166
Рис. 6-7. Движение жидкости в трубе

на участке близ входного отверстия.
--------------- page: 168 -----------
Эта часть потока называется установившимся потоком.

Величина, представляющая собой отношение расстояния

Ье к диаметру трубы й, является функцией числа Рейнольдса. «В области установившегося 'потока поток является турбулентным, (когда число Рейнольдса превышает

критическое значение. Если число Рейнольдса определяется средней скоростью ит в '.поперечном сечен'ии трубы

диаметра й, то критическая величина критерия Рейнольдса

будет определяться выражением
1^ес = = 2 300.
Тщательно устраняя все опричины, вызывающие в потоке возмущения, можно получить критическое число Рейнольдса, равное 500 000. Для условий, которые обычно наблюдаются в практике, лоток в трубах турбулентный

тогда, копда число Рейнольдса превышает 3 000.
6-2. УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Для следующих ниже расчетов теплообмена необходимо знать характеристики пограничного слоя, в особенности его толщину. Для ламинарного лопраничноло слоя

на /поверхности тел различной формы эта задача решена

интегриров анием ур авнени й погр аничн ого слоя, котор ые

были выведены Л. Прандтлем в 1904 г. Эти уравнения и

некоторые из их решений будут приведены в следующей

главе. Однако вычислительная работа трудна и промоздка.

Поэтому в настоящей (книге принимается приближенный

метод, разработанный Т. Карманом [Л. 47].-Этот метод

отличается большой простотой и имеет то преимущество,

что он может быть .применен для тех случаев, когда точное

решение невозможно. Во всех случаях разумного применения этого приближенного метода он дав^л удовлетворительные результаты. Он основан на законе количества

движения, который для стабилизированного потока можно сформулировать следующим образом:
Выделим в потоке участок, ограниченный постоянной

поверхностью произвольной формы. Частицы жидкости,

проходя через этот участок, меняют свое количество движения. Известно, что количество движения равно массе,

умноженной на скорость.
Увеличение количества движения всех частиц, проходящих через данный участок за единицу времени, можно вы467
--------------- page: 169 -----------
разить как разность между количеством движения часТиЦ,

вышедших из участка за единицу времени, и количеством

движения частиц, вошедших в участок за ту же единицу

времени. Это изменение количества движения в единицу

времени равно силам инерции и должно находиться в равновесии с внешними силами, действующими на поверхности

участка или внутри него.
Теперь применим этот закон к двухмерному потоку

вдоль плоской -стенки (рис. 6-8). Используемая система
координат расположена таким образом, что ось х параллельна поверхности стенки, а ось у перпендикулярна к ней. Вектор скорости и

параллелен поверхности стенки.

Вектор скорости V, нормальный к

плоскости стенки, незначителен. Закон изменения количества движения применяется к направлению

движения вдоль оси х. Контрольный участок в форме параллелепипеда выделяется двумя плоскостями: 1—2 и 3—4, находящимися на

расстоянии йх друг от друга, плоскостью, параллельной поверхности стенки и проходящей на расстояний I от (последней, и поверхностью

самой стенки. Значение I превышает толщину пограничного слоя б. Кривая распределения скоростей

в плоскости 1—2 изображена на рис. 6-8. На расстоянии

у от поверхности стенки скорость (равна и. Скорость потока и8 за пределами пограничного слоя достигается на

расстоянии б от поверхности стенки, а поэтому наблюдается :и в выделенном участке I. Плоскости, ограничивающие

выделенный участок параллельно плоскости чертежа, находятся на расстоянии единицы друг от друга. За единицу

времени через элемент йу на расстоянии у от поверхности

стенки протекает масса, равная рийу. Ее количество движения в направлении оси х получается умножением этой величины на составляющую скорости и. Тогда для количества

движения получаем величину ри2йу. 'Количество движения

жидкости, протекающей через всю плоскость 1—2, равняется:
I
Р | иЧу.
О
Рис. 6-8. К расчету гидродинамического пограничного слоя.
168
--------------- page: 170 -----------
При движении вдоль оси х количество движения изменяется на величину
О
Через плоскость 1 — 3 движения частиц нет, однако через

плоскость 2 — 4 движение частиц обычно происходит и его

можно рассчитать следующим образом. Через плоскость 1—2
I
за единицу времени проходит масса, равная р ^ийу. При перемещении на расстояние йх масса изменяется на рс1х - X
йх
I
О
Эта разность массы потока, проходящего через плоскости 3 — 4 и 1 — 2, должна выйти в параллелепипед через

плоскость 2 — 4. Составляющая скорости в направлении

оси х в этой плоскости из, поэтому количество движения

жидкости, проходящей через плоскость 2 — 4, равно:
I
о
Отсюда общее увеличение количества движения жидкости

в параллелепипеде равно:
/
- М ш\ийУ+рс1х ш\иЧУ=- ззг х
О
/
х|(*.
с
и) ийу -(- ^йх —т— I ийу.
йх 1
о
На поверхность вдраллелепипеда в [направлении оси х действуют следующие внешние силы: напряжение трения хю

вдоль поверхности стенки 1—3 И’ давления р и р +

+ (йр!йх)йх на поверхности 1—2 и 3—4 соответственно.

На поверхности 2—4 напряжений трения «ет, так как эта

плоскость находится за пределами пограничного слоя.
169
--------------- page: 171 -----------
Приравнивая эти силы приращению количества движения,

получаем:
Р ЗГ1 (“*■- и) ийу - р ж\айу ='V+15Г • (6’8)
о
Теория пограничного слоя показывает, что давление р изменяется в 'направлении у по всему пограничному слою

лишь незначительно.
Поэтому уравнение Бернулли (6-1) можно использовать, чтобы привести уравнение количества движения

(6-8) к виду, более подходящему для числовых вычислений. Согласно уравнению Бернулли скорость и8 в потоке

за пределами пограничного слоя связана с градиентом

давления следующим образом:
^ = ир-.
йх
Это уравнение можно использовать, чтобы выразить последний

член правой части уравнения (6-8), имея в виду, что скорость

потока и3 не зависит от у.
,йр
О
Подстановка в уравнение (6-8) приводит к выражению

8
р 1 (“* — “)+ р | “ и) ^ = V (6‘1 °)
Пределы интегрирования теперь изменились, поскольку

в области Ъ<СУ<^1 член (и8 — а) в подынтегральных функциях

равен нулю.
Это уравнение можно записать в более простом виде,

если использовать следующие сокращения:
о
8*=К1_^)^ * (6'И)’
О
<ы2)
170
--------------- page: 172 -----------
Первая величина называется (сПзрксетеп! Шскпезз)

Эквивалентной толщиной -смещения пограничного слоя,

поскольку она указывает, до какой степени следует перемещать поверхность -в направлении к потоку для того,

чтобы -создать такое же внешнее 1поле потока в невязкой

жидкости. Вторая величина бг- называется (шошепШш

1Ыскпезз) толщиной количества движения пограничного

слоя, поскольку он связан с потокам количества движения или импульсом через плоскость, нормальную к поверхности. Уравнение (пограничного слоя, записанное

с двумя толщинами пограничного слоя, имеет вид:
Решения уравнения количества движения пограничного

слоя будут рассматриваться в -следующих параграфах.
Однако 'в начале рассмотрим точные уравнения пограничного слоя, (выведенные Л. Прандтлем.
В этом параграфе мы выведем уравнение пограничного слоя из уравнений Навье — Стокса. Эти уравнения,

которые, вообще говоря, описывают «поток вязкой жидкости, были' выведены Навье (1827) и С. Д. Пуассоном

(1831) в результате рассмотрения межмолекулярных сил

и Сан-ВенанО|М (1843) и Г. Г. Стоксом (1-845) на основании предположения, что нормальное напряжение и напряжение трения в жидкости пропорциональны скоростям

деформации.
Уравнение Навье — Стокса не будут выводиться здесь,

поскольку такая операция займет много места. Вывод этих

уравнений (можно найти в учебниках по механике жидкостей, например в «Теории пограничного слоя», X. Шлих-

тинга. Для жидкости с постоянными характеристиками,

движущейся относительно стационарной системы координат х, у, г с составляющими скорости и, V, тю, уравнения

Навье — Стокса выражающие баланс сил давления и сил

вязкости по трем направлениям, имеют вид1:
(6-13)
6-3. УРАВНЕНИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

ЛАМИНАРНОГО ПОТОКА
Р
1 Предполагается, что объемными силами можно пренебречь.
171
--------------- page: 173 -----------
где 'с выражает время. Кроме того, нужно выполнить условие

сохранения массы:
аг+^+зг=°-
В своей знаменитой -статье по -пограничным слоям, опубликованной в 1904 г., Л. Прандтль 'пришел к заключению,

что в жидко-стях с 'незначительной вязкостью влиянием

вязкости можно пренебречь; исключение составляет лишь

тонкий слой вдоль твердых поверхностей. На основании

этого он начал упрощать уравнения Навье — Стокса путем определения порядка величин различных членов

в этих уравнениях. Придерживаясь в основном его идей

по выведению уравнений пограничного слоя, мы ограничиваемся двухмерным потоком (г^ = 0, д/дг=0).
Применение этих уравнений к ротационно симметричному потоку будет сделано ниже. ,
Трехмерный поток в пограничном слое обратил внимание на 'себя недавно в связи с второстепенными задачами.

Однако это слишком 'специфичная и сложная задача, чтобы обсуждать ее здесь.
Исходя из того, что уравнение (6-14) должно описывать поток в танком пограничном слое, мы предполагаем,

что толщина этого слоя б очень мала по сравнению с любым

размером твердого тела, погруженного в поток и окруженного пограничным слоем.
Если поверхность этого тела искривлена, тогда мы

предполагаем, что пограничный слой также тонкий по

сравнению -с радиусом кривизны в любом месте вдоль

поверхности. При этих условиях можно выбрать систему

координат внутри пограничного «слоя, как показано на

172
--------------- page: 174 -----------
рис. 6-9, на котором ось х направлена бдоль поверхности

тела, а ось у ориентирована нормально к ней и указывает

направление наружу.
Следует ожидать, что в тонком пограничном слое изменение таких параметров, как и, V, р, характеризующих

поток, происходит шраздо скорее в направлении г/, чем

в направлении х. Приняв это .во внимание, мьи выбираем

направление у 'измерением его в меньшем масштабе, чем

длину в направлении х. Это можно -сделать, полагая что х

является величиной порядка единицы, тогда как у имеет

порядок величины б-
Все другие величины,

входящие ' в уравнения

(6-14) и (6-15), мы предполагаем, что они порядка 1, за исключением .вязкости, которая считается

небольшой.
Например, мы измерим скорость в главном

потоке и8, в таком масштабе, что она также будет порядка единицы. Можно

ожидать, что скорости в направлении основного потока

в самом пограничном слое — величины такого же порядка.

Мы можем легко определить порядок величины составляющих скорости V в направлении у из уравнения

непрерывности. Это уравнение требует, чтобы два его члена были (величинами одного и того же порядка. Поскольку

и их порядка единицы, производная ди/дх должна быть

такого же порядка. Мы можем поэтому заключить, что

ду/ди порядка 1 и что V должно быть порядка б. Под каждым из членов приведенного (ниже уравнения непрерывности указывается порядок величины:
да -.и!!!-—о.
1
Рис. 6-9. Пограничный слой вокруг

обтекаемого потоком тела.
дх
I
Теперь перейдем к уравнению количества движения в направлении х. Ниже приводится уравнение количества движения и

под ним указан порядок величины каждого члена:
/ди . ди , ди \ др , /д2и , д2и\
1 1 1 8Т
173
--------------- page: 175 -----------
МоЖ1но сразу же сказать, что второй член в левой части

является величиной порядка единицы. Первый член может

быть величиной .порядка, меньшего 1, в случае чего мы рассматриваем действительный лоток как квазистационарный,

или (порядок (величины этого члена может [быть 1, как указывается здесь, или, наконец, он может быть большим по

сравнению с 1. Это означало бы очень быстрое изменение

сщрости во времени. Однако мы исключаем здесь эту

возможность. Мы можем также сразу определить, что

порядок величины третьего члена левой части уравнения

будет 1. Допустим, что плотность р также порядка 1. Для

того чтобы определить порядок величины -первого члена

в (правой части уравнения, вспомним, что уравнение Бернулли (6^1) 'справедливо (для потока вне пограничного

слоя. Это уравнение для струи может быть записано в таком виде:
1
Из-за тонкого пограничного слоя прадиент давления

не может изменить ^щрядок величины. Поэтому можно

заключить, что прадиент давления такого же порядка величины, >как и член, выражающий инерцию. Теперь следует

проанализировать два оставшихся члена правой части

уравнения. Порядок величины двух членов внутри круглых

скобок можно сразу установить и указать под соответствующими членами. Очевидно, что можно пренебречь членом д2и/дх2 по сравнению с членом д2и!ду2. Оставшийся

член, выражающий вязкость, должен быть теперь такого

же порядка, как и другие члены в уравнении, если желательно иметь уравнение, содержащее члены, которые будут

соответствовать силам вязкости. Поэтому |х(д2и/ду2)

должно быть порядка Г, что будет выполнено, если мы

предположим, что имеем вязкость порядка б2. Это означает, что для того, чтобы создать поток пограничного слоя,

вязкость должна быть совсем мала, а именно — порядка б2.
Такой же порядок величины аргумента для уравнения

количества движения по направлению у приводит к выводам, содержащимся (в следующем уравнении:
--------------- page: 176 -----------
,Все указанные члены имеют порядок величины б. Сле-

дователыно, др/ду должно быть порядка б, которым можно

пренебречь по сравнению с 'величинами порядка 1 в первом

уравнении. Это указывает на то, -что изменение давления

по ©сему пограничному слою .в направлении, перпендикулярном поверхности, пренебрежимо мало. Другими словами, давление в пограничном слое определяется основной

струей потока вне пограничного слоя. Система уравнений,

описывающих двухмерный поток пограничного слоя жидкости с постоянными характеристиками, имеет вид:
(да ,
(к+“
<б-ш>
%=«■•
5^+|-=0-
Граничные условия для этих уравнений:
при у = 0 и = 0, р —0;
при у = со и — и,8'
Предполагается, что стенка, у которой образуется пограничный слой, находится в состоянии (покоя. Может показаться странным, что второе граничное условие записывается для у = оо, тогда как система уравнений пограничного слоя описывает поток в предполагаемом тонком пограничном слое.
Решения, полученные из этих уравнений, показывают,

что скорость потока фактически быстро приближается на

коротком расстоянии от стенки к постоянной величине.

Решения для этих трех уравнений можно получить значительно более простым путем, чем для уравнений Навье—

Стокса. Эти уравнения нелинейные; однако одно переменное исключается, поскольку давление теперь следует рассматривать как величину, предписанную основным потоком. Кроме того, один из двух членов вязкости в оставшемся уравнении количества движения также опущен.
Для вращательно-симметричного потока уравнения абсолютно одинаковы. Единственное изменение имеет место
175
--------------- page: 177 -----------
в уравнении /непрерывности, которое нужюо записать следующим образом:
^+^) = 0. (6-20)
дх 1 ду
х опять измеряется вдоль поверхности тела вращения, у—

нормально к поверхности, и и V—соответствующие составляющие скорости и г— расстояние рассматриваемой

точки (поверхности от оси вращения.
Можно заметить, что система уравнений пограничного

слоя совершенно не зависит ют температуры, поскольку

свойства .величин р и ц, входящих в них, считаются постоянными. Это подтверждает вывод, сделанный ранее

о том, что для жидкости с 'постоянными физическими свойствами поле скорости полностью (не зависит от температурного поля в самой жидкости. Теплообмен не имеет никакого влияния на физические характеристики потока.
' На стр. 155 упоминалось, что почти все потоки, которые

встречаются ,в технике, можно с достаточной степенью

точности считать (стационарными. Количественная оценка

того факта, когда поток: (пограничного слоя можно считать

квазистащионарным, теперь может быть сделана путем

сравнения первого члена в уравнении (6-16) со вторым

членам. Скорость и имеет порядок и3, градиент скорости-

ду/дх порядка и8!Ь при Ь, указывающем характерный

размер тела. Если величина, -которой мы измеряем время,

равна То, 'топда ди/дт^будет порядка и8/То. Первым членом

уравнения (6-16) можно пренебречь, когда
— <€ -т- или т; > —.
*о ^ Ь
Для тела с размером 1 = 0,3 ж, погруженного в поток,

движущийся со скоростью а5=30 м/сек, поток можно рассматривать как квазистационарный, когда изменения в нем

имеют место за период времени, больший, чем То = 1/10 сек.

Изменения-за такое короткое время встречаются редко.
Некоторые решения уравнений пограничного слоя будут

рассмотрены позднее. Теперь же (вернемся к интегральному

уравнению количества движения и с его помощью вычислим толщину пограничного слоя. Это действие дает только

приближенные результаты; однако оно имеет то огромное

преимущество, особенно для задач технических, что само

вычисление значительно короче и этот метод может приме-

17?
--------------- page: 178 -----------
няться широко, тогда как даже 1со значительными усилиями решения дифференциальных уравнений пограничного

слоя были получены для ламинарного -патока только

в ограниченном числе случаев. Преимущество интегрального уравнения количества движения заключается главным образом в том, что оно является общим дифференциальным уравнением для х, в то время как полные уравнения пограничного -слоя являются частными дифференциальными уравнениями для х и у.
6-4. ДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ
Используем уравнение (6-8) для расчета толщины

пограничного юлоя на поверхности плоской стенки при

установившемся потоке. Как уже упоминалось выше,

у поверхности плиты близ ее переднего края существует

ламинарный пограничный слой

(рис. 6-5). Пусть -скорость движе^

ния жидкости за пределами пограничного слоя будет постоянной

вдоль всей плиты. Тогда согласно

уравнению Бернулли и давление

также будет постоянным, поэтому последний член уравнения

(6-8) обращается в нуль. Как показали измерения, кривая распределения скоростей в ламинарном пограничном 'слое имеет

форму кривой, изображенной на

рис. 6-10.
Метод решения, предложенный Т. Карманом, основан

на допущении произвольного выражения для распределе-

"ния“'скорости с некотор”™^Жсл(ш постоянных™ вычислТе-
мых с соблюдением определенных
после Дн
сти ,стенки“(^=11У”]ШГ~7на границе между пограничным

слоем и потоком (у = 67. Известно, что
при у = 0
7а77777т7777777777777?
Рис. 6-10. Ламинарный пограничный слой на плоской

плите.
и = 0;
при у --
12—30§
(6-21)
(6-22)
177
--------------- page: 179 -----------
Если уравнение пограничного слоя (6-16) записано для у — О,

тогда для постоянного давления при у = О
(6-23)
Г1о выходе за пределы пограничного слоя у >8 кривая

распределения скоростей должна отражать существование

постоянной скорости иа, не претерпевая разрывы непрерывности.
Поэтому для у — Ь
Это необходимое условие. Можно показать, что вторая,

третья или любая другая более высокая производная будет

также равна 0 при у = 8. Но мы удовлетворимся здесь

четырьмя условиями (6-21)—(6-24). Соответственно мы можем

выбрать для профиля скорости выражение с четырьмя неопределенными коэффициентами, например
Эти коэффициенты можно определить, подставляя уравнение

(6-21) — (6-24) в уравнение (6-25). Они будут иметь вид:
и кривая распределения скоростей определяется уравнением
Используя эту формулу для интеграла количества движения в уравнении (6-8), получаем:
Верхний предел определенного интег-рала необходимо

было изменить на б, так как для у>б скорость и = и3 и

подынтегральное выражение обращается в нуль, а также

поскольку уравнение (6-26) справедливо только для
178
(6-24)
и = а-\-Ьу-{-суг + (1у*
(6-25)
а = 0; Ь — ~\ с — 0; й — —
2 а»
и
3 У
(6-26)
и,
I
/ = р|(*в-и)иф = ри^[-|--Г—г(-г)3]Х
о
о
--------------- page: 180 -----------
Если перемножить выражения в скобках, а затем ёь1-

полнить интегрирование, получим'.
'г 39 2*,
/ = 280 Р«А
Градиент скорости у поверхности плиты определяется из

уравнения (6-26):
(ди_\
\ду /т 2 8
Поэтому напряжение трения у поверхности равно:
(ди \ = 3
XI)
Подстановка этого выражения и значения / в уравнение количества движения [уравнение (6-8)] дает следующее дифференциальное уравнение:
39 2 0Ь__ 3 „ Ч3

280 рМ*йдг 2 » Разделив переменные, получим:
Ш = —й*.
13 и3
Интегрирование последнего уравнения приводит к следующей формуле:
8 = 4,64
Постоянная интегрирования равна нулю, когда х измеряется от переднего края плиты, так как при х =0 толщина 8 также равна нулю. Формула (6-28) показывает, что

8 увеличивается пропорционально корню квадратному из расстояния х. Этой формуле полезно придать безразмерный

характер:
_1. — 4,64
*
Подкоренное выражение является критерием Рейнольдса для

данного расстояния х от переднего края плиты. • Если это

выражение обозначить символом Ре^, придем к следующему

уравнению:
(6-29)
х . у Кел
12*
--------------- page: 181 -----------
ТакйМ образом, толщина попрайиЧнбго слоя 6 измеряется тем расстоянием от (поверхности «плиты, где скорость,

определяемая из уравнения (6-26), достигает значения

скорости основного ядра потока. Ясно, что такое определение толщины (Пограничного слоя является несколько условным. Точный расчет ламинарного пограничного (слоя показывает, что кривая распределения

скоростей лишь асимптотически

приближается к значению скорости основного ядра потока. При

такой форме кривой распределения скоростей для толщины пограничного слоя 1по приведенному выше определению не существует конечных значений. Применялись и другие определения;

гак как, на'пример, за толщину

пограничного слоя принимали то

расстояние от поверхности плиты, где скорость равняется 0,99

скорости основного ядра потока.

В настоящее время, однако, широкое распространение получила величина, называемая эквивалентной толщиной пограничного слоя (сИзр1асетеп1 1Ыск-

пезз) *. Ее определяют 'методом, который иллюстрируется

рис. 6-11. Прямоугольник аЬсй равновелик фигуре, образуемой кривой распределения скоростей, ординатой и асимптотой. Ширина этого прямоугольника б * и есть эквивалентная толщина пограничного слоя.
Математически она описывается уравнением
‘МО-ггИ (6-30)
а
Название этой величины основано на том, что в потоке

жидкости без трения и пограничного слоя скоростное поле

осталось бы таким же, как и для реальной жидкости с пограничным слоем, только при смещении стенки на величину

б *. Для 'скоростного поля, определяемого уравнением
*
ветствует ее аналитическому определению. (Прим. ред.)
Рис. 6-11. К определению

эквивалентной толщины пограничного слоя.
180
--------------- page: 182 -----------
(6-26), приведенный выше интеграл Дает следующий

результат:
8* —0,3755=&|-.
Величина количества движения, даваемая уравнением (6-12),
Тогда напряжение трения у стенки
Вместо этой величины часто применяют коэффициент

трения /р, который равняется силе сопротивления движению по поверхности плиты, деленной на площадь поверхности плиты .и динамическое давление в потоке. Необходимо различать две величины: локальный коэффициент

трения /р и средний коэффициент трения /рт. Пе-рвый определяется из уравнения
откуда
Второй можно найти из равенства .
X
0
откуда
--------------- page: 183 -----------
Более точные расчеты Для числите Л я Данной формуль!,

основанные >на решении уравнений (пограничного слоя,

дают значение 1,327, т. е. на 3%( больше. Формула находится в хорошем соответствии с результатами опытов.
Пример 6-1. Необходимо определить толщину пограничного слоя

на расстоянии 100 мм от переднего края плиты при движении воздуха

вдоль ее поверхности. Скорость движения воздуха 10 м/сек, температура 16° С, давление—атмосферное. Находим критерий Рейнольдса:
“зх 10-0,1
=“7“ = 1,48-Ю-5 = 67 500-
Значение коэффициента кинематической вязкости взято из таблиц приложения. Отношение толщины пограничного слоя к расстоянию от переднего края плиты
5 __ 4,67 _
.■* ~~ У67 500 — °>0178>
откуда толщина пограничного слоя на расстоянии 100 мм от края

равна 1,8 мм. Эквивалентная толщина пограничного слоя б* = 0,6 мм.

Отсюда видно, что при обычных скоростях- и расстояниях толщина

пограничного слоя достигает около 2 мм.
Для турбулентного пограничного слоя кривая распределения скоростей обладает гораздо большей

кривизной, чем для ламинарного пограничного слоя. Хорошее приближение <к действительному распределению

скоростей дает формула Прандтля:
и = и
(|У-
Однако для участка, лежащего непосредственно у поверхности плиты, формула неверна. В этом можно убедиться,

сделав расчет напряжения сдвига у поверхности. Градиент

скорости
йи 1 из
йу-1 (&1/7Шв/7) ’
т. е. у самой поверхности плиты (при у = 0) бесконечно велик. Вследствие этого и напряжение сдвига у поверхности

должно было бы быть бесконечно большим, что физически

невозможно. В действительности турбулентность всегда

исчезает у поверхности. Реальные условия можно упростить, приняв гипотезу Прандтля, что между турбулентным пограничным слоем и поверхностью плиты существует

ламинарный подслой, в пределах которого скорость воз-

182
--------------- page: 184 -----------
растает прямо пропорционально изменению ординаты у.

За (пределами этого подслоя справедливо уравнение (6-32).

Предполагаемые кривые распределения (скоростей сопрягаются на границе подслоя, образуя очень небольшой угол,

как показано на рис. 6-12.
Напряжение трения у поверхности плиты здесь необходимо

определять непосредственным измерением.
Для неслишком больших значений критерия Рейнольдса и

гладких поверхностей хорошие

результаты дает формула Бла-

зиуса:
т„=0,02281*;
Формула выведена на основании 'результатов опытов с движением жидкостей и газов

в трубах. Шульц-Грунов (Л. 48] опытным путем доказал

справедливость этой формулы для движения вдоль плоских

плит вплоть до Не='107. Для более высоких значений критерия Рейнольдса существует весьма сложное уравнение,

речь о котором будет идти ниже.
Подставив значение и из формулы (6-32) в уравнение

количества движения (6-8), получим:
I = Р| и (», - и)*У = Р«^(г),Л[1 “ (1)1’]аУ=729и*Ь'
о
Здесь также верхний предел интегрирования необходимо заменить на 5, так как уравнение (6-32) справедливо лишь для

у < 6. При у > 8 и и = из интегрируемое выражение обращается в нуль.
Подстановка значения интеграла / и формулы (6-33) в уравнение количества движения приводит к дифференциальному

уравнению
Разделив переменные, получим:
из
"8ъ
и _ /
иь _ У
Рис. 6-12. Ламинарный подслой и турбулентный пограничный слой.
Ь'ЫЪ = 0,235 (~У^х.
183
--------------- page: 185 -----------
После интегрирования имеем:
8 = 0,376 /бУ/5-(- сопз*.
(6-34)
Некоторые трудности возникают при определении константы интегрирования. Из рис. 6-5 следует, что начало

турбулентного пограничного слоя находится на некотором

критическом расстоянии хс от переднего края. В этой точке он уже имеет определенную толщину, так как он возникает из ламинарного пограничного слоя. Оба слоя

должны соединяться в этой точке. Иногда говорят, что величины количества движения турбулентного и л амин ар-
Переходная
Рис. 6-13. Ламинарный и турбулентный

пограничные слои на плоской плите.
ного слоя здесь равны. По Л. Прандтлю [Л. 49] (рис. 6-13)

выражение (6-34) хорошо согласуется с измерениями, если

определить толщину турбулентного пограничного слоя,

положив, что он начинается у переднего края, имея в этом

месте нулевую толщину. Последние экспериментальные

наблюдения показывают, что это не совсем так, но мы,

однако, примем это упрощающее допущение. Постоянная

в уравнении (6-34) тогда равна 0, причем х выражает расстояние от переднего края. В критериальной форме уравнение (6-34) приобретает вид:

*
В правой части равенства снова появляется критерий Рейнольдса,

вычисленный для расстояния х. Эквивалентная толщина пограничного слоя турбулентного потока согласно уравнению
7
(6-32) равна 8* = 8/8, а величина 8. = ^8. Если для критического расстояния рассчитать и ламинарный и турбулентный

пограничные слои, то последний окажется толще. В дейст-
184
--------------- page: 186 -----------
Ёи^ельйосТи мгйоЁенное возрастание толщины пограничного

слоя невозможно. •
Переход от ламинарного к турбулентному пограничному

слою имеет место ^ в переходной зоне, показанной на

рис. 6-13.
Переход от ламинарного к турбулентному режиму движения в пределах пограничного слоя начинается с колебаний сравнительно большой длины волны. В основном эти

колебания носят тот же -характер, что и волны, которые

-можно наблюдать при обтекании (вертикальной плиты в пограничном слое в случае свободной конвекции (рис. 11-11).

Как было аналитически доказано В. Толлымином [Л. 50] и

X. Шлихтингом [Л. 51], движение в пограничном слое становится неустойчивым при таких колебаниях с определенной длиной волны, когда толщина пограничного слоя достигает некоторого определенного значения. Эти колебания

всегда существуют в потоке вследствие действия различного ряда побудителей, приходящих из внешнего потока.

В неустойчивой области пограничного слоя они не затухают, а усиливаются по направлению течения жидкости.

Постепенно волны приобретают неправильную форму и

превращаются в завихрения, которые в конце концов совсем р.азмываются, приобретая характер умеренного турбулентного движения. Из-за случайной природы возмущений наложение переходной зоны зависит от беспорядочных

колебаний во 'времени. Эта зона чрезвычайно трудно поддается изучению, и наши знания о процессах в ней весьма

ограничены. Расчеты, приводимые в настоящем параграфе,

относятся исключительно к области с вполне установившейся турбулентностью.
Для последующих расчетов теплообмена необходимо

знать толщину ламинарного подслоя б. Для этого требуется раньше определить скорость щ на границе между

турбулентным слоем и ламинарным подслоем. По напряжению трения на поверхности плиты находим увеличение

линейной скорости в ламинарном подслое:
Подстановка значения %и> в это равенство дает следующую

формулу:
185
--------------- page: 187 -----------
Решая это уравнение относительно у и имея в виду, что при

у — Ъь, и — иь, получаем:
С другой стороны, использовав уравнение (6-32), находим:
Приравнивая правые части последних двух равенств, приходим

к следующему выражению:
Здесь критерий Рейнольдса вычисляется по толщине пограничного слоя. С помощью уравнения (6-35) вводим расстояние л::
Теперь толщину ламинарного подслоя можно определить из

уравнения
Напряжение сдвига у поверхности плиты определяется из

формулы
Сопротивление потоку можно рассчитать по напряжению сдвига

на участке с ламинарным пограничным слоем и на участке с

турбулентным пограничным слоем. Для критического значения

критерия Рейнольдса, равного 485000, этот расчет дает следующий результат:
вь иь 1

5 ~и3 0,0228
(6-36).
(6-37)
(6-38)
или
0,074 1 700
рт (Кеж)'/5 Ке*
186
--------------- page: 188 -----------
а для критического значения Ке, равного 85 000,
, _ 0,074 300
! рт (1^ у и «е,-
На |рис. 6-14 представлен график поля скоростей 1в турбулентном пограничном слое согласно экспериментальным

исследованиям ван дер Хегге-Цинен [Л. 52]. Здесь тоже

вместо резкого перехода от одного режима к другому -наблюдается .переходная зона, 'в пределах которой турбулентность постепенно замирает. На рис. 6-15 дано сравнение
м/сен
Рис. 6-14. Кривая распределения скоростей в турбулентном пограничном слое на плоской плите по

результатам опытов ван дер Хегге—Цинен [Л. 329].
кривых, построенных на основании двух данных выше

формул для коэффициента трения, с экспериментальными

данными. При больших числах Рейнольдса (свыше 107)

уравнение Блазиуса не описывает результаты измерений

с достаточной точностью. Интерполяцией были получены

различные формулы, которые достаточно точны вплоть до

Ке=109. Хорошо известно уравнение Кармана — Шоен-

герра:
0,242 1 /г» г ч
1/"й“ ? (Ке^}-
Зависимость, предложенная Прандтлем и Шлихтингом, более

удобна:
, _ 0,455
'рт— (^1^2,58 •
187
--------------- page: 189 -----------
Для коэффициента локального трения Шульц-Грюнов дает

следующее соотношение:
, _ 0,370

р (1§ )2»584 •
При 'бол-ее высоких числах Рейнольдса влиянием ламинарного пограничного (слоя можно пренебречь, о чем свидетельствует (рис. 6-15.
Вышеприведенные соотношения справедливы для абсолютно гладкой поверхности. Обычно на шероховатых по-
Рис. 6-15. Значение коэффициента трения для ламинарного и

турбулентного пограничных слоев на плоской плите [Л. 330].
верхностях трение больше, чем на гладких. Подробнее
о
деле 6-7.
Пример 6-2. Требуется рассчитать толщину турбулентного пограничного слоя на расстоянии 300 мм от переднего края плоской плиты,

которая омывается потоком воздуха со скоростью 10 м/сек при температуре 16° С и атмосферном давлении.
Определим критерий Рейнольдса:
10-0,3
^ел: ~ 1,48* ю-6 ~ 203 °00'
Из уравнения (6-35) находим, что отношение толщины погранич-
ного слоя к расстоянию от переднего края плиты — =0,03. Отсюда тол-
щина пограничного слоя равна 10 мм, а эквивалентная толщина пограничного слоя равна 1,25 мм. Согласно формуле (6-38) отношение тол-
Ч
щины ламинарного подслоя к толщине турбулентного слоя =0,037.
о
Таким образом, толщина подслоя равна 0,37 мм. Вследствие незначительности толщины подслоя напряжение сдвига у поверхности плиты

для турбулентного потока в значительной степени определяется шероховатостью плиты, тогда как для ламинарного потока шероховатость
188
--------------- page: 190 -----------
играет лишь незначительную роль. Это можно объяснить тем, что напряжение сдвига и сила трения о поверхность значительно возрастают,

если шероховатость не полностью покрывается ламинарным подслоем.

Точные экспериментальные измерения показывают, что сопротивление

потоку сильно возрастает, если высота шероховатости приблизительно

'на одну преть (Превосходит толщину лам-ивдрнаго подслоя. Для рассматриваемого примера поверхность плиты с высотой шероховатости менее

0,1 мм может считаться гидравлически гладкой. Толщина ламинарного

подслоя обратно пропорциональна скорости и8 и лишь в слабой степени

обусловливается расстоянием от переднего края плиты. При высоких

* скоростях во избежание сильного повышения сопротивления потоку

поверхность плиты надо обрабатывать с особой тщательностью. Фор-

6-5. ГРАДИЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ ВДОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
При наличии потока, в котором давление изменяется

вдоль поверхности плиты, методику расчета следует изменить, чтобы учесть этот градиент давления. Проведем такой расчет для ламинарного пограничного слоя у поверхности (у=0). При этом уравнение (6-16) принимает вид:
д_Р

Это выражение заменяет уравнение (6-23) предыдущего параграфа. Используя уравнение Бернулли и зная, что др/дх

постоянно для всего пограничного слоя, можно записать его

в следующем виде:
/ й2и\
На основании этого уравнения и уравнений (6-21), (6-22) и

(6-24) определяем коэффициенты в выражении для поля скоростей
и = а -(- Ьу суг йу%.
Дифференцируя это уравнение дважды и полагая, что у —О,

приходим к следующему уравнению для коэффициента с:
1
с — — Ъ и
Коэффициенты а, Ъ и й определяются из других граничных

условий.
Таким образом, профиль скорости выражается формулой
‘(г)'-(-Н)(Г)' («»)
189
--------------- page: 191 -----------
* — 2м ах •
Напряжение трения
'.=*(*+т)т-
Вводя выражение для профиля скорости и напряжения

трения в уравнение количества движения пограничного слоя и

интегрируя его, получим:
Р ~йх[ (28О 208 Х 420 х2)]И« 8 +
, „/3 „V йи (з
+ ри—24Г» АГ8 = Ь+-2УТ
или
^[(286 208 х 420 х2)и* 8] = т(| —Г+Тг)' (6'42^
Необходимо знать изменение скорости потока вдоль

поверхности. Уравнение (6-42) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка относительно

неизвестной величины б, (поскольку параметр к является

функцией толщины пограничного слоя б [уравнение (6-41)]

и известных параметров. Интегрирование лучше проводить

численно или графически. В результате такого расчета

получаем толщину пограничного слоя вдоль поверхности.

Эта величина в любой точке х вдоль поверхности определяет параметр и уравнения (6-41), а с ним и форму профиля пограничного слоя. Можно видеть, что отрицательное

к указывает 'на положительную кривизну профиля скорости на поверхности {у = 0), т. е. (профиль в форме буквы 5.

При к = —3 у стены имеется дополнительный градиент скорости йи/с1у = 0. Большие отрицательные значения к привели бы к профилю скорости с отрицательными скоростями около стены, указывающими на наличие обратного

потока. Поэтому, когда расчет пограничного слоя дает

величину х = —3 в любом месте, тогда этот факт можно

рассматривать как указывающий на отделение потока.

Первые такие вычисления проводились Польхаузеном

[Л. 53]. Для описания профиля скорости в пограничном

слое вместо уравнения (6-40) он использовал полином

190
--------------- page: 192 -----------
четвертого Порядка и рассчитал развитие пограничного

слоя вокруг круглого цилиндра.
Подобные методы расчета разработаны также для

турбулентного пограничного слоя. Турбулентные пограничные юлой в потоках при больших градиентах давления

встречаются значительно реже, чем ламинарные, поэтому

методы расчета для них здесь не обсуждаются.
6-6. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО

ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ
Установление ламинарного пограничного слоя вдоль

плоской пластины при постоянном давлении для стационарного состояния было изучено довольно рано путем

интегрирования уравнений пограничного слоя потока. Эти

расчеты были выполнены X. Блазиусом после того, как

Л. Прандтль показал, что для рассматриваемых условий

потока возможно преобразование дифференциальных уравнений .в частных производных (6-16) и (6-18) в полные

дифференциальные уравнения. Два дифференциальных

уравнения, описывающие поток, можно объединить в одно

уравнение, в!водя функцию тока 4я, определяемую следующим образом:
Введение функции тока в уравнение непрерывности (6-18)

удовлетворяет это уравнение. Уравнение количества движения

(6-16) принимает вид:
Л. Прандтль показал, что это уравнение может быть преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение, если

ввести новую независимую переменную
и допустить, что функция тока может быть записана следующим образом:
ачр а2ч* дч* д*ч* __ азч*
ду дхду дх ду2 ду3
(6-43)
где / является функцией только ц. Введение этих двух новых
191
--------------- page: 193 -----------
параметров / и т) в уравнение количества движения дает новое уравнение
<6-44>
Граничные условия (6-19) для двух новых переменных такие:
ПрИ 7] = О
7 = 0; ^-=0;
При Т} —оо
й± = 2.

аг)
Совершенно очевидно, что функция ! сразу же описывает

две составляющие скорости согласно соотношениям
2 *] • 2 у туа-п ')■
Блазиус решил это уравнение, разлагая функцию / в ряды.
Позже Пиерси и Престон [Л. 54] дали другой метод, который привел к простому решению путем последовательных

приближений. Для этого обозначим вторую производную от

/ через г. Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:
йг
Тп = ~1г-
Если мы в какой-то момент рассматриваем / как данную

функцию т), то можно разделить переменные:
т = ~^
и произвести интегрирование
1п г = — .[/й^ + кгС,; г^=С1еЧ(а\
Дополнительное интегрирование приводит к следующему выражению для скорости и в пограничном слое*
«
2
192
--------------- page: 194 -----------
Постоянные С, и С2 определяются из граничных условий и

после подстановки дают:
3 Ь
I е° йц
Т=Ч—•
' 00
^е° йц
Это уравнение нельзя рассматривать как решение уравнения (6-44), поскольку неизвестна функция /, которая появляется б показателе степени в правой части уравнения.

Однако оно может (быть использовано для топо, чтобы

получить решение путем последовательных приближений

следующим образом.
Делается первая оценка функции (. Эта величина подставляется в уравнение (6-45), .и уравнение решается относительно и. Дополнительное интегрирование дает /, которое опять можно подставить в уравнение (6-45) как второе

приближение функции /. Интегрированием получаем третье

приближение, и так можно продолжать до тех пор, пока

последовательные приближения не будут удовлетворительно совпадать -одно с другим. Пиореи и Престон начали

свои вычисления с грубого допущения, что /=2г], и получили очень хорошее решение для профиля скорости всего

лишь после трех последовательных повторений.
Профиль скорости, полученный таким образом, изображен на рис. 6-16. Здесь приводится также профиль, описываемый уравнением (6-26), с эквивалентной толщиной

пограничного слоя. Из рисунка видно, что совпадение

вполне удовлетворительное. Точные решения уравнений

ламинарного пограничного слоя получены также для двухмерного потока на поверхности, когда скорость потока

изменяется согласно соотношению
и3 = Схт.
Это распределение скорости устанавливается вдоль поверхности (бесконечного клина с углом раскрытия а =

= 2тя/(т+1) =ря в несжимаемом потоке, направленном

симметрично по направлению к вершине. Поэтому эти решения относятся к типу решений для потока, омывающего

клин. Опять-таки преобразование уравнений пограничного

13—308
--------------- page: 195 -----------
Рис. 6-16. Кривая распределения скорости в ламинарном пограничном слое вдоль плоской пластины, рассчитанная X. Блазиусом и аппроксимированная полиномом третьей степени.
Рис. 6'17. Кривые распределения скорости для потока с ламинарным пограничным слоем над клином при разных значениях параметра давления р [Л. 331].
194
--------------- page: 196 -----------
слоя 'В обыкновенные дифференциальные уравнения возможно путем таких же преобразований, какими мы пользовались и прежде. Окончательное дифференциальное уравнение в полных производных будет иметь вид [Л. 55]:
Профили скорости для этого типа потока показаны на

рис. 6-17. Профиль с параметром р = 0(т = 0) является профилем Блазиуса. Положительные значения р или т указывают увеличение скорости вдоль поверхности. Значение

т= \ (|3=1) соответствует углу клина а=180® или двухмерному потоку, направленному 'нормально к плоской

пластине. Этот поток также имеет место вблизи любой

образующей тупого цилиндра. Отрицательные значения т

соответствуют потоку, скорость которого понижается вдоль

поверхности. Значение т = —0,1104 (р = —0,1988) характеризуется тем фактом, что градиент скорости этого профиля

у поверхности равен нулю (профиль разделения потока).
Расчет потока в трубе вблизи входного отверстия можно также производить при помощи уравнения количества

движения (6-8). Для труб круглого сечения уравнения

количества движения выводятся и решаются для асимметричного потока.
Этот расчет был выполнен Л. Шиллером [Л. 56]. Кривую распределения скоростей он строил из двух парабол,

соединенных прямой. Вершина каждой из ветвей парабол

лежит на границе пограничного слоя (рис. 6-18). Скорость

основного ядра потока за пределами пограничного слоя

13*
(6-46)
6-7. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ
й
Рис. 6-18, Развитие скоростного поля при

ламинарном движении в трубе на участке

стабилизации.
--------------- page: 197 -----------
возрастает в направлении движения жидкости, так как

через любое сечение трубы проходит одно и то же количество жидкости, а толщина (пограничного слоя увеличивается. Поэтому согласно уравнению Бернулли, справедливого для - основного ядра (потока, давление падает.

В конце участка стабилизации (на расстоянии от входного

отверстия) кривая распределения скоростей по сечению

имеет форму параболы. Разность между давлением в сечении с гидравлически стабилизированным потоком и областью снаружи трубы, где поток имеет незначительную

скдрость, можно определить по Л. Шиллеру прибавлением

к потере давления, которая имела бы место, если бы поток

был стабилизирован по всей длине трубы величины падения давления
Д/? = 2,16р%-.
Результаты такого расчета вполне соответствуют опытным

данным. {Отношение длины участка стабилизации к диаметру

трубы является функцией критерия Рейнольдса:
% = 0,0288^ =0,0288 Ре. Г]
и
Критерий Рейнольдса вычисляется по средней скорости ,в дайн ом сечении и ото диаметру трубы й. Так обычно и вычисляют критерий Рейнольдса в технической литературе. Следует помнить, однако, что в действительности

нельзя 'провести резкую границу между участком стабилизации и областью гидравлически стабилизированного потока. Поток приближается к условиям гидравлической

стабилизации асимптотически. Поэтому и на расстояниях,

превышающих длину участка стабилизации Ье, уравнение

(6-48), возможно обнаружить (Некоторое отклонение от

режима полной стабилизации.
Бели значение критерия Рейнольдса превышает критическое, то' где-то на уча'стке стабилизации режим движения

в пограничном слое меняется на турбулентный. При возрастании значения критерия Рейнольдса переходная зона

приближается к входному отверстию. Так как толщина

турбулентного пограничного слоя увеличивается быстрее,

чем ламинарного [см. уравнение (6-35)], то длина участка

стабилизации1 Ье сокращается. При К'е<* = 3 000 поток на

всем участие шОилизащщ роодгг ламинарный характер,

195
--------------- page: 198 -----------
В этом случае Ье равняется приблизительно 1(Ш [см.уравнение (6-48)]. При росте значений критерия Рейнольдса

сверх указанной величины длина участка стабилизации

сначала бьвспро сокращается приблизительно до 40с?,

а затем начинает снова увеличиваться.
Установившийся ламинарный поток через круглую трубу является одним из мношх случаев, для которого можно

получить «простое, точное решение уравнений Навье —

Стокса. Это решение показывает, что профиль скорости

представляет собой параболу и дает для коэффициента

трения, согласно формулы (6-53), соотношение
Обычно этот тип потока относят к потоку Пуазейля.
Кривая распределения скорости в области гидравлически стабилизированного потока для Ке=100 ООО хорошо

описывается формулой (6-32), если вместо толщины

пограничного слоя подставить радиус г. Это соответствует 'гипотезе, что пограничный слой омыкается по оси

трубы. В этом случае и8 обозначает скорость движения по

оси. Справедливо также уравнение (6-33) для определения

напряжения трения у поверхности плиты и уравнение

(6-36) для определения скорости движения на границе

между турбулентным пограничным слоем и ламинарным

подслоем. Последний образуется в трубах так же, как и

на поверхности плит. Если в упомянутых уравнениях радиус г заменить диаметром й и скорость и3 средней скоростью ит, интепрированием уравнения (6-32) находим, что

ит=0,82и3, то получим следующие соотношения, которые

будут использованы нами позже:
(6-49)
(6-51)
(6-52)
В действительности здесь, как и в случае плиты, не существует определенного1 ламинарного слоя, д имеет место
197
--------------- page: 199 -----------
только постепенное понижение турбулентности по мере

приближения к стенке. Уравнения, учитывающие наличие

такой переходной зоны, приведены на рис. 6-20. Вместо
напряжения трения чаще при,ме-

^ няют коэффициент трения /, который определяют из формулы
(6-53)
где Ар — падение давления на участке трубы Ь. Согласно закону

количества движения между давлениями в сечениях 1—1 и 2—2 и

напряжениями трения 1на стенку

отрезка трубы длиной Ь (рис. 6-19)

в стационарном потоке существует 'равновесие. Отсюда для

установившегося ‘.потока
Рис. 6-19. К применению

закона количества движения к гидродинамически

стабилизированному потоку в трубе.
'.*9чиИ.
Коэффициент трения можно вычислить по напряжению трения,

использовав уравнения (6-50), (6-53) и (6-54):
8хе__ 0,316

Р“т
(6-54)
(6-55)
Это выражение обычно называют законом Блазиуса. Если движение жидкости связано с теплообменом, то существует определенный температурный напор. Согласно Мак-Адамсу для

газов [Л. 57] физические параметры определяются для температуры ^т)/2 (1т—температура стенки, 1т—средняя температура потока), а по Сидэру и Тэйту [Л. 58] коэффициент

трения для масел рассчитывают по физическим параметрам,

взятым при температуре 1т с последующим умножением на

0*тА\»)0,14> гДе вязкость при температуре 1т и ^--вязкость при температуре Данные опытов Рохонца (НоЬопсгу)

[Л. 59] с водой приближаются наилучшим образом к результатам вычислений по формуле (6-55), если физические пара'

метры брать при температуре
198
--------------- page: 200 -----------
Если $е>105, формулу (6-55) надо заменять формулой

закона общего сопротивления потоку, который был найден

Л. Прандтлем, Карманом и сотрудниками [Л. 60]:
ру = 2,018[(Кей)1/Л-0,8.
(6-56)
Это выражение сложнее формулы (6-55), так как коэффициент,

трения имеется в обеих частях уравнения.
С 'недавнего времени кривую распределения скоростей

в турбулентной зоне обычно представляют в полулогариф-
I
Рис. 6-20. Универсальная кривая распределения скорости [Л. 332].
м.ическом масштабе! как показано на рис. 6-20 [Л. 61].

Значение скоростей делится на величину*/т^/р, которая

имеет размерность скорости и называется скоростью

трения (зЬеаг-з^гезз уе1осНу). В результате получается

безразмерная величина и+=и/1/хто/р, которая отклады-
199
1000
--------------- page: 201 -----------
бается на оси йрДинат. Расстояние от стенки трубы преобразуется © критерий Рейнольдса <путем умножения на

скорость трения и деления на коэффициент кинематической вязкости; у+=:у
V
вается на оси абсцисс. Таким образом, кривая распределения скоростей не является в этом случае функцией критерия Рейнольдса Ке<* -и 'называется поэтому универсальной кривой распределения скоростей.

На графике рис. 6-20 представлены результаты опытов

Никурадзе, Рейхардта и др. В левой части графика вместо

линейной зависимости в полулогарифмическом 1масштабе

между скоростью и расстоянием от стенки в области ламинарного подслоя мы имеем другую функциональную

зависимость, которая изображается кривой. Как видно из

прафика, опытные данные укладываются на эту кривую

приблизительно до у+=б. Прямая линия в правой части

описывает скоростное поле в турбулентном ядре потока.

График показывает, что между ламинарным подслоем и

турбулентным ядром существует буферная зона, в которой турбулентность постепенно исчезает по направлению

к стенке. Для описания поля скоростей в буферной зоне

Карман [Л. 62] предложил отрезок прямой, представленный на графике, и установил границы этой зоны: 1 = 5

и у*2=30. 'Формулы всех трех участков кривой распределения скоростей приведены на рис. 6-20.
Эти формулы остаются справедливыми и для труб

с шероховатыми стенками, но в (них необходимо ввести новый параметр, отражающий степень шероховатости

[Л. 63].
При исследовании влияния шероховатости поверхности

возникают некоторые затруднения, вызванные тем, что еще

нет удовлетворительного геометрического описания шероховатой поверхности, ограниченным числом параметров.

Обычно принимается, что наиболее важный параметр —

это отношение средней 'высоты неровностей к диаметру

4 Трубы. В своих многочисленных экспериментах по прению

в трубах с шероховатой поверхностью Никурадзе воспроизвел определенный образец шероховатости путем наклеивания песка достаточно однородного размера к поверхности трубы, чтобы создать как можно более плотное

покрытие. Определенные таким образом величины коэффициентов прения графически изображены на рис. 6-21, где

по оси абсцйос отложено значение Ке<г, а отношение Я/ка
200
--------------- page: 202 -----------
100/
Рис. 6-21* Коэффициенты трения для потока, протекающего по трубе с шероховатым* стенками,

/“формула (6-49); 2—формула (6-55); 3—формула (6-56) [Л. 333].
--------------- page: 203 -----------
является параметром (к8—'средняя высота неровностей;

#-нрадиус трубы). Очевидно, что как в ламинарном потоке, так и .в турбулентном потоке с небольшими числами

Рейнольдса шероховатость -не влияет на трение. В этой

области стенка трубы считается «тидравличеоки гладкой».

Это объясняется тем, что все неровности (полностью находятся в ламинарном подслое. Для достаточно больших чисел Рейнольдса кривые значений коэффициента прения

принимают горизонтальное направление, указывая тем

самым, что 'перепад давления в этом диапазоне возрастает

пропорционально квадрату средней скорости. В этой области локальное дросселирование на элементах шероховатости вносит основной вклад в падение давления. Исследования других форм шероховатостей обнаружили, что форма кривых коэффициентов трейия часто отличается от кривых, которые изображены на рис. 6-21. Измерения проводились на применяемых в (Практике трубах с шероховатой

поверхностью .и были систематизированы Мооди [Л. 64].

Эти измерения показывают, что 'коэффициент трения на

таких поверхностях .постепенно падает до постоянной величины при увеличении критерия Рейнольдса и что очевидный уклон кривых на рис. 6-21 отсутствует. Такая кривая на рис. 6-21 соответствует измерениям Галавикса.

Полуэмпирические вычисления показали хорошее соответствие с измерениями коэффициентов трения и профилей

скоростей в трубах с шероховатой поверхностью. Этот материал хорошо изложен в книге X. Шлихтинга [Л. 65].

Когда толщину пограничного слоя принимают равной

радиусу трубы, то (в качестве .первого приближения можно

использовать данные рис. 6-21, чтобы получить коэффициенты трения для пластин с шероховатыми поверхностями. Трубы, применяемые в технике, часто имеют некруглую

форму поперечного сечения. Коэффициент трения для

установившегося ламинарного потока через трубы с поперечным сечением некруглой формы дается формулами

такого же вида, как и формула (6-49), но в этом случае

значения числовой, постоянной зависят от формы поперечного сечения. В качестве линейного размера, входящего

в критерий Рейнольдса, для труб таких сечений обычно

принимают так называемый «эквивалентный диаметр»,

определенный выражением
--------------- page: 204 -----------
где А обозначает площадь, а С — периметр попёречногб

сечения. Для канала 'между двумя плоскими параллельными пластинами гидравлический диаметр ранен двум расстояниям между^ххешсами. Числовая постоянная в формуле (6-49) имеет для этой площади поперечного сечения

значение 96, когда гидравлический диаметр используется

вместо ё в формулах (6-49) и (6-53).
Опыты на установившемся турбулентном потоке через

некруглые трубы (каналы) показали, что формулы (6-65)

и (6-56) описывают 'коэффициенты трения с достаточной

точностью, когда диаметр, который определяет коэффициент трения в этих формулах и в формуле (6-53), заменяется эквивалентным диаметром. Это положение (справедливо для тех случаев, когда поперечное сечение не

имеет острых углов. Числовые постоянные остаются неизменными.
Интересны результаты наблюдений при переходном

процессе от ламинарного потока >к турбулентному в каналах с многоугольным поперечным сечением. Переход в этом

случае имеет место не при определенной величине критерия Рейнольдса, а в диапазоне чисел Рейнольдса. При

этом с увеличением чисел Рейнольдса вначале поток становится турбулентным в ядре жидкости, в то время как он

остается ламинарным в обла(сти углов. При увеличении

критерия Рейнольдса турбулентность проникает постепенно

в углы.
Такое поведение потока 'более всего ощущается при

небольших углах. Это становится очевидным при наблюдении над потоком и было доказано измерением профиля

скоростей [Л. 66].
На рис. 6-22 изображены такие «профили, измеренные

по высоте треугольного поперечного сечения канала. Поперечным сечением канала был равнобедренный треугольник с отношением вы'соты Ь к основанию, равным 5. При

критерии Рейнольдса Ке<*/1 = 500 поток полностью ламинарный, и кривая распределения скорости имеет пикообразную форму с параболическим увеличением скорости около

малого угла. При Ке^ — ЗООО пик кривой распределения

делается более плоским, но параболическое увеличение

скорости все еще продолжается приблизительно выше половины высоты, указывая на то, что поток в этом диапазоне вблизи малого угла все еще по существу ламинарный.

Только при Кей/1='20 580 турбулентность распространяется

на всю площадь поперечного сечения.
203
--------------- page: 205 -----------
Рис. 6-22. Кривая распределения скорости вдоль

центральной линии канала с треугольным поперечным сечением.
у— расстояние от угла;/ — высота поперечного сечения.

Кривые распределения для Ке > 500 сдвинуты в вертикальном направлении [Л. 334].
в-8. ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА
Пограничный слой играет большую роль при обтекании цилиндрической поверхности. На рис. 6-23 показана

фотография потока, омывающего трубу. Как видно из фотографии, поток обтекает цилиндр с двух .сторон, отрываясь

от его поверхности, и у кормовой половины образуется

зона с завихрениями. Если рассчитать распределение давления по периметру'цилиндра для потока без трения и без

204 .
--------------- page: 206 -----------
отрыва жидкостй от Поверхности, то .получим (пу^ктирйую

линию, ‘показанную на рис. 6-24. Начиная от лобовой образующей (а = 0), давление падает и достигает минимума

при а = 90°. Затем оно снова поднимается и в точке а= 180°

достигает той же величины, что и у лобовой образующей.

При движении жидкости «с трением у поверхности цилиндра

образуется 'пограничный слой. Частицы жидкости за пределами пограничного слоя способны двигаться, преодолевая возрастающее давление за кормовой половиной, благодаря переходу их кинетической энергии в энергию давления. Частицы

жидкости, находящиеся

в пределах пограничного

слоя, не обладают такой

кинетической энергией.
Поэтому они способны

двигаться в облдсти возрастающего давления

лишь на определенное

расстояние, пока не растратят свою кинетическую энергию. После того как их скорость упадет до нуля, частицы начинают двигаться в обратном направлении. Этот процесс и обусловливает отрыв

струй. Благодаря отрыву струй с кормовой стороны цилиндра наблюдается изменение картины распределения

давлений. Величина проникновения частиц в зону возрастающего давления зависит от их кинетической энергии.

Последняя в среднем больше для частиц турбулентного

пограничного слоя (рис. 6-12), чем ламинарного. Отрыв

турбулентного пограничного слоя происходит приблизительно на угловом расстоянии а=110°, а ламинарного пограничного слоя — на расстоянии а = 82°.
Картина соответствующего распределения давлений

дана на рис. 6-24. Давление со стороны кормовой половины меньше, чем с фронтовой. Благодаря этому возникает

сила, действующая в напразлении потока, называемая

сопротивлением формы ([огш гез1з1апсе). К этому

необходимо добавить сопротивление трения, которое возникает благодаря наличию напряжений сдвига, действующих у поверхности цилиндра. Обе эти силы учитываются
205
Рис. 6-23. Поперечное обтекание цилиндра (фотография X. Рубаха из

ММ. РогзсЬипдзагЪ, 185, 1916)
[Л. 335].
--------------- page: 207 -----------
коэффициентом лобового сопротивления /ё, который определяется из формулы
Д = /СМ>4,
где с1 — диаметр;
Ь — длина;
Б — лобовое сопротивление цилиндра;

р — плотность;
и0 — скорость движения частиц до встречи с цилиндром;

Ы — сечение цилиндра, перпендикулярное направлению

потока воздуха.
Рис. 6-24. Кривая распределения давлений по периметру цилиндра

круглого сечения,

локальное давление; р0—давление на большом расстоянии от цилиндра;

р (^/2) — гидродинамическое давление свободного потока; а —угловое расстояние от застойной точки; —
давлений, диаметр цилиндра <2=25,0 с.м\
ского распределения давлений Кепослекрит= 6,7-Ю5;
докритического распределения давлений Кедокрит = 1,86-10® [Л. 336].
На рис. 6-25 дай график значений коэффициента лобового сопротивления для различных значений критерия

Рейнольдса. Значения критерия Рейнольдса вычисляются

по ио и й. При очень малых скоростях отрыва струй не происходит и лобовое сопротивление обусловливается только

напряжениями сдвига. Начиная со значения Ней— за

кормовой частью цилиндра образуется застойная зона.

206
--------------- page: 208 -----------
При дальнейшем возрастании значений критери*№ейнольд-

са застойная зона увеличивается. Начиная с Ке^ЧКХ), то

с правой, то с левой стороны цилиндра отрывают^. отдельные завихрения, 'которые уносятся потоком по нащ>ав-

лению течения (вихревая зона Кармана). Резкое ладенйе

лобового сопротивления при Ке<*«4-105 обусловливается

тем фактом, что пограничный слой перед точкой отрыва

становится турбулентным. При Кей>4-105 вихревая зона

Кармана уже не образуется: лишь в застойной зоне наблюдаются отдельные завихрения. Лобовое сопротивление

цилиндра при малых «скоростях обусловливается главным
юг
ю‘
10й
86

Цилиндр /• оо

Теоретическая кривая
Цилиндр^ 7- 5
-ъ-й - 4,0мм

■—й = 7,0 «
= 13,0 ”
= 42,0 ••

-+~-й =80,0 «

-*-с! =300,0»
(пи ли.
-о-а=0,05мм

#«0,1 »

-&-а=о,з »»
=3,0 «*
миУ/
—— й - 7,9мм

—-а* 42,0»

-*-а=80,0”

~+-й=300Л0*>
*
N
П5.
N

1
Не
1СГ1 & # 6 1дО
10 е
/О*
10ч
т5
т°
Рис. 6-25. Значение коэффициента лобового сопротивления цилиндра круглого сечения при поперечном омывании

жидкостью [Л. 337]
образом сопротивлением прения, а при Ке<*> I ООО — главным образом сопротивлением формы. Каждый из этих режимов потока влияет на теплообмен.
Установление ламинарного пограничного «слоя вдоль

передней части цилиндра можно рассчитать при помощи

метода, представленного в разделе 6-5, когда распределение давления, показанного на рис. 6-24, вводится в уравнение Бернулли, чтобы определить местную скорость потока и8. Такой расчет определяет также параметр формы к.

Было найдено, что этот параметр формы изменяется

от положительных значений около лобовой образующей до нулевого значения, которое получается в том

месте, где градиент давления равен нулю и до отрицательных значений для той части поверхности, вдоль которой давление увеличивается в направлении потока. Точка,

где ламинарный пограничный длрй отрывается от поверх207
--------------- page: 209 -----------
ности, определяется как такое место у цилиндра, где параметр 1(}х)р.мы принимает значение' к = —3. Подобные методы

вычисления мож1но разработать для турбулентных пограничных слоев. Одной из главных задач такого расчета является предсказание точки, в которой поток отрывается от

цилиндра с произвольным -поперечным сечением. Бьпло

найдено, что для таких вычислений форма кривой распределения скорости должна быть точно описана.
В литературе описано большое количество методов,

в которых либо используются некоторые интегральные соотношения, либо пытаются разрешить сами уравнения

пограничного слоя.
6-9. ОБТЕКАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
Осесимметричное круговое обтекание любого погруженного в среду тела дает по существу такую же картину, как

и круговое обтекание цилиндрических .предметов. Например, поток, обтекающий шар, отрывается на баковых сторонах, а на задней стороне дает застойную область, заполненную вихрями. Этот отрыв 'происходит при больших

числах Рейнольдса, тогда как для очень низких значений

критерия Рейноль/д'са (ниже 1) ламинарный поток замыкается вокруг тыловой части шара. Лобовое сопротивление, связанное с этим типом потока, описывается законом

Отокса:
2) = 37ъй\ш0.
Коэффициент лобового сопротивления шара в диапазоне

больших значений критерия Рейнольдса представлен на

рис. 6-26. Этот коэффициент определяется таким же путем,

как и коэффициент лобового сопротивления для цилиндра.

Опять-таки характерное падение наблюдается при числах

Рейнольдса около 3-105. Было найдено, что значение критерия Рейнольдса, при котором происходит падение лобового сопротивления для шаров с гладкой

поверхностью, зависит от турбулентности в. свободном

потоке, потому что степень турбулентности определяет, является ли пограничный слой перед точкой отрыва ламинарным или турбулентным. Эта связь

между степенью турбулентности в свободном потоке и

критическим числом Рейнольдса, при котором происходит

падение лобового сопротивления шара, правильно истолковал Л. Прандтль. Это дает возможность использовать

шар для измерения турбулентности в потоке воздуха, щ*

?оа
--------------- page: 210 -----------
пример в аэродинамической ггрубе. В настоящее время этот

метод почти повсюду вытеснен непосредственным измерением колебаний скорости турбулентного потока (и\ г/, хю')

гири помощи термоанемометра.
Установление 'полра'ничното слоя вокруг пе/редней части

осесимметричного тела можно описать некоторыми модификациями, методами, описанными ранее для двухмерных

пограничных слоев. Очень полезно также преобразование,

предложенное Манглером [Л. 67].
Рис. 6-26. Коэффициент лобового сопротивления шара в потоке [Л. 338].
Преобразование Манглера дает возможность определить поле для упомянутого осесимметричного пограничного

слоя из известного поля скорости в стационарном двухмерном пограничном слое. Координаты х и у осесимметричного пограничного слоя связаны с координатами х и у

для двухмерного потока следующими уравнениями:
йх= ^ йх\ йу = ~ 'йу
или после интегрирования
~х=-^^г2с1х ~у=-^-у,
г — расстояние точки поверхности рассматриваемого осесимметричного тела от оси; С — произвольная постоянная,

имеющая размерность длины. То, что вышеприведенные

соотношения преобразовывают осесимметричный погра-

И—308
--------------- page: 211 -----------
ничный слой в двухмерный, можно проверить, записывая

уравнения для потока с осесимметричным пограничным

слоем и вводя в эти уравнения вышеприведенные преобра-

зования. Уравнение непрерывности (6-20) осесимметричного пограничного слоя удовлетворяется введением функции

тока 4*1(64?/ду = ги/С, дф/дх^—га/С). С этим выражением уравнение количества движения (6-16) принимает

следующий вид:
С дЧ* ГС_ дЧ* \ С дЧ* д / С дЧ*\_

г ду дх ^ г ду ) г дх ду^ г ду )

ду I ду \ г ду)} ? дх '
Введение новых независимых переменных х и у "приводит

к выражению
г* № д (дч?\
С2 ду дх \ ду / С2 дх ду \ду )

С2 ду I ду \ ду )\ С2 р дх
Обе ча(сти уравнения можно разделить на г2/С2 и, таким

образом, уравнение 'становится идентичным с уравнением

(6-43) (с добавочным членом, выражающим давление)

для двухмерного пограничного слоя. Это означает, что

функция тока двухмерного пограничного слоя, выраженная в координатах х и у, является в одно и то же время

решением осесимметричного пограничною слоя в координатах хну, если лраничные условия одинаковы для обоих

случаев. Для твердой поверхности подобие граничных условий на поверхности (и=0) выполняется. Сходство в граничных условиях на внешнем крае пограничного слоя

требует, чтобы градиент давления др/дх для осесимметричного потока был идентичен градиенту давления др/дх для

двухмерного потока. Зная функцию тока, можно легко

найти скорость и.
ЗАДАЧИ
6-1. Требуется рассчитать толщину ламинарного пограничного слоя

и коэффициент трения при обтекании плоской плиты в случае приближения кривой распределения скоростей к прямой линии или к параболе.

Сравните эти результаты с результатами, полученными в разделе 6-4,
210
--------------- page: 212 -----------
6-2. Требуется рассчитать установление пограничного слоя вблизи

лобовой образующей цилиндра с круглой площадью поперечного сечения, предполагая, что скорость потока в данном диапазоне может быть

приближенно дана выражением
с1ив/с1х=4и0х1(1
(ио — скорость свободного потока; й — диаметр).
Толщину пограничного слоя при лг=0 можно определить из условий, что в этом месте 36]с1х=0 (иначе толщина пограничного слоя,

графически изображенная в зависимости от х для положительного и

отрицательного х, имела бы точку7 пересечения при я=0).
6-3. Сравните форму кривых распределения скорости, описанных

уравнением (6-40), с точными решениями для пограничного слоя, представленными на рис. 6-17, путем графического изображения их зависимости от отношения расстояния от стенки к эквивалентной толщине

пограничного слоя, отложенного на оси а-бсцисс (параметры х и р

мбжно сравнить, выражая каждый как функцию количества движения

пограничного слоя).
6-4. Выполните повторное решение уравнения (6-45), приняв в качестве первого приближения скорость и=и8. Сравните результаты

третьего повторения’с решениями, полученными Блазиусом (рис. 6-16).
6-5. Требуется рассчитать кривую распределения скоростей напряжения трения у стенки и коэффициент трения для установившегося

ламинарного потока через канал, образованный двумя параллельными

плоскими пластинами. Введите гидравлический диаметр в выражение

для коэффициента трения [заметим, что постоянная в этом выражении

отличается от постоянной в уравнении (6-49)].
6-6. Требуется рассчитать кривую распределения скоростей в области входа в канал, составленный из двух параллельных стенок.
Принимаем такую же форму кривой распределения, как показано

на рис. 6-18. Используйте уравнение непрерывности и уравнение Бернулли, чтобы вычислить скорости и8 в центральной части и интегрируемое уравнение количества движения для всего профиля скорости.
6-7. Требуется повторить вычисление, указанное в предшествующей

задаче, допуская, однако, что поток турбулентный, начиная от входа

в канал и используя закон седьмой степени для кривой распределения

скорости вблизи стенок. Сравните длину входа для ламинарного и турбулентного потока.
6-8. Объясните, почему коэффициент лобового сопротивления цилиндра конечной длины меньше, чем для бесконечно длинного цилиндра.

Этот факт можно наблюдать .на рис. 6-25. Рассмотрите для этой цели

распределение давления вокруг цилиндра, включая конечные области

для цилиндра конечной длины.
6-9. Вычислите размер, который должен иметь шар, если при его

помощи надо определить степень турбулентности в потоке воздуха при

скоростях 30 и 180 м/сек и нормальных атмосферных условиях.
6-10. Вычислите размер капли, которая может оставаться в воздухе во взвешенном состоянии, не падая на землю, когда в воздухе’

имеется восходящий поток со скоростью 0,3 „ м/сек при нормальных

атмосферных условиях.
14*
211
--------------- page: 213 -----------
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ

ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ
7-1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

ЧЕРЕЗ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ
Если тело, погруженное в поток жидкости .или газа, нагревается или охлаждается, то в окружающей среде возникает температурное поле. Если не учитывать очень небольшие скорости и кильватерную струю, с которой тепло уносится от тела, то температурное ноле образуется лишь

в небольшой области, прилегающей к телу. Эта область

называется тепловым пограничным слоем.

В пределах этого слоя температура изменяется от 1^—

температуры на поверхности тела до 18 — температуры сре-
Рис. 7-Г. Кривые распределения Рис. 7-2. К выводу уравнений

температур и скоростей на по- теплового потока для погранич-
ды за пределами слоя. Кривая распределения температур

близ поверхности тела показана на рис. 7-1. На расстоянии б/ от поверхности тела температура потока бывает

такой, как в случае, если бы тело не нагревалось и не

охлаждалось. Величина 6* и принимается за толщину теплового пограничного слоя. На рис. 7-1 показаны также

кривая распределения скоростей и толщина б гидродинамического пограничного слоя. Вообще говоря, эти пограничные слои имеют различную толщину.
Перенос энергии в тепловом пограничном слое можно

описать уравнением пограничного слоя, которое выводится из уравнения энергии таким же образом, как и уравнения пограничного слоя потока из уравнений Навье—Сток-

212
верхности стенки.
ного слоя.
--------------- page: 214 -----------
еа. Приближенное, но более быстрое и простое определение теплового пограничного слоя и теплообмена можно

сделать при помощи уравнения теплового потока через тепловой пограничный слой. Оно выводится из теплового баланса элемента объема, образованного на поверхности тела при помощи плоскостей 1—2 и 3—4 (рис. 7-2), находящихся на расстоянии йх друг от друга, плоскостью 2—4,

параллельной поверхности тела и находящейся на расстоянии I от нее, и поверхностью стенки 1—5, причем I предполагается большей, чем обе толщины пограничного слоя

б и 6*. При расчете опять можно ограничиться двухмерной

задачей, приняв свойства жидкости постоянными, а скорости настолько малыми, что увеличением температуры,

обусловленной внутренним трением в пограничном слое,

можно пренебречь.
Элемент объема, показанный на рис. 7-'2, ограничивается плоскостями, параллельными плоскости чертежа и находящимися на расстоянии единицы друг от друга. За единицу времени через плоскость 1—2 поступает количество тепла, определяемое следующим интегралом:
г
?бр ^ Шу,
о
где с —удельная теплоемкость при постоянном давлении на

единицу массы1. На расстоянии йх это количество тепла

изменяется на величину
о
Таким образом, количество тепла, уходящего из элемента

объема через плоскость 3 — 4, больше количества тепла,

поступающего через плоскость 1 — 2, именно на эту величину. Как было показано в предыдущей главе, через плоскость 2 — 4 в рассматриваемый элемент поступает масса
й С
жидкости, измеряемая величиной
о
массой в выделенный элемент поступает тепло, количество
1
плоемкость при постоянном давлении.
213
--------------- page: 215 -----------
I
которого определяется выражением р^ | ийу. Опреде-
о
ленное количество тепла поступает из параллелепипеда к поверхности тела или в обратном направлении через плоскость 1 — 5. Так как частицы жидкости, находящиеся у самой поверхности тела, обладают нулевой скоростью, то это

количество тепла должно передаваться к поверхности через

этот слой жидкости путем теплопроводности. Поэтому справедливо уравнение (2-2). С принятыми здесь обозначениями

поток тепла в единицу времени
где Я — коэффициент теплопроводности жидкости или газа.

Для стационарного режима алгебраическая сумма количества

тепла, поступающего в параллелепипед вследствие движения

частиц, и количества тепла, отводимого из параллелепипеда

к поверхности тела его теплопроводностью, должна быть

равна нулю:
(7’1)
о
Внося в это выражение коэффициент температуропроводности

а = Л/рср, получаем
<7-2>
0
Это и есть уравнение теплового потока через пограничный

слой, при помощи которого можно рассчитывать теплообмен [Л. 68] *. Физические параметры, входящие в уравнение (7-2), даны в таблицах (см. приложение). Значения

удельной теплоемкости ср, коэффициента теплопроводности Я и-вязкосги \1 зависят от давления только вблизи критической точки. Для водяного пара эта зависимость показана на рис. П-3 и П-7. Теоретически удельная теплоемкость ср вблизи критической точки приближается к бесконечности. Это видно по очень крутому подъему кривой зна-
*
тов теплообмена.
214
--------------- page: 216 -----------
чений ср близ критической точки (рис. П-3). Плотность

потока р весьма -мало зависит от давления. Для газов ее

можно вычислить ,из уравнения состояния. Близ критической точки зависимость от давления усложняется. В качестве примера на рис. П-1 эта зависимость показана для

воды и пара. Значения коэффициентов температуропроводности а и кинематической (вязкости V жидкостей зависят

Л'ишь в крайне малой степени от давления, если не считать

значений вблизи точки критического давления. Для газов

обе эти величины обратно пропорциональны давлению.
Зависимость плотности удельной теплоемкости и теплопроводности от температуры можно также наблюдать на

рисунках П-1, П-3, П-6 и 1П-7. Это осо'бенно ощутимо около

критического состояния. Уравнение (7-2) выведено «а основании допущения, что свойства потока постоянны. Оно

поэтому может быть использовано для процессов теплообмена, в которых перепады температур таковы, что действительное изменение свойств невелико. Путем введения

соответственно подобранных средних значений этот диапазон применимости уравнения (7-2) можно расширить.
7-2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ
Уравнение теплового потока, выведенное в предыдущем

параграфе, дает возможность рассчитать теплообмен при

вынужденной конвекции для различных случаев, если сделать соответствующие допущения относительно формы кривой распределения температуры. Прежде чем заняться

таким расчетом, необходимо вывести дифференциальное

уравнение, описывающее энергетические зависимости в движущейся среде. Это уравнение выводится из баланса энергии в стационарном элементе об!ъема, расположенном

в поле потока. Тепло в элемент объема может быть передано теплопроводностью или перенесено движущейся

жидкостью через границы элемента. Кроме того, тепло может быть выделено внутренними 'источниками. Такие источники тепла всегда присутствуют в движущемся потоке

вязкой жидкости, поскольку напряжения сдвига вызывают

внутреннее трение и превращают кинетическую энергию

в тепло. При небольших скоростях изменения температуры, вызванные внутренним трением, малы и ими обычно

можно пренебречь. /При больших скоростях потока вопросы влияния трения важны. В деле развития высокоскоростной ариации ори привлекает $ себе большое внимание
215
--------------- page: 217 -----------
(аэродинамический нагрев). В .предыдущем разделе выделение тепла внутренними источниками не учитывалось.

Здесь, однако, его мы учитывать будем. Кроме того, позднее отдельный «параграф будет посвящен процессу теплообмена при высоких скоростях.
Уравнение энергии для вязкой жидкости с постоянными

свойствами можно легко получить, применяя уравнение

(2-13). Это уравнение дает баланс количества тепла, аккумулированного внутри элементом объема со сторонами йх,

йу, йх, тепла, переданного теплопроводностью в элемент

объема через его поверхности, и тепла, которое выделено

внутри элемента. Если рассматривается стационарный элемент объема, через который протекает поток с составляющими скорости и, V, хю, добавочное тепло будет передано

в элемент объема конвекцией.
Этот конвективный перенос тепла можно рассчитать таким же путем, как и в предыдущем параграфе1. Его включение в баланс энергии приводит к уравнению
8‘ 1 -1 °
Тепло, выделенное за единицу времени в единице объема

внутренним трением, в вышеприведенном уравнении обозначается буквой Ф. Оно называется теплом раос е и в а-

н и я. Вывод этого члена из поля скорости очень длинная

процедура, и поэтому здесь не приводится. Этот вывод приведен, например, в книге Шлихтинга «Теория пограничного

слоя».
1
костью при постоянном объеме и удельной теплоемкостью при постоянном давлении для потока с постоянными свойствами (включая плотность). Величина ср используется здесь и в .последующих уравнениях

потому, что многие из ни.х применяются также и к сжимаемой жидкодгц.
216
--------------- page: 218 -----------
Для потока с постоянными свойствами рассеяние тёпла

описывается следующим уравнением:
[(ё-)2+(&/+(^/]+^ [(&)+&)]'+
й2 1
(7-4)
й2 0 0 0 0
Уравнение (7-3) вместе с уравнениями Навье—Стокса

описывает температурное поле вязкого потока. Для обычных потоков числовые значения теплопроводности так малы, что кондуктивный перенос тепла становится заметным

только в той области, где конвективный теплообмен мал

из-за малых скоростей. Мы з,наем< что такая область всегда

существует около поверхности твердых тел, пото:му что там

скорость, потока уменьшается до нуля. Как следствие этого

можно ожидать, что теплопроводность таких потоков следует рассматривать только вблизи твердых поверхностей.

Другими словами, ожидается, что будет существовать тонкий слой, вдоль твердой поверхности, в котором теплопроводность равна по значению конвекции тепла, тогда как вне

этого слоя перенос тепла теплопроводностью относительно

так мал, что им можно пренебречь. Этот слой будет называться тепловым пограничным слоем. Теперь

упростим дифференциальное* уравнение, описывающее поток тепла в этом тепловом пограничном слое, путем учета

порядка малости его членов. Рассуждения будут такими

же, как и для гидродинамического пограничного слоя двухмерного потока. Соответственно этому членами .в уравнениях (7-3) и (7-4), под которыми стоит нуль, пренебрегают.
Поскольку мы рассматриваем влияние небольших значений толщины пограничного слоя и небольшого значения

теплопроводности на уравнение энергии, все другие величины в уравнении (7-3) будут измеряться в таких единицах, что они имеют порядок 1. Толщина теплового пограничного слоя предполагается порядка б. (Вопрос о порядке

величины теплопроводности остается открытым. Составляющая скорости V будет порядка б. Порядок величины

членов левой части уравнения (7-3) можно теперь легко

установить. Порядки величин опять указываются под уравнением. Первый член в скобках в прцвой части уравнения

можно не учитывать по сравнению со вторым членом. Здесь
217
--------------- page: 219 -----------
член в скобках имеет тот же порядок, как и члены в левой части уравнения, когда К имеет порядок б2. Единственный член, остающийся в функции рассеяния Ф, — это величина \х(с1и1с1у)2, которая имеет порядок 1. Уравнение

энергии пограничного слоя для несжимаемого потока с постоянными свойствами будет иметь вид:
К этому дифференциальному уравнению относятся следующие граничные условия. Температура потока задается снаружи пограничного слоя (^=4). При постоянных

свойствах эта температура постоянна. У стенки большее

разнообразие граничных условий имеет .место для температурного пограничного слоя, чем для гидродинамического

пограничного слоя.
Наиболее часто встречающимся условием является

либо задание температуры поверхности = о~^(х)>

либо значения теплового потока через поверхность твердого тела:
Уравнение энергии пограничного, слоя внешне выглядит

совершенно так же, как и уравнение количества движения

пограничного слоя. Однако имеется два существенных

отличия. В уравнении энергии (7-5) величины и и V должны рассматриваться как известные параметры, определяемые из решений уравнений движения. Соответственно

уравнение энергии пограничного слоя есть линейное уравнение относительно температуры, что с математической

точки зрения значительно упрощает задачу получения решений этого уравнения, поскольку здесь применим принцип суперпозиции. Это означает, что как только некоторое

число решений этого уравнения становится известно, новые решения легко получить добавлением или вычитанием

любого из известных решений. Другое отличие между двумя уравнениями связано с тем фактом, что член, соответствующий градиенту давления, не содержится б уравнении

энергии. Исходя из этого, можно предположить и это будет подтверждено позже, что влияние на теплообмен изменений давления вдоль поверхности меньше, чем на такие

параметры потока, как лобовое сопротивление.
218
--------------- page: 220 -----------
Для потока с малой скоростью вдоль плоской 'пластины

уравнение количества движения (без члена, содержащего

др/дх) уравнение энергии (без члена, выражающего тепло трения) очень похожи друг :на друга. Кроме того, когда

числовое значение температуропроводности равно величине кинематической вязкости, тогда уравнения 'идентичны и

могут быть с легкостью преобразованы одно в другое.

Как следствие этого, если граничные условия в этих случаях также одинаковы, то решение уравнения количества

движения (кривая распределения скорости внутри пограничного слоя) и решение уравнения энергии (кривая распределения температуры внутри пограничного -слоя) совершенно одинаковы по виду, а толщина пограничного слоя

потока равна толщине теплового пограничного, слоя. Более

детально об этом будет идти речь позднее, когда будут

представлены действительные решения уравнения энергии

пограничного слоя.
Вышеизложенное позволяет допустить, что обе толщины пограничного слоя равного порядка. Это означает, что

сочетание свойств, определяемых выражением
называемым числом Прандтля, имеет порядок 1. Это справедливо для большинства жидкостей.
Чтобы выяснить условия, когда членом, выражающим

рассеяние, в уравнении (7-3) можн'о пренебречь,- будем

считать, что мы измеряем температуру единицей, имеющей

порядок разности температур, заданной в задаче (напри-

.мер, разности между температурой стенки и температурой

потока), тогда как величина, которой измеряются скорости, будет иметь порядок скорости потока и8„ Тогда второй

член в правой части уравнения (7-3) будет порядка'

б2 (А^о/б2), член, выражающий рассеяние, — порядка

52 (й^/б2) и оба они будут одного и того же порядка, когда и IА/о будет порядка 1. Это отношение может быть

разделено на ср (порядка 1), ч^^ы,сделать его безразмерным. Член, выражающий рассто&щ*е, следовательно, тако-

го же порядка, как и другие члены, когда и /срА^о порядка 1. Когда выражение и*/срА^ имеет порядок, котО'рый

мал .по сравнению с 1, тогда рассеянием можно пренебречь.
219
--------------- page: 221 -----------
Вводя числовые значения, находим, что в воздухе при

разнице температур в 12° С -скорость должна быть порядка 150 м/сек, чтобы выражение и2/сримело порядок 1.
В технике обычно применяются значительно меньшие

скорости или большие разности температур. Поэтому в последующих расчетах, членом, выражающим рассеяние,

можно вообще пренебречь.
7-3. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ВДОЛЬ ПЛИТЫ
Рис. 7-3. Гидродинамический

пограничный слой и термический

Пограничный слой на плоской

плите.
Пусть необходимо рассчитать теплоотдачу от плоской

плиты, имеющей постоянную температуру 1^, потоку

жидкости, обладающему постоянной скоростью. ' Первая

часть плиты длиной Хо не нагревается «и не имеет температуру, равную температуре омывающей среды (рис. 7-3).

Гидродинамический пограничный слой начинается у передку него края плиты, а тепловой

слой — у границы нагреваемой

части плиты.
• Толщина обоих пограничных слоев б и 8{ возрастает

в направлении движения потока.
Вычисление толщины теплового пограничного слоя 6*

и с ее помощью вычисление

теплообмена можно провести,

применяя уравнение (7-2). Для этой цели нужно сделать

отправное допущение относительно формул кривой распределения температуры в пограничном слое.
Результаты исследования будут тем лучше, чем ближе’

совпадет принятый профиль с действительным. С этой

целью используем выражение с некоторыми произвольными функцимия, которые определяются таким образом, чтобы* принятый профиль удовлетворял условиям, которые

справедливы для реального профиля.
При у —0 1 = 1т.
При у =% 1 = г^ "-=0.
Уравнение (7-5), записанное для стационарного потока

С малыми скоростями, для у = п имеет вид;
--------------- page: 222 -----------
В соответствии с этими четырьмя условиями. нужно использовать полином с четырьмя функциями:
Если, кроме того, вводится разность температур 0 = /— 1т

и если функции определяются из вышеупомянутых условий,

тогда кривая распределения температур выражается уравнением
Предположим, что тепловой пограничный слой меньше гидродинамического. Тогда второй интеграл должен иметь верхний

предел г/ = 8р так как при
выражение обращается в нуль. Если, положим, что С = 8^/8,

то по вычислении интеграла получим:
то второй член в правой части равенства будет весьма мал

по сравнению с первым и им можно пренебречь. Из рис. 7-3

видно, что отношение С является функцией от х.
Если значение последнего интеграла подставить в уравне*

ние (7-2), получим:
I
{ — *) ийу = ^ (в3— 6) иЛу
О
О
о
Так как мы положили, что
ВДН
221
/
--------------- page: 223 -----------
Подстановка значения ЬйЬ/йх из уравнения (6-27) и значения 8а

из уравнения (6-28) дает:
Отношение у/а является безразмерной величиной которая

часто встречается при расчетах теплообмена и как указывалось выше, называется критерием Прандтля и обозначается

символом Рг.
Значение критерия Прандтля определяется физическими

параметрами, а поэтому я сам критерий является параметрам. Его преимущество заключается в безразмерное™.

В таблицах приложения даны значения критерия Лрандт-

ля для жидкостей и газов. Значения критерия Прандтля

для жидкостей и газов зависят от температуры. Заметная

зависимость от давления наблюдается лишь вблизи критической точки. Изменение значения критерия Рг от температуры для газов незначительно. Введение числа Рг в вышеприведенное уравнение дает:
Частный интеграл есть у == 13/(14 Рг). Общее решение однородного уравнения можно найти, используя выражение у = хп,

причем п становится раЕным */4. Поэтому полное решение

вышеупомянутого уравнения будет иметь вид:
Из граничных условий для х — х0, С = 0 или г/==0 следует:
(7-6)
П . 4
ц "Г 3 л ах ~ 14 Рг
или с подстановкой 13 = у
, 4 йу 13
3
(7-7)
222
--------------- page: 224 -----------
Если плита нагревается йо всей длине (д; = 0), то
мгуг- ■
Вязкие масла имеют критерий -Правдтля Рг=1000 или

больше. Для этих жидкостей толщина теплового пограничного слоя составляет только одну десятую толщины гидродинамического пограничного слоя. Газы имеют критерий

Прандтля меньше 1. Для этого случая % больше* 1, и поэтому допущение, сделанное в приведенных выше расчетах, здесь несправедливо. Но поскольку наименьшим значением для газов является Рг = 0,6, то 1,16 и погрешность, обусловленная упомянутым допущением, очень

мала. Единственными веществами, которые характеризуются очень небольшой величиной критерия ‘Прандтля, являются жидкие или расплавленные металлы. Для них результаты, полученные при по'мощи формулы (7-8), негодны.
- Тепловой поток от плиты на единицу площади определяется уравнением
С другой стороны, тепловой поток можно также определить

и при помощи коэффициента теплообмена а:
Я = = — «V
Приравнивая правые части этих уравнений-, получаем:
X (ЛЬ \ 3 X 3 I.
•=Т;Ы.=Т\=Т8- , <7'9>
Следовательно, коэффициент теплообмена обратно пропорционален толщине теплового пограничного слоя. Подставив

значение С в формулу (6-28), получим:
а = 0,332* ■ , ^Рг У—,

V1 — (х0/д:)3/4 ' ^
(7-10)
а для плиты, нагреваемой по всей длине,
а = 0,332Я]^Рг
Как видно*из графика рис. 7-4, величина коэффициента теплообмена бесконечно велика у начальной точки участка нагрева
223
--------------- page: 225 -----------
Й уМёнЫпаеТся по Мере возрастания х. Уравнение (7-10)

выгодно записать в безразмерной форме:
Х=0-332^/?ТТ=Ь^'
В правой части снова появляется критерий Рейнольдса, вычисленный по скорости основного ядра потока и расстоянию х. Безразмерный комплекс в левой части называется
Рис. 7-4. Локальный коэффициент теплообмена как функция расстояния от переднего

края плоской плиты.
Рис. 7-5. К определению критерия Нуссельта при помощи

условий толщины пограничного

слоя,
критерием или модулем Нуссельта и обозначается символом N11. Если критерий Нуссельта вычисляется по длине х,
то он записывается в виде N11^.
\т алЛ
N11 =х.
Применяя это обозначение, приведенное

можно записать:
1
выше
N11,= 0,332 у^Рг/Ке,
(7-12)
уравнение
(7-13)
V1 — (дг„/х)3/4
а для плиты, нагреваемой по всей длине,
N11,= 0,332 УРг /^7.
Критерий Нуссельта можно выразить также в форме отношения двух линейных величин. В § 1-3 было введено понятие

условной толщины пограничного слоя (рис. 1-3), которая

измеряется длиной подкасательной и кривой распределения

температур в пределах пограничного слоя у поверхности

плиты. На рис. 7-5 это показано более подробно. Для тем-
224
--------------- page: 226 -----------
ПбраТурной кривой, имеющей форму кубической параболь!,

справедливо соотношение Ь(=2/3^(. Из § 1-3 известно, что

коэффициент теплообмена
X
поэтому критерий Нуссельта
равняется отношению длины х к условной толщине теплового

пограничного слоя 8^ . Так как толщина пограничного слоя

всегда мала по сравнению с длиной х, то значение критерия

Нуссельта бывает большим. Толщина теплового пограничного

слоя уменьшается с возрастанием значений критериев Рейнольдса и Прандтля, поэтому обе эти величины увеличивают

значение критерия Нуссельта.
При расчетах промышленных теплообменников важно знать

не локальное, а среднее значение коэффициента теплообмена.

Для плиты, нагреваемой по всей длине, среднее значение

коэффициента теплообмена
•=-т1“г*=Т-|#-Т2»^ = 2ГГ=2*- (7-15)
О
где постоянная С включает в себя .все величины, *не зависящие от х. Из соотношения (7-15) следует*, что среднее

значение коэффициента теплообмена равно удвоенному

значению локального коэффициента теплообмена на конце

плиты. Теплоотдача от плиты, нагреваемой по в«5ей длине,

была рассчитана также путем точного решения дифференциальных уравнений пограничного слоя. Эти расчеты дают

выражение (7-14) с численным коэффициентом 0,332.
Такое близкое совпадение результатов с нашими приближенными решениями, разумеется, случайное. Если физические параметры в уравнении завис^ от температуры,

тогда их значение необходимо брать при средней, температуре. Из расчетов при решении уравнений ламинарного

пограничного слоя для жидкости с переменными характеристиками можно показать, что формула (7-14), дает правильное решение для воздуха, когда физические параме-
15—308
V
--------------- page: 227 -----------
тры берутся при определяющей температуре, которая находится из соотношения
= 0,50 (*ш —*в) [Л.69].
(7-16)
Эта определяющая температура может быть применена'

к другим газам. Для жидкостей наши знания определяющей температуры менее определенны. Опыты подтвердили

годность уравнения (7-14) для газов.
Уравнения (7-13) — (7-15) получены, исходя из допущения, что отношение % толщины теплового пограничного

слоя к толщине гидродинамического пограничного слоя

меньше 1. Было найдено, что это справедливо дл,я потоков

с числом Прандтля больше 1. Распространение предпринятого в этом разделе расчета на отношение ^ большее 1 совершенно допустимо. Но необходимо проводить интегрирование для двух интервалов, поскольку скорость и дается

уравнением (6-26) для 0<*/<6 и и — и}8 для >6<у<6*. Следующее уравнение справедливо для пластины, нагретой до

постоянной температуры на всей длине,
Это соотношение применяется для расчета теплообмена

в жидких металлах с числами Рейнольдса между 0,005 и

0,05. В этом диапазоне знаменатель мало зависит от Рг,

так что критерий Нуссельта по существу зависит от произведения Ке Рг, которое представляет собой критерий

Пекле. Точное решение уравнений ламинарного пограничного слоя приводит к соотношению, которое имеет на месте знаменателя в приведенном выше уравнении слабую

функцию Рг, которая изменяется .на±,5%| около величины

1,98 для данного выше диапазона чисел Прандтля [Л.. 70].

Далее будет показано, что данное выше уравнение хорошо

согласуется с этим результатом.
Пример. Вычислите коэффициент теплообмена для плиты в потоке

воздуха на расстоянии 100 мм от переднего края плиты. Плита нагревается по всей длине, скорость воздуха и3 = 10 м/сек, температура воздуха ^ = 52° С, температура поверхности плиты ^=124° С.
Коэффициент кинематической вязкости воздуха при 100° С и нормальном давлении равен 2,36* 10~б м2/сек (см. приложение). Отсюда критерий Рейнольдса 1^ = 46600. Из приложения находим критерий

Прандтля Рг = 0,695. Критерий Нуссельта определяем из уравнения (7-14);
= 0,332*]?г0,695-]/46 600 = 63,3. Из уравнения (7-12) находим ло-
226
У Ке Рг
1,55 УРг+3,09К0,372—0,15Рг '
--------------- page: 228 -----------
кальный коэффициент теплообмена на расстоянии 100 мм от переднего

края плиты: а = (Х/х) 63,3. Коэффициент теплопроводности для воздуха
0,0276
при 100° С Х = 0,0276 ккал/м-ч-град. Отсюда а=="о“}—*63,3 =
= 17,5 ккал/м^-ч-град.
Среднее1 значение коэффициента теплообмена на расстоянии 100 мм

равно 33 ккал1м2-Ч'град. Количество тепла, отводимого от плиты шириной в 0,31 ж и длиной 100 мм, равно:
<2 =7Ьх — д = 33.0,31 • 0,1 (124—52) = 73,5 ккал/ч.
7-4. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИНА

С ПРОИЗВОЛЬНО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ТЕМПЕРАТУРОЙ

ПОВЕРХНОСТИ
/В предыдущем разделе был исследован случай, в котором плита, омываемая стационарным потоком, имела

температуру до х=х0 и температуру 4, при х>х0. Температура стенки поэтому изменяется вдоль плиты ступенчато.
В технике представляют интерес другие виды изменения температуры стенки. Для некоторых из них. Д. Чепман

и М. В. РубезиН проинтегрировали дифференциальное уравнение .пограничного слоя [Л. 71].
(В таких случаях можно также применить для вычисления метод, о котором шла речь в предыдущем параграфе.

Изменение температуры поверхности вдоль оси х имеет

двоякое влияние на температуру пограничного слоя. Оно

влияет на форму кривой распределения температуры и на

толщину"пограничного слдя. Первое влияние становится

заметным, когда уравнение (7-5) без члена, оценивающего

рассеяние, дифференцируется относительно у и затем записывается для у = 0. В результате такрго вычисления

•имеем:
/ОТ \ _ /ди_\ <К,
\ду*)у=о \д# )у=о дх '
Это уравнение выражает зависимость между третьей производной кривой распределения температуры и температурным градиентом стенки. Его можно попользовать вновь,

чтобы определись постоянную в принятом уравнении, при

помощи которого аппроксимируется кривая распределения

температуры. Кроме того, разность температур 0 является теперь функцией х и должна оставаться в самом дифференциальном операторе ЩАх в уравнении на стр. 221.
Другой метод расчета основывается на том, что урав-*

нение энергии (7-5) является линейным дифференциаль-;

15*
--------------- page: 229 -----------
•ным уравнением и дает решение для температурного поля

при произвольном изменении температуры стенки, которое

можно представить как большое число ступенчатых изменений.
Этот метод, на который обычно ссылаются как на теорему Дюамеля (1833), часто применяется при анализу

электрических цепей. К решению настоящей задачи этот

метод впервые применил М. В. Рубезин в выдвинутых им

положениях в 1945 г. Эти положения вполне оправдали

себя, поскольку они очень удобны и имеют то преимущество, что могут быть использованы не только для плоской

пластины с постоянной скоростью и3, но также и для тел

различной формы, а также :и для ламинарного и турбулентного режима потока.
Уравнение (7-5) является линейным дифференциальным уравнением, описывающим температурное поле I внутри пограничного слоя. Допустим, что мы имеем ряд частных решений 1г этого уравнения для определенных граничных условий. Тогда легко можно видеть путем подстановки в уравнение (7-5), что выражение
п
1
' также является его решением. Постоянные С. можно использовать, чтобы согласовать это новое решение с требуемыми

пограничными условиями. Поток тепла на поверхности будет:
Теперь предположим, что каждое частное решение соответст*

вует условию, при котором температура стенки равна температуре потока до определенного, места, а затем внезапно

изменяется до температуры 1т1. Для каждого частного решения коэффициент теплообмена можно определить из уравнения
где выражает скачок в температуре стенки или, другими словами, разность между температурным потоком и тем-

228
--------------- page: 230 -----------
пературой стенки для частного случая. Для данного температурного поля I можно написать
I
Прямое, но несколько громоздкое вычисление показывает, что

в этом случае все постоянные С. имеют величину, равную 1.
Теперь воспользуемся вышеупомянутым методом, чтобы

вычислить теплообмен к пластине с произвольно изменяющейся температурой стенки. Когда температура изменяется
ступенчато на величины Д/ю1, Д^2,
Д^3... соответственно в точках ?4> 62,
тепла от стенки на длине х есть в соответствии с последним

уравнением
(7-17)
В этом уравнении а выражает коэффициент, теплообмена,

который описывает тепловой поток на длине х, когда имеется только одна ступень в температуре стенки в точке 1г. Этот коэффициент теплообмена для условий ламинарного потока приводится формулой (7-13), когда Хо заменяется ;на 5г- 'На рис. 7-6

принято, что пластина имеет

ненагретую переднюю часть

до х = 1\. -В противном случае

нужно прибавить дополнительную температурную ступень
'$8
где 4—температура жидкости

вне пограничного слоя. Непрерывно изменяющуюся температуру .стенки можно представить как последовательность бесконечно малых температурных скачков сИю, имеющих место на бесконечно близко расположенных интервалах Исходя из этого величину потока тепла на длине х при температуре стенки, которая изменяется, кдк указано на рис, 7-7, можно получить,
229
Рис. 7-6. Ступенчатое изменение

температуры стенки,
--------------- page: 231 -----------
заменяя ряд в вышеприведенном уравнении интегралом.

Это приведет к следующему соотношению:
Я =[а(х, %)й1т (I).
О
Чтобы выразить этот интеграл через независимую переменную преобразуем предыдущее выражение:
X
?==|а(.*, 6)(7-18)
о
Если конечные скачки температуры стенки имеют место

одновременно с непрерывным изменением, как показано на

рис. 7-8, тогда следует использовать следующее уравнение:
* = !■<*• 6)Л+ ][]«(*,
о
Следует помнить, что конечная разность температур

между температурой стенки и температурой потока у переднего края пластины (для л:=0) должен также рассматриваться как конечная ступень А1Ю и должна включаться
Рис. 7-7. Непрерывное измене- Рис. 7-8. Ступенчатое и непрерыв-

ние температуры стенки.
членом ряда уравнения (7-17) или (7-19). Сложением и

интегрированием вышеупомянутых уравнений тепловой

поток вдоль плоской пластины может быть вычислен для

любого заданного закона изменения, температуры стенки.

В некоторых технических приложениях чаще задается

230 .
--------------- page: 232 -----------
тепловой поток на поверхности пластины, *чем температур

ра стенки. Трибус и Клейн рассмотрели эту задачу, улучшив и обобщив этот метод [Л. 72]. Его можно применить

для турбулентного потока в пограничном слое, когда вместо а(х, |) вводятся коэффициенты турбулентного теплообмена для пластины со ступенчатым изменением температуры стенки.
При технических расчетах вычисление интеграла в уравнении (7-18) или (7-19) несколько утомительно. По этой
Рис. 7-9. Приближенное выражение непрерывно*меняю-

щейся температуры стенки при помощи прямолинейных

сегментов.
причине был разработан приближенный метод расчета

[Л. 73]. Задается закон изменения температуры вдоль

поверхности пластины длиной Ь в направлении потока. Задача состоит в том, чтобы найти местный тепловой поток

<7(я) от поверхности >в поток жидкости с температурой

в произвольном ме^те х и полный тепловой поток <2(л:)

от поверхности длиной х в направлении потока на единицу ширины. Длина Ь разделяется на произвольное число

равных частей длиной А/,. Рис. 7-9 представляет график

местной разности температуры
ратур Д*0, А*ь А^2 имеет -место в точках 0, 1,2. Следующее

далее уравнение дает местный или полный поток тепла
231
--------------- page: 233 -----------
ДЛя лакикаркбго иЛи турбулентного режима потока, причем соответствующие физические константы взяты

из табл. 7-1:
Ч(х) или ^р-=<х0(х)^(1)-\-а(Мп—М0)-{-Ь^гХ
X 1(2я — 1)Мп— М0 — 2(Мг -(- ^2+ + • • • + Д*„_1)]|э
(7-20)
а0(л:)—локальный или усредненный коэффициент теплообмена для пластины с постоянной температурой стенки

[уравнения (7-10), (7-15), (8-18), (8н18)]. Уравнение (7-20)

определяет тепловой поток для любой точки х на поверхности, которая совпадает с одним из местоположений

(1,2, 3,....).
п — число местоположений, совпадающих с точкой х.
Таблица 7-1
Локальный поток

тепла
Полный поток тепла
а
ь
а
ь
Ламинарный
Турбулентный
0,995
0,991
0,446
0,117
0,969
0,982
—0,432
—0,478
Уравнение (7-20) вводится путем замены действительной разности между температурой стенки и температурой

потока ломаной линией, изображенной на рис. 7-9. Интеграл уравнения (7-18) решен для случая линейного изменения температуры стенки, причем результат аппроксимирован уравнением второго порядка. Основываясь на этих

данных, можно найти величину теплового потока, соответствующего ломаной линии.
Для турбулентного (потока при интегрировании уравнения (7-18) было использовано уравнение, представленное

на стр. 273,' которое описывает критерий Нуссельта для

ступенчатого изменения температуры.
Было найдено, что ло сравнению с точными решениями

уравнение (7-20) дает ошибку только на несколько процентов.
Уравнение яс{х)—щ(х)\Ып описывает локальный поток тепла в точке п, когда разность температур над поверх-

232
--------------- page: 234 -----------
ностью постоянна и равна А(п. Поскольку, постоянная а

в уравнении (7-20) почти равна 1, разность между локальг

ным потоком тепла с/(х) и зависит от величины

постоянной Ъ. Из таблицы 7-1 видно, что разность между

9 и <7с намного больше для ламинарного потока, чем для

турбулентного. Другими словами, температурная предыстория потока выше по течению от рассматриваемой области

в гораздо большей степени сказывается в ламинарном потоке, чем в турбулентном. Это положение справедливо

также для потоков, проходящих через трубы и каналы.

Для турбулентного потока необходимо учитывать предысторию только тогда, когда температура выше по течению

от точки п очень быстро меняется.
7-5. ПОПЕРЕЧНОЕ ОМЫВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ
В § 6-8 упоминалось, что на лобовой стороне тела, находящегося в потоке жидкости или газа, образуется пограничный слой. У лобовой образующей поток в этом пограничном слое всегда имеет ламинарный характер. Если

тело нагревать, то образуется также и тепловой пограничный слой. В непосредственной близости от лобовой образующей скорость вне пограничного слоя всегда возрастает

пропорционально расстоянию от лобовой образующей, измеряемому по периметру. Эта зависимость выражается

соотношением и8 = $& Теплообмен в этой области для цилиндрических тел при -направлении потока, перпендикулярном к их оси, был рассчитан Сквайром |[Л. 74] путем точного

решения дифференциальных уравнений для «случая постоянной температуры тела на всей его поверхности. Эти расчеты привели’ к следующей формуле, для коэффициента

теплообмена
Отсюда следует, что значение коэффициента теплообмена

в окрестности лобовой образующей не является функцией

расстояния от этой "образующей. В табл. 7-2 даются значения безразмерной величины В для некоторых значений критерия Прандтля. Формулу (7^21) можно записать в безразмерной форме:
(7-21)
233
--------------- page: 235 -----------
причем в правой части равенства снова появляется критерии

Рейнольдса.
Таблица 7-2
Постоянная В для расчета коэффициента теплообмена

в окрестности лобовой образующей по формуле (7-21) [Л. 339]
Рг
В
0,7
0,496
0,8
0,523
1,0
0,570
1,043
10
1,344
Скорость из' за пределами пограничного слоя вокруг поверхности кругового цилиндра определяется из формулы
(2х \
1
с цилиндром; х — расстояние, измеряемое по периметру от
лобовой образующей, и й — диаметр цилиндра. Синус угла

для точки <в окрестности лобовой образующей можно заменить углом,т. е. и8=4ио(х/с1),

отсюда
или в безразмерной форме
= 2 ВУЩ (7-22)
В критерии Шй и Ке<г входят скорость свободного потока и диаметр. Локальные

коэффициенты теплообмена

вдоль поверхности цилиндрического тела на большем расстоянии от лобовой образующей можно также определить

при помощи уравнения (7-2).

Методика таких вычислений

была разработана Кружили-

ным, Фреслингом, Эккертом, Шахом, Сквайром и др.
Рис. 7-10. Кривые значений ло-

кального коэффициента теплообмена по периметру цилиндров

круглого и эллиптического сечений и по поверхности плоской

плиты.
/—цилиндр круглого сечения; 2—цилиндры эллиптического сечения, 1:2

и 1:4; 5—плоская плита [Л. 340).
234

(
--------------- page: 236 -----------
Заключение по .некоторым из них можно найти в статье

Е. Эккерта [Л. 751.
На графике рис. 7-10 даютая значения коэффициентов

теплообмена по 'периметру круговых и эллиптических цилиндров и для плоской плиты. Расстояние х от' лобовой

образующей делится на ^большой диаметр цилиндра (его
44^
Рис. 7-11. Сравнение вычисленных и измеренных значений коэффициента теплообмена для цилиндров круглого сечения [Л. 341].
большую ось Ь). Для всякого ламинарного пограничного

слоя значение критерия Нуссельта возрастает •пропорционально квадратному корню из критерия Рейнольдса. Поэтому на графике рис. 7-10 значения отношения Ыи^/1/Ке^

даются как функция от х/Ь. Как видно из графика, кривые

изменения коэффициента теплообмена по периметру цилиндров тем ближе подходят к кривой для плоской плиты,

чем больше эксцентриситет поперечного сечения цилиндра.
235
--------------- page: 237 -----------
Чем меньше радйус кривизны в лобовой образующей, тем

больше значение имеет коэффициент теплообмена для этой

точки. На рис. 7-11 'показано сравнение значений, полученных аналитическим путем, с результатами опытов Э. Шмидта и К. Ваннера [Л. 76]. Расчетами можно получить значения коэффициентов теплообмена только для ламинарного

пограничного слоя. Как определено для плоской плиты,

переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при 80 ООО Же >500 ООО. Если движение среды происходит с возрастанием давления на поверхности обтекаемого

тела, переход от ламинарного режима к турбулентному

происходит при более низких значениях критерия Рейнольдса, если давление 'падает, этот переход совершается

при более высоких значениях критерия Рейнольдса. Инге-

ресные в этом отношении опыты с наклонной плоской плитой были проведены Р. Дрейком [Л. 77].
7-6. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ЭНЕРГИИ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Температурное поле вблизи плоской пластины и связанный с этим теплообмен рассчитаны также путем точного

решения уравнений пограничного слоя для стационарного

двухмерного потока. Решение для пластины с постоянной

температурой поверхности получил в 1921 г. Е. Лольхау-

зен [Л. 78]. Он предположил, что скорости потока достаточно малы, и поэтому член уравнения, выражающий рассеяние, обусловленное вязкостью, не учитывается в уравнении

энергии пограничного слоя. Это уравнение имеет тогда следующий вид:
д^ , дI дЧ
ид7+”д^—ад^'
Соответствующие граничные условия:

при у — 0
1
при у — оо
В § 6 показано, что для частного случая уравнения пограничного слоя могут быть преобразованы в полные дифферен-
236
--------------- page: 238 -----------
циальные уравнения, если мы введём следующие новые переменные:
1
71==“2"^1/ ^==:^==*
1
Если эти же переменные вводятся в приведенное выше уравнение энергии и если, кроме того, ввести следующий безразмерный параметр, описывающий температуру внутри пограничного слоя:
тогда в результате получим уравнение
5+Рг/^=°
с граничными условиями для ^ = 0, 6' = 0, для ^ = оо,

Ь' — 1. Это уравнение мбжно проинтегрировать таким же

образом, как уравнение (6-44). В результате имеем:
?
^ ^ РтЩ

^ е 0 Ф)
■у = ®
РГ /ЙГ) - *
Й1)
В этом случае / нужно рассматривать как известную функцию, и уравнение (7-24) является точным решением уравнения (7-23). Кривые распределения температур, .полученные

таким путем, изображены на рис. 7-12 для различных значений критерия Рг. Коэффициенты теплообмена даются выражением
'Шх=крт)ущ;.
Параметр /(Рг)', вычисленный Е. Польхаузеном, в диапазоне

чисел Прандтля от 0,6 до 15 с достаточной точностью может

быть выражен зависимостью
{(Рг) = 0,332 ^Рг.
237
--------------- page: 239 -----------
В разделе, пбС&яЩейНбм вопросу 6 точных решениях

уравнений пограничного слоя, был рассмотрен поток, омывающий клин. Для такого типа потока скорость за пределами пограничного слоя определяется уравнением
и8—Схт
Рассмотрим теперь соответствующее уравнение энергии.

Кроме того, рассмотрим также случай с переменной температурой стенки. Фейжи и Фалькнер [Л. 79] показали, что
Рис. 7-12. Кривые распределения температуры для потока

пограничного слоя на плоской плите [Л. 342].
уравнение энергии для потока, омывающего клин, можно

преобразовать в полное дифференциальное уравнение, когда разность между температурами стенки и потока изменяется соответственно следующему закону:
*• — *, = С**Т-
Преобразование дает следующее уравнение энергии пограничного слоя:
й*Ъ'
*5Г+Рг ! -Щ- - 2 Рг т (У ■- 1)= 0. (7-25)
Это уравнение рассматривалось несколькими авторами.

Полученные в результате кривые распределения температуры приводятся на рис. 7-13 и 7-14. Кривые на рис. 7-13

справедливы для особого случая, в котором величина у

равна нулю. Это означает, что постоянная разность темпе-,

ратур и соответственно постоянная температура стенки за-

238
--------------- page: 240 -----------
Рис. 7-13. Кривые распределения температуры для ламинарного

клинообразного потока [Л. 343].
Рис. 7-14. Кривые распределения температуры

для ламинарного потока на плоской плите с

переменной температурой стенки [Л. 344].
--------------- page: 241 -----------
ранее задаются. Влияние параметра р=2т/(т+;1), описывающего особые условия 'потока, на кривую распределения

температуры не очень велико, особенно по сравнению с его

влиянием на кривую распределения скорости. С другой

стороны, на рис. 7-14 показаны кривые распределения температуры для потока над плоской пластиной (р = 0), для

случая, при котором температура стенки изменяется (в соответствии с различными значениями у). Изменение температуры стенки имеет большее влияние на кривую распределения температуры, чем изменение скорости потока. Интересное положение существует для отрицательных значений у. Предположим, что кривые распределения температуры имеют форму буквы 5, а температурный градиент

у стенки (и соответственно тепловой поток у стенки) могут стать равными нулю или даже отрицательными (для

у<—0,5). Это означает, что если даже локальная температура стенки больше, чем температура потока, этот частный

случай может привести к такому положению, когда поток

тепла направлен от омывающего потока к стенке. Этот

довольно странный факт можно объяснить следующим образом. Отрицательное значение у означает, что температура стенки понижается в направлении потока. В результате (этого масса жидкости или газа из областей, расположенных в непосредственной близости от стенки выше

по течению, где они соприкасались с более горячей стенкой, проходит в месте, где стенка более холодная. Они несут эту температуру вниз по течению, в результате чего получается, что поток у стенки горячее, чем сама стенка. Это

обстоятельство в конце концов и вызывает обратный тепловой поток от жидкости к стенке. Изменение температуры

стенки (“у = —0,5), для которой вычислена и проводится

на рис. 7-14 кривая распределения температуры, трудно

воспроизвести экспериментально, поскольку оно требует

таких условий, при которых температура на переднем крае

стенки бесконечно велика. Однако определено, что качественно инверсии температурного профиля и теплового потока встречаются также и при других законах изменения

температуры стенки. Например, такие случаи рассчитаны

и подверглись обсуждению Чепманом и Рубезйным [Л. 80],

а также Шлихтингом [Л. 81]. Положение, подобное изображенному на рис. 7-14 для у = 0,5, встречается при пленочном охлаждении, когда пленка охладителя вспрыскивается в поток при л; = 0. Холодный пограничный слой, созданный охладителем, защищает поверхность плиты от бо-
т
--------------- page: 242 -----------
лее горячей жидкости или газа в потоке. 'Влияние это уменьшается по течению потока, поскольку пограничный слой

нагревается от потока путем теплопроводности.
7-7. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ
\ Если стенки трубы, через которую движется жидкость

или газ, нагревать или охлаждать, то на их поверхности

образуется тепловой пограничный слой. На некотором расстоянии от начального сечения, там где кончается гидродинамический пограничный слой,
толщина пограничного слоя достигает величины радиуса трубы

(рис. 6-18). В этом пограничном


1 " '

Я

г
У
сечении заканчивается участок ста-

билизадииГ | ^Сначала ^рассчитаем

теплообмен в области -полной тепло-

вой стабилизации. Как и для пли- Рис 7.15 к опреДелению

ТЫ, предположим, ЧТО'кривая рас- распределения температу-

пределения температуры в трубе ры по сечению трубы при

представляет собой кубическую -па- ламинарном режиме

раболу. Тогда можно определить
условие, определяющее кривизну
кривой распределения температуры у стенки. Тепловой поток через слой,* непосредственно прилегающий к стенке, должен быть постоянным, так как

скорость движения жидкости в этом слое пренебрежимо мала, а поэтому тепло не передается конвекцией.

Теплообмен через этот слой .происходит только теплопроводностью. Для цилиндрической'поверхности с образующей

Ь и радиусом г (рис. 7-15) справедливо следующее уравнение:
где у—расстояние от стенки и г —радиус трубы.
Если сделать подстановку г = К — у, а затем решить это

уравнение относительно температурного градиента и продифференцировать по ук получим:
йЧ
йуг
Отсюда для у = 0 (на поверхности стенки)
&Х-НЫ-
16—308
--------------- page: 243 -----------
Таким образом, в этом случае скорость изменения температурного градиента не равняется нулю, как для плоской

плиты, а связана с приведенной выше зависимостью с самим температурным градиентом. Причина этого заключается в том, что поперечное сечение потока тепла уменьшается по мере возрастания расстояния от стенок трубы,

в то время пока для плоской плиты оно остается постоянным. Для удовлетворения приведенного выше условия мы

должны следующим образом выразить температурный на-

нор между стенкой трубы и основным ядром потока:
Дифференцирование и подстановка этого выражения в уравнение (7-26) дают:
Пусть температурный напор между осью и стенкой трубы

равен 05. Температурный градиент в этом мес^е должен быть

равен:
при у —К:
Тепловой поток на единицу поверхности стенки трубы и в единицу времени
^ Коэффициент теплообмена для потока через трубу обычно

рассчитывается по разности между средней температурой

потока и температурой стенки. Обычно за среднюю температуру 'принимают ту температуру, которая получилась бы

в результате смешения .всей массы жидкости после рассматриваемого сечения; такая температура называется

интегральной ил.и-объемной температурой

и обозначается ^в^
Ъ = ау + Ьу2 + су*.
©тсюда
(7-28)
242
--------------- page: 244 -----------
Она определяется йз уравнений
к
Ыгйг
(7-29)
Теперь, учитывая закон распределения температур [уравнение

(7-27)] и закон распределения скоростей
где из — скорость движения по оси трубы, мы получим выражение для разности между средней интегральной температурой и температурой стенки трубы
откуда, учитывад соотношение (7-28), получаем:
где й — диаметр трубы. В критериальной форме имеем:
Теплообмен к стенкам трубы вычислил Грэгц [Л. 82], Ка-

лендар [Л. 83] и Нуссельт {Л. 84] решением дифференциальных уравнений.
Чтобы вывести эти уравнения, следует преобразовать

уравнения Навье —. Стокса, уравнения непрерывности и

уравнения энергии э щилиндричеоких координатах. Затем

некоторые члены в этом уравнении могут быть опущены

вследствие особых условий, «меющих место в цилиндрической трубе с полностью установившимся потоком. Решение

уравнения потока довольно простое и указывает, что в установившемся потоке кривая распределения скорости имеет

форму параболы. Этот тип потока обычно относится к типу

потока Пуазейля. Уравнение энергии может быть выведено

16*
( Вв = 0,5830^
Коэффициент теплообмена определяется из формулы
--------------- page: 245 -----------
йепосредстйенйо из баланса энергии на элементе объема

кольцевой формы длиной йх, радиусом г и шириною йг,

расположенном концентрически в потоке относительно оси

трубы. Тепло передается в этот элемент объема теплопроводностью и конвекцией. Вначале рассмотрим теплопроводность в радиальном направлении. Поток тепла через кольцевую площадь 2лЫх на расстоянии г от оси
С} — — 2,2т:Ых .
дг
На пути к этой кольцевой площади на расстоянии г-\-йг от

оси тепловой поток изменяется на
■§- аг=-Х2^х-§7 (г ^йг.
Этот член дает разность .между теплом, покидающим элемент объема через площадь, соответствующую радиусу

г+йгу и теплом, входящим в элемент объема через площадь, соответствующую радиусу г. Здесь также может

иметь место поток тепла в аксиальном направлении.

Однако нужно ожидать, что этот тепловой поток будет значительно меньше, чем тепловой .поток в радиальном на-.

правлении, так как градиенты температур в радиальном

направлении больше. Соответственно теплопроводность

в осевом направлении не учитывается в расчетах Грэтце

и Нуссельта. В .жидких металлах, однако, теплопроводность по длине может существенно 'повлиять на установление температурного -поля. Поэтому в новейших расчетах

это условие принимается во внимание [Л. 85]. Тепло будет

также передаваться в элемент объема и конвекцией. Этот

перенос тепла идет только в осевом направлении и количество тепла, оставшегося в элементе объема в результате

поступления и отвода от него тепла, составляет:
2ъгс1грсри^йх.
Для стационарного состояния теплопроводность и конвекция

должны быть равны. Поэтому
1
иг дг \ дг у Л дх
Это уравнение описывает поток энергии и определяет температурное поле. Граничные условия этого уравнения:

при г —О
244
--------------- page: 246 -----------
йрй г=#
1
У стенки задаются либо температурой, либо тепловым потоком. Если у поверхности трубы имеет место тепловой поток при постоянной скорости (<7м = соп51;) , тогда баланс

энергии жидкости, протекающей через трубу, сразу же

привадит к выводу, что при постоянных свойствах жидкости объемная температура жидкости повышается линейно

в направлении потока. Для термически установившегося

патока это должно быть также (справедливо для температуры на любом расстоянии г ют оси трубы. В соответствии

с этим можно записать, что
Уравнение энергии в этом случае сокращается до обыкновенного дифференциального уравнения относительно г, которое решается простым интегрированием и приводит

к следующему выражению для кривой распределения температуры:
й_, , У/У*2 д( Г 1 (г V ±( г \4 _3_1
6
Температурный профиль остается -таким же при любом

положении х. Коэффициент теплообмена определяется температурным градиентом у станки. Для критерия Нуссель-

та, основанного на локальной разности между температурой станки и объемной температурой ч жидкости, вычисление дает:
N11, = 4,36. . , (7-31)
Для -постоянной температуры стенки вышеприведенное

уравнение можно решить разделением переменных, предполагая, что температуру можно выразить как произведение функции, зависящей только от радиуса, на другую

функцию, зависящую только от осевого расположения.

Найдено, что разность температур б уменьшается в аксиальном направлении подобно функции е. Колебание температуры в радиальном направлении описывается функциями Бесселя. Температурный арадиент на поверхности

трубы снова определяет критерий Нуссельта.
345
--------------- page: 247 -----------
Расчеты Грэтца и Нуссельта дают Для локального

числа Нуссельта (основанного на локальной разности

между температурой стенки и объемной температурой)

выражение
№1, = 3,65.
При постоянной температуре стенки профили непрерывно изменяются в направлении х. В термически установившейся области, однако, это изменение таково, что лро-
Рис. 7-16. Кривые распределения скорости и

температуры в трубе с ламинарным режимом

движения на большом расстоянии от входного

отверстия.
а—приближенное решение Э. Эккерта; б —точное

решение Грэтца и В. Нуссельта.
фили во всех точках вдоль трубы подобны один другому,

а изменяется только масштаб. Рис. 7-18 показывает это

условие для величин больше
(1/Ке, Рг) (х/й) = 0,05.
Результат приближенного вычисления в начале этого раздела [уравнение (7-30)] на 6%! меньше, чем результат,

даваемый уравнением (7-31) и на 13 о/о1 больше по сравне-

, нию с уравнением (7-32). Кривая распределения темпера-

/ ТУР уравнения (7-27) хорошо совпадает с точным вычисле-

' нием (рис-.-.2к16.)и.Хеплробмен в плоском канале, образованном двумя плоскими стенками на расстоянии одна от

другой, был вычислен В. Нуссельтом, Л. Эретом и X. Хане-

манном [Л. 86]. Они нашли, что
N^ = -^ = 3,75.
246
--------------- page: 248 -----------
Большинство из существующих опытных данных по теплообмену в ламинарном потоке не совсем .пригодно для

сравнения с вышеприведенными уравнениями по трем причинам. Во-первых, опыты проводились главным образом

с вязкими жидкостями, так как на практике в теплообменниках обычно используются именно такие жидкости.

Жидкости' с высокой вязкостью ('масла) отличаются тем,

что их вязкость находится в большой зависимости от температуры. Поэтому допущение, сделанное при выполнении

приведенных выше расчетов, относительно неизменности физических параметров выполняется только при очень

небольшой точности этих экспериментов.
Кривая распределения температур,

которая имеет форму параболы для

изотермического потока, меняет свою

форму в зависимости от вязкости. .На

рис. 7-17 даны кривые распределения

скоростей по Кивилу и Мак-Адамсу

[Л. 87]. Если теплоотдача происходит

от стенки трубы к жидкости, то кривая распределения скорости (кривая Ь) более полога, чем парабола

(кривая а), так как слои жидкости

около стенок теплее и поэтому обладают меньшей вязкостью, чем жидкость близ оси трубы. Если теплоотдача происходит от жидкости к стенке,

слои у стенок трубы обладают (большей вязкостью, чем в основном ядре потока, поэтому скоростное поле описывается

кривой с. Температурное поле и теплообмен находятся в известной зависимости от изменения скоростного поля. Таким

образом, коэффициент теплообмена зависит как от направления теплового потока, так и от его величины. Расчет теплообмена в вязких жидкостях был выполнен К. Ямагата

[Л. 88]. Во-вторых, расчетные и опытные данные трудно

сравнивать потому, что часто при низких скоростях, характерных для ламинарного потока, вихревые токи свободной

конвекции изменяют ламинарный характер движения:

в результате получается сочетание свободной и вынужденной конвекции [Л. 89]. Этот вопрос будет рассматриваться

в разделе 11-5. В-третьих, для масел участок полной гидродинамической и тедлозой стабилизации настолько велик,
Рис. 7-17. Искажение

кривой распределения

скорости в нагреваемой или охлаждаемой

трубе, когда вязкость

жидкости зависит от

температуры.
247
--------------- page: 249 -----------
что на практике в теплообменниках полностью стабилизированного потока и не бывает. Таким образом, на опытах

исследуют лишь участки стабилизации.
На участке стабилизации необходимо различать два

способа теплообмена. Если труба нагревается по всей

длине от входного сечения, гидродинамический и тепловой
Рис. 7-18. Температурное поле в ламинарном потоке

на участке стабилизации в трубе ГЛ. 345].
пограничные слои развиваются одновременно. Если толщина пограничных слоев мала по сравнению с диаметром

трубы, можно применить формулы для плоской плиты.

С другой стороны, трубу можно нагревать, начиная с сечения, где скоростное поле уже полностью стабилизировано.

Этот случай был исследован в 1589 г. Грэтцем и несколько

позже Нуссельтом (1910).
Они предположили, что температура стенки трубы внезапно изменяется в поперечном сечении х=0 от темпера24?
--------------- page: 250 -----------
туры, рав'йой температуре йхбдящеи жндкбстй, до другой

температуры, постоянной ниже по течению от х = 0.

Рис. 7-18 и 7-19 воспроизводят результаты вычислений.

На рис. 7-19 представлены некоторые результаты, полученные В. X. Кейсом для случая одновременной тепловой и

гидродинамической стабилизации. На рис. 7-18 показана

кривая распределения температуры, а на рис. 7-19 — график локального значения критерия Нуссельта. Кривая распределения температуры, имеющая .прямоугольную форму
Рис. 7-19. Локальное значение критерия Нуссельта для

начального участка трубы. Кривая а справедлива для

всех значений критерия Прандтля, кривые Ь и с—только

для Рг = 0,7 [Л. 346].
в том месте, где начинается теплообмен, изменяется

в направлении потока пограничными слоями, образующимися вдоль стенок. Кривая распределения температуры

полностью стабилизируется, когда пограничные слои сходятся у оси трубы. С этого места кривая распределения

температуры не меняет свою форму, лишь высота ее уменьшается в направлении потока.
На графике рис. 7-20 сравниваются значения критерия

Нуссельта по расчетам Грэтца и Нуссельта со значениями

вычисленными по формулам, выведенным Крауссольдом

[Л. 90] и Сидером и Тэйтом [Л. 91] на основании их опытов.

Несмотря на то, что эти опыты производились главным
249
--------------- page: 251 -----------
образом с маслами, расхождений с результатами вычислений невелики. Точками .показаны результаты опытов Нуссельта с газами [Л. 92]. 'Последние опыты Бема [Л. 93]

дали такие же результаты. На графиках рис. 7-19 и 7-20
Рис. 7-20. Сравнение измеренных и вычисленных значений среднего коэффициента теплообмена для ламинарного потока на участке стабилизации в трубе

[Л. 347].
/ —Зидер-и Тэйт; 2—Краусольд, охлаждение;"*.? — Краусольд,

нагревание; 4—Левежье; 5—Нуссельт; 6 —Нуссельт — Грэтц.
средние значения критерия Нуссельта необходимо вычислять по среднелогарифмическому температурному напору. X. Хаузен {Л. 04] вывел форму для средних значений

критерия Нуссельта, которая хорошо аппроксимирует

результаты Грэтца и Нуссельта:
И,=3,65+
а
При более высоких температурных напорах для масел

надо-учитывать влияние изменения вязкости .путем умножения правой части уравнения (7-34) на отношение

250
--------------- page: 252 -----------
(|ХВ/|Х»)°-14, где |лБ — -вязкость при объемной или средней

интегральной температуре жидкости и ^ — вязкость при

тем-пературе стенки трубы.
Физические .параметры берутся при объемной температуре жидкости. Для газов рекомендуется использовать

уравнение (7-34) без добавления отношения вязкости,

а характеристики следует вводить 'при относительной температуре, как приводится в уравнении (7-16).
!В литературе сведения по теплообмену в ламинарном

потоке >в трубах в области входа часто представлены как

функция безразмерного параметра, который называют числом Грэтца и который является обратной величиной параметра, использованного -в качестве абсциссы на рис, 7-19

и 7-20. Статья, в которой подытоживаются рассмотрения

различных температурных условий вдоль стенки трубы,

была опубликована Норрисом и Стрейдом [Л. 95].
Некоторые характерные черты присущи теплообмену,

связанному с ламинарным потоком через каналы с некруглыми поперечными сечениями. Этот случай изучался аналитически [Л. 96] для стабилизованного теплового й гидродинамического потоков через канал, поперечное сечение

которого имеет форму сектора круга и для условия, при

котором поток тепла от стенки канала в жидкость

постоянен в направлении оси канала. Было найдено, что

локальный коэффициент теплоо'бмена значительно изменяется по периферии канала, приближаясь к нулевому значению .в углах, и что средний коэффициент теплоо'бмена

во многом зависит от граничных условий. Были рассмотрены два граничных условия по окружности канала:

температура стенки, которая является постоянной по периферии, и локально постоянный тепловой поток. Найдено,

что критерий Нуссельта, усредненный по окружности для

постоянной температуры стенки, в 7 раз больше его вели-,

чины для постоянного потока тепла, когда угол вершины

сектора был равен 20°. Для угла у вершины в 60° соотношение этих двух чисел Нуссельта равно 2,5. Коэффициент

теплообмена в числах Нуссельта определяется как осре^-

ненный тепловой поток у стенки, деленный на разность

между объемной температурой жидкости и средней температурой стенки (осредне-нной по периферии канала).
Вышеупомянутый результат указывает, что, используя

опубликованные сведения по коэффициентам теплообмена,

следует осторожно устанавливать соответстзующие граничные условия,
251.
--------------- page: 253 -----------
1
ЗАДАЧИ
7-1, Выведите интегрируемое уравнение энергии пограничного слоя

для стационарного осесимметричного потока вокруг цилиндра с осью,

параллельной направлению потока. Предположите, что физические

свойства изменяются с давлением и температурой. Определить величину конвекции для данных условий.
7-2. Обобщите интегрируемое уравнение энергии пограничного

слоя на высокоскоростной поток путем включения члена, описывающего тепло, возникающее при трении.
7-3. Вычислите толщину теплового пограничного слоя для стационарного двухмерного ламинарного потока над круглой пластиной для

случая, когда температура поверхности у переднего края пластины

равна температуре потока жидкости и когда температура поверхности

возрастает линейно в направлении потока. Используйте интегрируемые уравнения 'пограничного (слоя. Не забудьте повторить вычисления в разделе 7-3 и проверить, какие следует провести изменения,

чтобы учесть изменяющуюся разность температуры вдоль х.
7-4. Вычислите локальное значение критерия Нуссельта для условия, описанного в предыдущей задаче, но используйте метод из раздела 7-4. Интегралы, которые появляются в вычислениях, могут быть

преобразованы в табулированные гамма-функции
7-5. Докажите, что кривая распределения скорости идентична по

форме с кривой распределения температуры для ламинарного потока

жидкости с числом Рг-1, с постоянной скоростью .над плоской пластиной.
7-6. Выведите уравнение (7-25) для теплообмена в потоке с бесконечным клином, вводя переменные /, V' и т] в уравнение энергии

пограничного слоя.
7-7. Жидкая нефть с характеристиками, указанными в приложении,

табл. П-3, протекающая через латунную трубку длиной 3 м (а* = 12,7-юл)

со скоростью 13,5 м/мин, охлаждается от 93 до 38° С. Температура

внутренней поверхности трубы равна 27° С. Найдите коэффициент

теплообмена для внутренней поверхности.
7-8. Рассчитайте кривые распределения температур для гидравлических и термических стабилизированного ламинарного потока, протекающего через трубу с круглым поперечным сечением, для случая постоянного потока через стенку трубы и постоянной температуры стенки.

При расчете примите, что скорость постоянна в поперечном сечении

трубы. Вычислите критерии Нуссельта для обоих пограничных условий.

Позже будет показано, что полученные результаты являются хорошим

приближением к теплообмену в установившемся турбулентном потоке

в трубе для жидкости с очень малыми значениями критерия Прандтля.
7-9. Проведите такое же вычисление, как и в предыдущей задаче,

для канала, образованного двумя плоскими параллельными пластинами.
7-10. Вычислите коэффициенты теплообмена и значения критерия

Нуссельта для термически и гидравлически стабилизированного ламинарного потока через канал, образованный двумя параллельными пластинами при следующих граничных условиях:
а)
1 См., например, [Л. 97].
?52
--------------- page: 254 -----------
личной от объемной температуры жидкости, другая стенка изолирована.
б)
температурах.
в)
причем другая стенка изолирована.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ

В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
8-1. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВОМ ДВИЖЕНИЯ

И ТЕПЛООБМЕНОМ
В предыдущих главах рассматривался перенос тепла

от твердой .поверхности в движущийся «поток, обусловленный совместным действием кондукции и конвекции.

В непосредственной близости от ^поверхности жидкость

фактически "находится в состоянии покоя и кондукция

является единственным способом передачи ’ тепла от^по-

верхносгиГ Тай^ак^ко^тотом~увеЖ^

личением расстояния оТ'сте!ШГГто^
ком во все возрастающем'“количестве' (кб.йв'екцйя). В областях,"отстой дальше от"стШ^йу^конв"екция~7становится

преобладающим способом переноса тепла. В турбулентном

потоке непрерывное перемешивание частичек жидкости

связано с колебаниями турбулентной скорости. Это перемешивание вызывает перенос тепла, когда в потоке

имеются градиенты температур. Таким образом, в турбулентном потоке наблюдается третий тип теплообмена

дополнительно к теплопроводности и конвекций, связанной

с ТГбъёмным движё1Гйём жидкосТйТ^Процесс турбулентного

перемешивания н асто лТко^м’а л о понятен, что до сих пор

еще никто не преуспел в предугадывании на основании

одних вычислений картины теплообмена в турбулентном

потоке.
€ другой стороны, путем, указанным Рейнольдсом,

Прандтлем, Тейлором, фон Карманом и другими, можно

вывести формулы для теплообмена из гидродинамических

измерений и глубоко ‘проникнуть в механизм турбулентного теплообмена.
Основные положения этого раздела будут разработаны

на основе аналогии Рейнольдса и представлений Прандтля
о
обсуждены последние достижения в расчете турбулентного

теплообмена,
25$
I
--------------- page: 255 -----------
Только слои жидкости в непосредственной близости

от стенки существенно влияют на теплообмен. Векторы

скорости этих слоев .параллельны стенке, а тепловой поток

перпендикулярен к ней. Поэтому мы рассматриваем законы

теплообмена в потоке, параллельном -поверхности -стенки

(в направлении оси х). Предположим, что скорость существенно изменяется только в направлении у, в котором также происходит передача тепла. Поэтому существенное

изменение температуры имеет -место только в .направлении у. Согласно ОГТрандтлю мы упрощаем действительные

условия, допуская, что ламинарный подслой, в котором

не имеется никакого турбулентного перемешивания, существует в непосредственной близости от стенки и что

в остальном потоке ламинарная теплопроводность и трение

малы по сравнению с турбулентным теплообменом и ими

можно пренебречь.
В произвольной плоскости, параллельной поверхности

стенки, а следовательно параллельной оси х, в пределах

ламинарного подслоя существует напряжение сдвига
Согласно уравнению (2-2) тепловой поток на единицу площади

для плоскости определяется следующим образом:
Теперь рассмотрим плоскость, параллельную стенке в турбулентном 'потоке. Благодаря хаотическим движениям

частицы жидкости постоянно проходят через эту плоскость.

На рис. 8-1 представлена плоскость аа, через единицу площади которой за единицу времени от плоскости 1—1 вверх

проходит весовое количество жидкости ткоторое обладает скоростью и и температурой 1\ это количество жидкости переносится к плоскости 2—2. При стационарном

режиме такое же количество жидкости т' должно переноситься от плоскости 2—2, где скорость равна и' и температура I', к плоскости 1—1. Частицы жидкости переносят с собой количество тепла, равное т'ср1, а частицы, движущиеся вниз, т!ср1'. Если
щади за единицу времени переносится тепла
Ъ~т'с^-Г).
254:
--------------- page: 256 -----------
•Но частицы Жидкости обладают также кинетической

энергией. Если скорость и больше скорости и', частицы

жидкости, находящиеся выше плоскости аа, получают

ускорение от частиц, движущихся вверх, а частицы находящиеся ниже этой плоскости,

замедляются. Благодаря такому
турбулентному обмену разность 2
.между скоростями и и и' сокращается. Турбулентное перемеши- а ^ у
вание действует аналогично ,на- /
пряжению т.рения Ь плоскости аа.
Это является основой для введе-
ния понятия «виртуальное турбу- 777777777/////////;
лентное напряжение сдвига».
В соответствии с законом КОЛ'И- Рис 8-1. Упрощенная карти-

чества движения, сформулиро- на турбулентного обмена:

ванным в разделе 6-2, это виртуальное турбулентное напряжение трения равно увеличе-

:нию или уменьшению количества движения, обусловленному обменом массы жидкости т' за единицу времени.

Поэтому для турбулентного напряжения трения справедливо равенство
Если неизвестную величину т’ исключить из формулы (8-1)

и (8-2), получаем следующее соотношение между тепловым

потоком и напряжением сдвига в турбулентном потоке:
Это выражение можно также записать в дифференциальной

форме:
поскольку местоположение плоскостей 1—1 и 2—2 произвольное. Это соотношение впервые было получено Рейнольдсом в 1874 г. и поэтому было названо аналогией

Рейнольдса. Если соответствующее соотношение вывести

для плоскости в ламинарном подслое путем деления второго соотношения, данного в начале этого раздела на первое,'то получим:
— т.'(и —и').
(8-2)
(8-3)
X сН
--------------- page: 257 -----------
Для отношения теплового потока к напряжению трения

тот же самый закон справедлив в турбулентном или ламинарном потоке, когда
или когда
В жидкости или газе с критерием Прандтля, равным 1,

теплообмен в ламинарном или турбулентном потоке связан

с (напряжением трения тем же самым уравнением.
Для потока пограничного слоя желательно получить

соотношение между величинами (4>, и=0) на поверхности

стенки и (4, и8) в потоке на внешнем крае пограничного

слоя. Такое соотношение для жидкости с. Рг=1 получается

интегрированием уравнения (8-3) в пределах пограничного 'СЛОЯ
Поскольку толщина пограничного слоя 8 мала, это свидетельствует о том, что отношение можно рассматривать как

постоянное и равное отношению
ности. Тогда интегрирование дает:
Для полностью стабилизированного потока в трубе следует применять среднюю скорость ит и объемную температуру 1В. При этом для трубы получается следующая зависимость:
Умножая обе части этого уравнения на площадь поверхности стенки трубы А, получаем:
(8-6)
т
(8-7)
где Я — сопротивление (/? = *тА).
256
--------------- page: 258 -----------
Эта простая зависимость между количеством передаваемого тепла (Зм и сопротивлением справедлива только

для среды с критерием Прандтля, равным единице. Так

как для (всех газов значение критерия Прандтля лишь

незначительно отличается от единицы, то при известном

сопротивлении уравнение (8-7) всегда дает .правильное

представление об интенсивности теплообмена. Сопротивление можно заменить той энергией, которую нужно затратить для того, чтобы (прогнать газ через трубу. Сопротивление трубы при падении давления Ар .равняется Др(яс?2/4),

а объемная скорость газа У=ит(лс1214)\ отсюда искомая

энергия, необходимая для 'потока,
У = УЬр = Вит.
Теперь находим величину отношения количества передаваемого

тепла к этой энергии

1ЛР
(8-8)
Эта важная зависимость показывает, что при уменьшении

скорости ит и энергия, необходимая для обеспечения определенной интенсивности теллообмена, уменьшается. Это

обстоятельство используется в охлаждающих устройствах

или теплообменниках самолетов. Охлаждающее устройство

окружают каналом и, таким образом, поток воздуха,

прежде чем поступить в охладитель,

замедляется, а затем повышение

давления, получившееся в -результате замедления движения воздуха,

используется опять для ускорения

его движения. Такой каналовый

охладитель схематически изображен

на рис. 8-2. Каналовая конструкция,

которая в настоящее время широко

применяется в авиастроении, с успехом используется также в скоростных локомотивах и

автомобилях, при этом 'мощность, необходимую для обеспечения движения охладительного устройства через воздух,

можно снизить чрезвычайно сильно. Однако этот выигрыш

не достигается безвозмездно, так как чем меньше скорость

движения воздуха через охлаждающее устройство, тем

. больше должна быть поверхность для обеспечения отвода

данного количества тепла. Такую же зависимость между

17—308
Рис. 8-2. Каналовый охладитель авиационного двигателя.
--------------- page: 259 -----------
величиной поверхности и необходимой мощностью следует

учитывать при конструировании паровых котлов. Если

необходимо уменьшить вес и габариты котла путем ускорения прохождения горячих газов через котел, этого следует

достигать использованием дешевых источников энергии.

В котле Велокса (Уе1ох) эта задача решается применением газовой турбины, которая приводит в движение воздуходувку, подающую воздух в топку.
Пример 8-1. Через отрезок трубы длиной 1 м и диаметром 20 мм

протекает воздух со скоростью 30 м/сек. Температура воздуха у входа

в трубу 20° С, давление 1,0 кГ/см2. Падение давления в трубе

81,2 мм вод. ст., или 80 кГ/см2. Сколько тепла отдается трубой воздуху,

если стенки трубы нагреваются до температуры ^ = 100° С.
В качестве первого приближения можно использовать результат

вычислений по формуле (8-7), хотя значение критерия Прандтля для

воздуха равно 0,72. Сопротивление движению воздуха, оказываемое

трубой,
тс^2 тс* 0,0004

К=:ЬР— = 80.
Количество тепла, передаваемого воздуху, находится из равенства

л л г 9,81-0,24
<2^ = 0,025 —^— }в) = 0,002 — *в) /скал/сек-град =
=0,002.3 600 (^ — ^д) ккал/ч-град = 7,2(*о; — *в) ккал/ч-град.
Температура стенок трубы ^ = 100° С. Средняя температура воздуха ^в

неизвестна. Количество тепла, передаваемого воздуху, можно вычислить

тоже по формуле
где р — удельный вес воздуха (р = 1,29 кг/м3 при 20° С и 1,0 к Г/см2);


Постановка числовых значений в последнюю формулу дает следующий результат:
0,0004л
(?„,= 1,29.0,24.30
== 0,003 {1е — I.) ккал/сек-град.
Средний температурный напор ЬЛт = 1т — 1В согласно сказанному в разделе 1-4 равняется ЬЛт = а (Д^- + ДУ/2. Предполагается, что температура стенок постоянна. Отсюда
= «[*»-(*< +
Приравнивая правые части последних двух уравнений, получаем:
0,002а (/в _
258
--------------- page: 260 -----------
Коэффициент а нельзя определить при помощи табл. 1-2, так как отношение ЬЛ1\ЬЛе неизвестно. Допустим а= 1. Тогда из последнего уравнения получаем /е = 60°С. Для нахождения значения а можно воспользоваться равенством
Д*« 100 — 20

= 100 — 60
= 2.
Отсюда из табл. 1-2 находим а = 0,96. Так как весь расчет дает лишь

первое приближение, то нет необходимости повторять его для нахождения нового значения а. Теперь определяем количество передаваемого

тепла
(} = 0,003 (60 — 20) • 3 600 = 430 юсал/ч • °С;
Точный расчет по формулам, которые даются в следующем параграфе,

дает результат, превышающий найденный на 15Уо.
Для среды, . критерий

Прандтля которой значительно

отличается от единицы, термическое сопротивление ламинарного подслоя и турбулентного

слоя необходимо рассчитывать отдельно. Пусть температура стенки равна (рис.
8-3), температура на границе

между ламинарным подслоем

и турбулентным пограничным

Слоем (ь И температура ос- Рис. 8-3. Кривая распределения температуры и скорости в турбулентном

потоке с ламинарным подслоем.
новного ядра потока 189

Пусть соответствующие скорости суть ит=0; иь и и8. Интегрирование уравнения (8-4) по подслою с допущением, что

я!% — сопз{=д№/\
дает:
(8-9)
Тепловой поток в турбулентном пограничном слое получается интегрированием уравнения (8-3) между величинами
(V Ч) и (*«> »«)
О = 'С С

(8-10)
Коэффициент теплообмена а

ляется из уравнения
ш я и8 — иь
у поверхности стенки опреде-
(8-11)
17*
259
--------------- page: 261 -----------
Если уравнения (8-9) — (8-11) решить относительно температурных напоров, а затем первое и второе вычесть из третьего,

получим:
а •'в,Ср у 5 ь’ 1 ^ ^р у и5~ к и3 I
хтср
откуда
1+-?‘(Рг-1),
(8-12)
1
Эта формула была выведена Л. Прандтлем (1910 и 1928)

[Л. 98] и Дж. Тэйлором (1916).
8-2. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ
В стабилизированном потоке толщина (пограничного

слоя равняется радиусу трубы. Поэтому в формулах вместо значений скорости и3 и температуры 18 «нужно применять значения скорости и температуры, которые имеют

место по оси трубы. Однако коэффициент теплообмена

можно определять по средней интегральной температуре 1В и в уравнении (8-12) применять среднее значение

скорости ит. Это чне совсем правильно, однако ошибка

бывает невелика. Если напряжение трения определить

по формуле (6-50) и отношение скоростей по формуле (6-51), то 'последнее уравнение приобретает следующий вид:

О.ОЗИ^Г ‘ _
р т
8
11+А(итс1М (Рг—1)
Постоянная А равняется 2,44. Однако сопоставление

с результатами опытов над вязкими жидкостями показывает, что это значение чересчур велико и что, кроме того,

А является функцией критерия Прандтля. На рис. 8-4 представлен график этой функции по В. Бюну [Л. 99]. Выражение в левой части уравнения (8-13) эквивалентно критериальному выражению Ыий/(КейРг). Эта величина называется критерием Стантона (5{апк>п) и обозначается символом 51. Таким образом, окончательный вид формы теп230
--------------- page: 262 -----------
лообмена в трубе три турбулентном движении жидкости

будет следующим:
Ыаа
(8-14)
КейРг 1 +Л(ЦейГ,'»(Рг—1)
Значение коэффициента А можно определить из графика

рис, 8-4. Гоффман [Л. 100] для определения этого коэффициента дает такую формулу:
А — 1,5Рг~'/е.
Приведенные выше фор-
2.0
КО
<
м
Рг
50
то
мулы дают возможность

устанавливать форму кривой распределения скорости для различных

значений критерия Прандтля. 'Приравнивая .правые

части равенств (8-9) и

(8-10), можно определить

отношение падения температуры в ламинарном
подслое к оадению температуры в турбулентной

зоне:
150
200
Рис. 8-4. Значение коэффициента А

в формулах (8-14) и (8-17) [Л. 348].
:РГ
Для среды с Рг — 1 отношение разностей температуры равно отношению соответственных разностей скоростей. Оба

поля подобны. На рис. 8-5 даны кривые распределения
температур для двух значений критерия Рг>1. Для

случая больших значений

критерия Прандтля падение

температуры в ламинарном
и то же.
Кривые распределения

температуры для низких значений критерия Прандтля

при определении их таким

0 г тг
Рис. 8-5. Кривые распределения тем-
пературы для турбулентного потока
жидкостей с различными значениями
критерия Прандтля.
рис. 8-5, будут иметь 5-образную форму, причем в ла261
--------------- page: 263 -----------
минарном подслое повышение температуры будет незначительным и наибольшая разность температур будет относиться к турбулентной зоне. Это объясняется очень низким

термическим сопротивлением ламинарного подслоя по

сравнению с термическим сопротивлением турбулентной

зоны.
В действительности, однако, происходит нечто иное.

В любом турбулентном потоке теплообмен конвекцией

накладывается на теплообмен теплопроводностью. Для

сред с критерием Прандтля, равным или большим единицы, теплопроводность невелика по сравнению с конвективным теплообменом и поэтому в приведенных выше

расчетах ею пренебрегают. Однако при низких значениях

критерия Прандтля она приобретает равную или большую

значимость, и в предельном случае можно пренебрегать

уже конвективным теплообменом, тогда как теплообмен

теплопроводностью ставится основным фактом.
Расчеты, выполненные в разделе 7-7, обычно дают хорошие сведения по теплообмену в жидкости или газе,

если Рг-^0, проходящем по трубе, когда параболическая

кривая распределения скорости, использованная для ламинарного потока в разделе 7-7, заменяется кривой распределения скорости в турбулентном потоке. Достаточно хороший результат получается, когда кривая распределения

скорости в турбулентном потоке аппроксимируется кривой

постоянной скорости ($1и§ — поток). При установившихся

те-пловых условиях и постоянном тепловом потоке у стенки

эта операция приводит к соотношению Ыи<* = 8; при постоянной температуре стенки — к соотношению Мид = 5,8.

Более подробные сведения по теплообмену в жидких

металлах будут представлены в разделе 10-4.
Для расчетов теплообмена имеет большое удобство тот

факт, что левая часть равенства (8-14) представляет собой

сочетание критериальных величин Ыи^, Ке^ и Рг. Количество

тепла, передаваемое стенке трубы длиной равно:
(2=<шИ
Это количество тепла можно также выразить через падение

температуры жидкости от температуры входа 1{ до температуры выхода
«=^Ат('г'>
262
--------------- page: 264 -----------
Приравнивая правые части этих равенств' и произведя некоторые преобразования, получаем:
а
(8-15)
При помощи этого соотношения можно рассчитать температуру жидкости 'при выходе из трубы 4, не пользуясь физическими параметрами, если известны размеры трубы, температура жидкости при входе в трубу температура стенки трубы 1т и значение критериального комплекса

Мий/(КедРг). Вместо средней интегральной температуры 1В необходимо брать логарифмическую среднюю температуру жидкости у входа в трубу и на выходе из трубы.
При выводе формулы (8-12) предполагалось, что физические параметры неизменны. Э. Гоффман [Л. 101] исследовал вопрос влияния переменности физических параметров

на теплообмен. Он нашел, что формула (8-14) справедлива

лишь в том случае, когда физические параметры берутся

по определяющей температуре:
Для газов (Рг=1) это уравнение дает для I приблизительно среднее арифметическое между температурой среды

и температурой стенки. Чем больше критерий Прандтля,

тем ближе значение I* к значению средней температуры

жидкости То же относится и к температуре 1ъ между

ламинарным подслоем и турбулентной зоной (рис. 8-5).

Такая определяющая температура, которая является

только функцией Рг, должна рассматриваться как первое

приближение, поскольку следует ожидать, что теплообмен

в жидкости с переменными характеристиками зависит от

того, как эти свойства изменяются в зависимости от температуры и давления.
Вода при сверхкритическом давлении используется как

охладитель в ядерных реакторах. Теплообмен вблизи критического давления характеризуется тем фактом, что физические параметры, в особенности удельная теплоемкость,

сильно изменяются в зависимости от температуры.

Р. Г. Дайсслер [Л. 102] и К. Гольдман [Л. 103] вычислили

трение и теплопередачу к воде, протекающей в турбулентном потоке через трубу при давлении в 775 ат/см2. Были

приняты установленная скорость и распределение температуры. Результаты вычисления Дайсслера будут обсуж(8-16)
263
--------------- page: 265 -----------
даться ниже. Рис. 8-6 показывает, как изменяются физические параметры при принятом давлении. Результаты его

вычислений могут быть хорошо аппроксимированы при

помощи соотношения для постоянных свойств [например,

соотношение (8-14)], когда физические параметры вводятся

при тщательно выбранной определяющей температуре.
Рис. 8-6. Физические свойства воды при давлении

в 11Ь-ат как функция температуры [Л. 349].
Эккерт [Л. 104] получил зависимость, представленную на

рис. 8-7 для определяющей температуры Верхние кривые дают определяющую температуру для вычисления

коэффициента трения, а нижние кривые — определяющую

температуру для теплообмена. Видно, что величина объемной температуры 1В и температуры стенки 1^ относительно

температуры Iтпри которой теплоемкость проходит через

максимум, имеет наибольшее влияние на определяющую

температуру. Критерий Прандтля нужно ввести в уравнение для коэффициента теплообмена при температуре

стенки. Результаты опытов по теплообмену в жидкостях

264
--------------- page: 266 -----------
вблизи их критического состояния не представляют однородную картину. Измерения на углекислоте [Л. 105] дают

хорошее совпадение с вычислениями Дайсслера, тогда как

измерения (Л. 106] с паром при сверхкритических параметрах при давлении 316,35 кГ/см2 приводят к коэффициентам теплообмена, которые обычно были выше вычис-
Рис. 8-7. Относительная температура (* для вычисления теплообмена

турбулентного потока воды, протекающей через трубу

при давлении в 775 ат.
—температура стенки; 1^ —средняя объемная температура [Л. 350].
ленных значений на 70%. а вблизи критической температуры на 100%'. Отклонения могут быть вызваны незнанием

величины физических параметров в высокотемпературном

диапазоне, а также в диапазоне высоких давлений или

влиянием свободной конвекции, которые очень велики

вблизи критического состояния [Л. 107].
Кроме теоретически обоснованной формулы (8-14), часто

применяют эмпирические формулы. Хорошо известны,

например, формулы Диттуса и Белтера [Л. 10В] для теплового потока от стенок к жидкости:
Мий = 0,0243 (Кей)0,8 (Рг)0,4
265
--------------- page: 267 -----------
и
N1^ = 0,0265 (Кей)0,8 (Рг)0'3

Применение двух различных формул для случаев нагревания и охлаждения [Л. 109] нельзя признать совершенно удовлетворительным.
Эти зависимости дают точные результаты при условии

полной стабилизации турбулентного потока. Для участка

стабилизации значения коэффициента теплообмена могут

быть несколько больше расчетных. X. Хаузен [Л. 110] дает

следующее выражение: для среднего значения критерия

Нуссельта
где \хв — вязкость при средней интегральной температуре

жидкости и \хю — вязкость при тем'пературе стенки трубы.

Кроме того, физические параметры надо определять по 1В.

Эта формула учитывает условия, существующие на участке

стабилизации. Она также дает удовлетворительные результаты для переходной зоны при значениях Ке^ от 2 300

до 6 000. Предполагается, что это соотношение применяется

к жидкостям, для которых колебание вязкости является

доминирующим (масла). Рис. 8-8 изображает переходную

область согласно данным результатов эксперимента, проведенного Зигером и Тейтом [Л. 111].
Уравнение Хаузена дает осредненный коэффициент теплообмена на участке между началом нагретой части трубы

и точкой х. Локальный коэффициент теплоомена можно

получить из этого соотношения дифференцированием. При

проведении этого видно, что такое же соотношение описывает локальный критерий Нуссельта, когда член в скобках

заменяется на 1 + (!/з) (й/х)2/г.
Эксперименты Дж. Гартнетта [Л. 112'] и расчеты

Р. Дайсслера [Л. 113] указывают на то, что коэффициенты

теплообмена для жидкостей с критериями Прандтля порядка 1 или больше уменьшаются даже быстрее, чем это указывается этим уравнением, с увеличением длины х.

При длине, равной 15 диаметрам, локальный коэффициент

теплообмена составляет примерно 1% величины, которая

асимптотически достигается в длинной трубе. Это утверж-
266
Ыий = 0,116[(Кей )2/з- 125](Рг)‘/зХ
--------------- page: 268 -----------
дение справедливо при полностью установившемся турбулентном потоке в начале нагретой части трубы.
Когда труба нагревается по всей длине, т. е. гидродинамический и тепловой начальный участки совпадают,

имеются еще и дополнительные условия. На рис. 8-9 приведены локальные значения критерия Нуссельта в положении х согласно измерениям В. Линке и X. Кунце [Л. 114].
50
ио
30
2: 10

$
'г*
4 10
5
и

з

2
2 3 45 10 3 2 3 45 10* 2 3 45 105
Рис. 8-8. Значение коэффициента теплообмена для переходной зоны от

ламинарного к турбулентному потоку в трубе [Л. 351].
Провал в кривых объясняется тем, что течение в пограничном слое вдоль стен трубы сначала имеет ламинарный,

а затем, пройдя переходную область, становится турбулентным.
Применяя уравнения этого раздела, можно вычислить

теплообмен в трубе с площадью поперечного сечения

некруглой формы. Вместо диаметра й в этом случае следует использовать гидравлический диаметр ^ = 4 А/С

(где А — площадь поперечного сечения, а С — смоченный

•периметр).
Весь периметр следует также использовать и в том случае, когда нагревается или охлаждается только его часть

[Л. 115]. Лишь при вычислении теплового потока по урав-
267
--------------- page: 269 -----------
нению (1-13) следует использовать только площадь

нагрева.
Теплообмен в потоке воздуха через трубы с шероховатыми поверхностями тщательно исследован в статье
В.
Рис. 8-9. Локальные значения критерия Нуссельта для

потока в трубе вблизи начального участка с одновременным установлением потока и поля температуры

[Л. 352],
цами различного поперечного сечения, 'прикрепленными

к внутренней поверхности трубы. Одновременно исследовались и трубы с естественной шероховатой внутренней

поверхностью.
Было найдено, что независимо от формы элементов

шероховатости измеренные значения критерия Нуссельта

являются функциями критерия Рейнольдса и отношения

коэффициентов трения }/}0 (/ — коэффициент трения трубы
268
--------------- page: 270 -----------
с шероховатой поверхностью; ^ — коэффициент трения

трубы с гладкой поверхностью при тех же значениях критерия Рейнольдса). На рис. 8-10 представлены данные

исследования. Нуннер также нашел, что измеренные значения критерия Нуссельта -близко совпадают с значениями,
Рис. 8-10. Критерий Нуссельта для турбулентного потока и в трубе с шероховатой

поверхностью [Л. 353].
вычисленными по уравнению (8-12) или (8-14), где

член Рг—1 в этих уравнениях заменен на Рг ///0—1. Величины, полученные таким путем, также хорошо совпадают

с предыдущими измерениями.
Пример 8-2. Радиатор автомобиля состоит из ребристых трубок

диаметром 6,1 мм и длиной 610 мм. Охлаждающая вода протекает по

ним со скоростью 0,9 м/сек при температуре 62° С. Требуется вычислить

коэффициент теплообмена стенок трубок. Коэффициент кинематической

вязкости воды при 62° С у=0,0475“5 • 10“5 м2)сек (см. приложение) и

критерий Прандтля Рг=3,02. Критерий Рейнольдса
0,9-0,0061
0,0475-10-5
И 600.
Следовательно, движение воды происходит при турбулентном режиме.

Длина участка стабилизации для турбулентного потока определяется

из равенства Ье/^=15. В рассматриваемом случае отношение длины

трубки к ее диаметру равно 100, поэтому большая часть потока являет269
--------------- page: 271 -----------
ся гидравлически стабилизированной и, следовательно, расчеты можно

производить по формуле (8-13). По графику рис. 8-4 находим, что

А = 1,5, откуда
N11^
'
Ке^Рг 1 + 1,5-2,02/11 бОО1/»
Критерий Нуссельта = 0,00194*11 600-3,02 = 68, коэффициент теплопроводности А. = 0,56 ккал/м • ч • °С. Следовательно,
X
а = N11^ — 68 о^обТ = ккал/м2• ч• град.
На расстоянии 1/8 длины трубки коэффициент теплообмена уменьшается

от более высоких значений до вычисленного. Зная величину выражения

1Чи^/(Ке^Рг), можно легко рассчитать температуру воды:
1е — 11 4/,
— ~ й ”’^А^“0,006Г
8-3. ПРОДОЛЬНОЕ обтекание плиты
Для расчета теплоотдачи от плиты по формуле (8-12)

в качестве величины и8 нужно взять скорость свободного

потока, а -в качестве 18 — температуру свободного потока.

Подстановка значения напряжения сдвига из формулы (6-33) и отношения скоростей из формулы (6-37) дает

следующий результат:
Ии*
81= -5—5-=
Яе*Рг 1 + 0,87Л(Не^”1/1а(Рг — 1)
Значение А можно взять либо из графика рис. 8-4, либо

вычислить по формуле А =>1,5Рг ~~ч*. Коэффициент 0,87 появляется в результате замены средней скорости, использованной для трубы, скоростью и3 для рассматриваемого

случая, которая соответствует скорости движения по оси

трубы. Формула (8-17) дает значение локального коэффициента теплообмена. В разд. 6-1 указывалось, что ламинарный пограничный слой существует близ переднего края

плиты. Только тогда, когда значение критерия Рейнольдса

становится критическим (приблизительно 5 • 105), режим

движения в пограничном слое становится турбулентным.

Формула (8-17) дает значения коэффициента теплообмена

для зоны с турбулентным режимом движения среды, тогда

как для ламинарного режима движения надо принять формулу (7-13) [Л. 117]. Для газов формулу (8-17) можно

несколько упростить, так как в этом случае величина критерия Прандтля близка к единице, а поэтому знаменатель

270
--------------- page: 272 -----------
можно считать постоянным. Интегрируя это упрощенное

выражение по длине плиты, получим средний коэффициент

теплообмена. Если предположить, что пограничный слой

имеет турбулентный характер по всей длине, можно получить значение критерия Нуссельта для среднего коэффициента теплообмена [Л. 118]
= 0,037 (Ке/’8(Рг)1/3.
В действительности определенная часть пограничного слоя

близ переднего края плиты всегда ламинарна, поэтому

интегрирование необходимо производить двумя этапами,отдельно для ламинарного участка, затем — для турбулентного. Если производить интегрирование, предполагая, что

значения коэффициента теплообмена в турбулентной зоне

равны значениям для гипотетического случая начала турбулентного пограничного слоя у .переднего края плиты,

получим:
= 0,037 (Рг)'/з ККе/’8 — 23 100}
для Кекр = 5-10* и
N^ = 0,037 (Рг)'/а[(Кех)0'8 — 4 200]
Для Кекр=Ю5
Для потока пограничного слоя критерий Стантона в формуле (8-17) можно рассматривать как отношение двух

длин. Чтобы показать это, воспользуемся тем фактом, что

все тепло. <2, отдаваемое горячей плитой омывающему ее

потоку с участка поверхности длиной х (рис. 8-11), должно

при стационарном режиме 'переноситься вместе с потоком

через плоскость 1—1, т. е. выражая это в математической

форме:
00
Я = ?СР| и.Ц — 1$)йу.

о
Практически интегрирование надо производить лишь в пределах теплового пограничного слоя. С другой стороны, количество тепла <2 можно выразить через коэффициент теплообмена,

усредненный для участка длиной л::
(3 = ахУт — (з).
271
--------------- page: 273 -----------
Пользуясь этими двумя равенствами, можно определить

среднее значение критерия Стантона:
Ч
а 1 Г и ^5)
51:
Р сриз
^5)
йу.
Здесь интеграл имеет линейную размерность и может рассматриваться как своего рода толщина пограничного слоя.

Так как он характеризует тепло, передаваемое конвективным путем внутри пограничного слоя, то эту величину можно назвать

эквивалентной толщиной

конвективного пограничного слоя бс. Она точно

соответствует величине,

называемой в гидродинамике толщиной количества движения пограничного слоя. На нижнем

графике рис. 8-11 показан

способ определения толщин конвективного пограничного слоя.
Умножение ординат

кривой безразмерного скоростного поля и!а8 на соответствующие ординаты

Рис. 8-11. К определению теплового безразмерного температур-

‘ пограничного слоя.
дает кривую а, и площадь

заключенная между этой

кривой и осью абсцисс, соответствует рассматриваемому интегралу. Фигуру, ограниченную кривой и осью абсцисс,

можно превратить в равновеликий прямоугольник с высотой, |равной единице, и основанием, равным бс.
Понятно, что толщина конвективного пограничного

слоя меньше толщины теплового пограничного слоя б/

(см. стр. 210) и также (меньше эквивалентной толщины

пограничного слоя, которая была определена на стр. 178.

Так как толщина пограничного слоя всегда 'невелика

по сравнению с длиной плиты х, то, очевидно, критерий

Стантона всегда -имеет небольшую величину.
272
--------------- page: 274 -----------
1При выводе уравнения (8-12) предполагалось, что температура изменяется только в направлении, перпендикулярном к поверхности стенки. Поэтому соотношения, приведенные в этом разделе, могут быть применены к пластине с постоянной температурой поверхности. При температуре стенки, которая изменяется вдоль поверхности, теплообмен можно вычислить при помощи метода, описанного в разделе 7-4, при условии, что известно соотношение,

описывающее теплообмен при ступенчатом изменении температуры поверхности. Себан, ссылаясь на работы
С.
теплообмена в точке х на пластине с ненагретой начальной

площадкой длиной §:
0,0289 (Рг)'/# (Кеж )°'8Х
х[‘-т
Степень Уэ критерия Прандтля оказывается низкой и ее

следует, вероятно, заменить на 78. В этом случае уравнение будет хорошо согласовываться с существующими

экспериментами.
Пример 8-3. Плоская плита, нагреваемая до температуры 80° С,

омывается потоком воздуха при температуре 20° С, давлении 1,0 кГ/см2

и скорости =9,15 м/сек. Требуется рассчитать локальный коэффициент

теплообмена на расстоянии я=305 мм от переднего края.
Согласно сказанному »на стр. 223 физические параметры газов должны быть взяты при температуре, являющейся средним арифметическим

между температурами стенки и газа. Таким образом, получаем;

/* = 50°С. Из таблицы приложения находим: у=1,85-10“5 м2/сек\

Л=0,0237 ккал/м • ч • град, Рг=0,701, откуда
и 8х 9,15-0,305

Ке*— 7 — 1^5.10-5 —151 000.
При таком значении критерия Рейнольдса пограничный слой может быть

и ламинарным и турбулентным. 1 Если он турбулентный, то, пользуясь

формулой (8-17), находим:
N11*
5*= Ке^Рг = 1 —0,87-1,75(151 000)“^,<|-0,299 ==0’00312-
Пограничный слой носит ламинарный характер близ переднего края

плиты. Но, следуя предложению Прандтля (-см. стр. 182), (мы предполагаем, что турбулентный пограничный слой начинается прямо у переднего края, и в соответствии с этим измеряем значение х также от края

плиты. Отсюда маходим критерий Нуссельта:
N11* =0,00312.0,70Ы51 000 = 330
18—308
--------------- page: 275 -----------
и коэффициент теплообмена
0,0237
а = 330 о~зо5“ ~ 25,7 ккал/м2-ч- г рад.
Если на расстоянии х = 305 мм поток ламинарен, применяется формула

(7-14):
Ми* = 0,332 у Р? = °>332'^ОДОГ- V" 151 000 = 115,
откуда коэффициент теплообмена

0,0237
а = 115 д =8,93 ккал/м2'Ч-град.
Из этого примера видно, что величина коэффициента теплообмена значительно возрастает, когда пограничный слой становится турбулентным.
8-4. ПОСЛЕДНИЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА

ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ ДВИЖЕНИЯ
%
Возможность усовершенствования расчета турбулентного теплообмена основывается на лучшем знании механизма турбулентного потока. Полное о-писание такого

потока с его постоянно изменчивым характером потребовало бы знания параметров потока — скорости и давления — в каждой точке потока и в каждый момент времени.

В настоящее -время мы не имеем возможности дать такое

описание и поэтому должны удовлетвориться знанием

осредненных во времени величин. Процесс преобразования

уравнений Навье — Стокса был описан в 1883 г. О. Рейнольдсом. Мгновенные параметры потока описываются как

сумма осредненной во времени величины (отмеченных

черточками над буквами) и мгновенного отклонения

от этого значения (флуктуация указывается штрихом):
ц —
Теперь введем эти выражения в уравнения Навье —

Стокса (6-14); среднее значение величины флуктуации

за все время согласно определению й' = 0; г7' = 0; р'=0

(но такие произведения, как и!ъ' необязательно должны

быть равны нулю) и для установившегося потока имеем:
274
--------------- page: 276 -----------
Аналогичный вид имеют два соответствующих уравнения для

V и щ. Найдено также, что уравнение непрерывности не меняется по виду, когда оно 'записано в величинах, осредненных

во времени:
Уравнение пограничного слоя в величинах, осредненных во

времени, принимает следующий вид в соответствии с упрощениями Прандтля для пограничного слоя:
Последний член уравнения пограничного слоя по существу

описывает тот же процесс турбулентного обмена, уже рассмотренный в разделе 8-1.
Мгновенный поток массы, перпендикулярный направлению основного потока, за единицу времени и на единицу

площади есть рр', а х— перенос количества движения,

связанный с этим потоком—р ь'и!. Этот осредненный член

является не чем иным, как другим выражением для напряжения трения, которое описывается уравнением (8-2).

В полных уравнениях Навье — Стокса имеется несколько

таких членов (выражающих перенос количества движения

по трем направлениям осей координат). Уравнения (8-20)

и (8-21) позволяют лучше понять процесс, который обусловливает турбулентное напряжение трения. Для интегрирования уравнений нужно использовать добавочные выражения, которые связывают члены, содержащие величины

флуктуации (и'2, иV и т. д. с осредненными во времени

величинами. Т. В. Буссинеск был первым, кто предложил

такое выражение, представив формулу для напряжения

трения при турбулентном режиме:
Член 6 т называется коэффициентом турбулентной кинематической вязкости. Мы увидим, что приведенное выше уравнение станет очень полезным в связи с расчетами теплообмена. Для вычисления

поля потока оно оказалось не столько полезным, так как

экспериментально было найдено, что ет имеет сложную

зависимость от скорости.
18*
дх ”Т~ ду * дг
(8-22)
--------------- page: 277 -----------
Исходя из некоторых понятий теплообмена при турбулентном режиме, Прандтль пришел к соотношению
' = «' %\щ
(вертикальные линии указывают на то, что напряжение

трения имеет тот же знак, что и градиент скорости) и обнаружил, что относительно простые выражения для длины

смешения I (например, I пропорционально расстоянию

от стенки) хорошо совпадают с опытными данными. Уравнение (8-23) используется как основа для многих расчетов потока. Т. Карман пришел к такому же выражению

путем аналогичных рассуждений.
Величины, подобные а/2, и!^ измерялись термоанемометром для различных видов потока. Учитывалась также

статистическая теория турбулентности.
Применение метода О. Рейнольдса >к уравнению энергии (7-3) и упрощение теории пограничного слоя, проделанное Л. Прандтлем, приводят при низких скоростях

к 'следующему уравнению энергии пограничного слоя

в турбулентном режиме в осредненных во времени величинах:
(—61 . — д? \ * дН
*:Лв1Г + ”-ЗГ<)=1
Это уравнение опять-таки отличается от соответствующего

уравнения для установившегося ламинарного потока

последним членом в правой части., который выражает теплообмен при турбулентном режиме и эквивалентен уравнению (8-1).
Буссинеск ввел для этого потока тепла при турбулентном режиме выражение
Чг —
где называется коэффициентом турбулентной теплопроводности. Это уравнение вместе

с уравнением (8-22) имеет большое значение для расчета

теплообмена по характеристикам потока, поскольку даже

простейшее допущение для отношения ет/ед, а именно, что

оно постоянно приводит к результатам, удовлетворительно

согласующимся с экспериментальными данными. Есть еще

более простое допущение ето/ед=1, которое эквивалентно

аналогии Рейнольдса, в чем мы сможем вскоре убедиться.

276
--------------- page: 278 -----------
За 'последние годы опубликовано много статей, в которых приводится, расчет теплообмена для различных видов

турбулентного потока на основании аналогии Рейнольдса

или на основании более общих формулировок для отношения двух коэффициентов турбулентного переноса. В этом

разделе будет в общих чертах описана основная идея всех

этих расчетов, а затем более подробно будет разо'бран метод, предложенный Карманом.
Для ламинарного потока, в котором изменения скорости

и температуры в направлении, 'нормальном потоку, значительно больше, чем изменения скорости и температуры

в направлении, параллельном потоку, уравнения на странице '253 описывают напряжения трения и тепловой поток.

Эти соотношения можно записать в виде:
х/==';р-|-; (8-26)

л (И
^ = —' Ну = Т р? ?ср Ну ’
Напряжение трения и тепловой поток, связанный с турбулентным обменом, можно записать в соответствии с уравнениями (8-22) и (8-25)
йи

Вт? йу у
(8-28)
ж- . (8’29)
Отсюда и и I можно толковать как осредненные во времени

величины. Два параметра е/п и имеют такую же размерность, как и кинематическая вязкость V, и называются коэффициентами турбулентной вязкости и переноса

тепла. Следует помнить, что эти параметры являются сложными функциями расстояния от стенки, критерия Рейнольдса

и других переменных. Аналогия Рейнольдса требует,

чтобы коэффициенты турбулентного переноса количества

движения (еот) й тепла (е?) были равны. Это легко видеть,

если разделить уравнение для турбулентного теплового потока

на уравнение напряжения трения при турбулентном режиме.

Результат будет такой:
^ = _1я_с Л
X,
<м°)
277
--------------- page: 279 -----------
При в^ — ет это уравнение идентично уравнению (8-3). Однако

данные последних опытов показали, что нельзя считать эти

два коэффициента абсолютно одинаковыми. Оказывается, что

отношение ет/ед, которое называется критерием турбулентности Прандтля (Рг,), по причинам, которые вскоре станут

ясными, имеет величину приблизительно 0,7 для потока пограничного слоя и приблизительно 0,5 для кильватерного потока за округлыми предметами и для вихревого потока:
Измерения, проведенные Сейжем [Л. 120] и его сотруд- •

никами и Людвигом [Л. 121], указали даже на то, что критерий турбулентности Прандтля не постоянен; например,

в потоке типа потока пограничного слоя он зависит от расстояния от стенки. Тем не менее проводится все еще много

вычислений на основе того,, что критерий турбулентности

Прандтля равен единице, и эти вычисления хорошо соответствуют действительности. Возникают незначительные

затруднения при использовании числового значения критерия турбулентности Прандтля, отличного от единицы,

поскольку эта величина считается постоянной для определенных условий потока. Если, однако, кто-либо попытается

сделать критерий Прандтля величиной переменной, зависящей от расстояния от стенки и других параметров, тогда

весь расчет, основанный на аналогии Рейнольдса, во многом потеряет свою эффективность.
В разделе 8-1 мы предположили, что поток либо полностью ламинарный в подслое или полностью турбулентный в ядре потока. В действительности новейшие измерения показали, что в турбулентном потоке имеется определенное количество турбулентности непосредственно у самой

поверхности. Поэтому одновременно существует и ламинарное и турбулентное трение, и общее напряжение трения и

тепловой поток следует записать в соответствии с уравнениями (8-21) и (8-24) следующим образом:
*
разом: (рует)Рг.
(8-31)
*='в/+1!,=0’+вв,)р-зр
(8-32)
278
--------------- page: 280 -----------
Первое из этих уравнений можно использовать для

вычисления коэффициента турбулентной вязкости ет, как

только становится известным поле потока. Затем эту величину можно ввести в уравнение (8-33) и рассчитать температурное поле и тепловой поток.
Уравнения количества движения и энергии (8-21) и

(8-24) для турбулентного потока .пограничного слоя,

например, можно записать >в следующем виде:.
Когда поля скорости и давления известны из измерений,

то первое из этих уравнений можно решить относительно

неизвестного еш, которое получаем как функцию координат

и, возможно, критерия Рейнольдса. Эту величину затем

можно ввести во второе уравнение и решить его относительно температуры, если Рг* известно. Чтобы получить

коэффициент турбулентной вязкости с достаточной точностью, требуется очень точное знание поля скорости,

поскольку градиенты компонентов скорости должны быть

вычислены и внесены в уравнение количества движения.

Поэтому уравнения (8-32) и (8-33) обычно используются

вместе с предположением об изменении т и вдодь координаты у.
В некоторых случаях напряжение трения известно.

Например, для полностью установившегося потока в трубе

баланс сил -сразу же указывает, что напряжение трения’

увеличивается линейно с увеличением радиуса г, а уравнение (8-32) можно использовать, чтобы вычислить коэффициент турбулентной вязкости еш, если известны напряжение трения ;на стенке хго и кривая распределения -скорости. В потоке пограничного слоя основное изменение скорости имеет место вблизи стенки, а это доказывает то, что

напряжение трения не может значительно изменяться

на этой маленькой величине. В соответствии с этим для

пограничных слоев часто допускают, что напряжение

трения постоянно по перпендикуляру к поверхности.
( д1 Ы \

\а дх ^ ду )
д
279
--------------- page: 281 -----------
В любом случае решение уравнения (8-32) относительно ет дает выражение
т
(8-36)
т
р йи/йу
которое можно использовать теперь для вычисления коэффициента турбулентной вязкости, поскольку из измерений

нам известны напряжение трения и градиент 'скорости.

После этого температурное поле определяется, если справедливо положение, что #— функция расстояния от стенки.

В потоке с пограничным слоем предположение, что 9 — величина постоянная, может дать обоснованное приближение

к действительным условиям. В потоке по каналу или

трубе <7 сильно изменяется по всей площади поперечного 4

сечения, тогда как отношение ^|x дает незначительное изменение, пока критерий Прандтля не очень мал (скажем,

около ОД). Чтобы использовать этот факт, разделим уравнение (8-33) на уравнение (8-32)
Интегрирование этого уравнения при предположении, что 9/^

постоянно и равняется <7^/^,, дает следующую зависимость

для температурного профиля:
Вычисление коэффициента турбулентной вязкости гт и

интегрирование уравнения (8-38) проводятся либо численным способом на основе измеренных профилей скорости,

либо аналитически, если известно аналитическое выражение для профиля скорости.
Карман подразделил весь (профиль скорости на три

слоя — ламинарный подслой, буферный слой и область

турбулентного ядра—для того, чтобы получить простые

выражения для аналитического расчета. Размер этих трех

областей, а также уравнения, которыми может быть описано поле скоростей каждой из них, можно видеть на

рис. 6-20. Кроме того, Карма-н предположил, что поток

в ламинарном подслое полностью ламинарный, таким

образом, член, содержащий коэффициент турбулентной

280
(8-37)
ч + Вщ Ли
и
Ли.
о
--------------- page: 282 -----------
вязкости, пропадает в уравнениям (8-32) и (8-33). С другой стороны, он предположил, что в турбулентном ядре

турбулентная вязкость намного больше, чем ламинарная

вязкость или теплопроводность. В соответствии с этим

он не учитывал члены уравнений (8-32) и (8-33), выражающие ламинарность в турбулентной зоне. Предполага-

. лось, что в буферном слое 'поток постепенно менялся

от ламинарного к турбулентному и все члены уравнений,

описывающих этот поток, учитываются. Кроме того, Карман предположил, что гт = гя или Рг*=1.
Принимая во внимание вышесказанное и предполагая,

что (7 и т — постоянные, уравнения (8-3(2) и (8-33) для

буферного слоя будут иметь вид:
Теперь при помощи этих уравнений вычислим падение

температуры в буферном слое. Второе уравнение дает:
Коэффициент турбулентной вязкости определяется из первого уравнения:
Толщина ламинарного подслоя и буферного слоя незначительна но сравнению с радиусом трубы, поэтому в пределах этих слоев напряжение трения и удельный тепловой

поток меняются лишь на очень малую величину и принимаются за постоянные. В соответствии с этим заменим %ъ

и Цъ на Хю и <7м>. Кроме того, введем безразмерные величины у+ и и+.
Из уравнений, определяющих эти величины следует, что
(8-39)
р йи
281
--------------- page: 283 -----------
Уравнение Кармана для скорости в буферном слое

«* = 5(1+1п^]
дает:
Отсюда
и
ДЛ =
Ли+/с1у+ =5/у+.
У+
8 = *Т-у
у>
йу
ь ?ерч у11Рг) + {у+15)—1

У\
30

= — \/А [

Рср у
(1/Рг)+({/ + /5).
Выполнив интегрирование, получим:
дж.. /1

ср у
Л'*=-^|/^51п(5Рг + 1)-
Линейное падение температуры в ламинарном подслое определяется из уравнения
А у,
д^=нгУ1 =
X 571
Г
Подстановка безразмерной величины у+(у* = 5) дает:
А*, = -*Ч/^-Ргу+ = —•1//' — 5Рг.
1 9ср у У1 Рс/, [/
В пределах турбулентного слоя из аналогии Рейнольдса

[уравнение (8-10)] или из интегрирования уравнения (8-37),

предположив, что <7/т = сопз1; и Рг^ = 1, получаем:
М, = — ^(и-иХ
I
Г Ь р ДО
Подстановка безразмерной величины и^ дает:
--------------- page: 284 -----------
Граница турбулентной зоны, где скорость равняется иь, фиксируется расстоянием от стенки равным у^ = 30. Поэтому,

используя уравнение Кармана йй1' = 5(1-{-1пу+/5) и у+=

= 30, получим:
[-5= — 5(1+1п6) .
‘ ^ У |уъ/р
Суммируя все перепады температур, находим полную разность температур между стенкой трубы и концом турбулентной зоны (ось трубы):
1—1=2” |/~А Г—^=^-|-5(Рг— 1) —{— 51п 5Рг,.+ 1 1 .

ю 5 90р у'
Безразмерный коэффициент теплообмена равен:
С,

Ш/Р“*{5 (Рг - 1) + 5 1п [(5 Рг + 1)/6]} '
Это решение заменяет решение (8-12), выведенное Прандт-

лем и Тэйлором. Оно справедливо как для плоской плиты,

так и для трубы.
Для того чтобы это решение можно было применить

при расчете теплообмена плоской плить1, необходимо сделать
подстановку
?ив 2
51— ЫЦ* Ке*Рг 1 + У /,/2 {5(Рг - 1) + 5 Щ [(5Рг+1 )/6]} ’
Для гладкой поверхности 1р/2 = 0,0296 (Кех)0’2 при расчете

теплообмена в трубе необходимо помнить, что коэффициент

теплообмена обычно вычисляют по средней интегральной

температуре 1В потока, тогда как'в приведенном выше уравнении применяется температура среды по оси трубы Формулы для определения напряжения трения у стенок трубы

также содержат среднюю скорость ит, а не скорость по оси
283
--------------- page: 285 -----------
трубы из, которая используется в рассматриваемой формуле.
Если обозначить ут = ит/и8 и 06 = —г Г , а также про-
8
извести подстановку %а./ри2
трубы получим:
51= №1, = ^ (у„Х)//з
Ке<*Рг 1 + ?т Ут {5 (Рг - 1) + 5 1п [(5 Рг + 1)/6]} ‘
Значение отношения скоростей можно найти из формулы (6-32) для скоростного поля при турбулентном режиме: фт = 0,82. В действительности это отношение находится в некоторой зависимости от критерия Рейнольдса.

Для определения коэффициента трения / можно применить

соотношения (6-55) или (6-56).
Используя специальную систему координат, можно

построить кривые /распределения температуры, которые

лишь незначительно зависят от критерия Рейнольдса и

которые поэтому можно назвать универсальными кривыми

распределения температуры по аналогии с универсальной

кривой распределения скорости. В формулах перепада температуры в различных слоях имеется член
яЛ?срУ^^!?)у который имеет размерность температуры.

Деление разности температур между произвольной точкой

^внутри пограничного слоя и стенкой (I—^V)) на приведенный .выше коэффициент дает безразмерную величину Д^+,

которая служит ординатой для универсальной кривой распределения температуры.
Абсцисса будет та же (*/+), как и на графике рис. 6-20.

На рис. 8-12 показаны такие кривые распределения температуры для' различных значений .критерия Прандтля. Кривая для Рг=1 идентична универсальной кривой распределения скорости, когда коэффициенты турбулентного переноса количества движения и тепла равны. Построение

кривых распределения температур по опытным данным

описанным методом дает возможность проверки правильности допущений, принятых при изложении теоретических

выкладок настоящего раздела.
Многие исследования изменили и дополнили те положения, выдвинутые Карманом, о которых шла речь

в начале этого раздела. Особенно обширной и успешной

?84
--------------- page: 286 -----------
в этом направлении можно считать работу Р. Г. Дайслера

[Л. 122]. Он использует соотношение

(с12и1йу2
(8-40)
чтобы описать турбулентный перенос количества движения

внутри турбулентного потока. Это соотношение было выведено Карманом. Для области, близкой к стенке, которая

приближенно соответствует ламинарному подслою и буферному слою на рис. 6-20, он вывел соотношение
*т — п*иу.
Универсальная кривая распределения скорости, рассчитанная при помощи этих соотношений и формулы (8-32),
Рис. 8-12. Универсальные кривые распределения

температур для случая турбулентного теплообмена в трубе.
очень хорошо совпадает с экспериментальной кривой распределения скорости (рис. 6-20), когда вводятся величины ?о = 0,36 и /г = 0,109. При этом в формулы (8-41) у заключен между у+=0 и у+ = 26, а в формуле (8-40) больше чем 26.
Универсальные кривые распределения температур

(аналогичные кривым на рис. 8-12') получаются при интегрирование уравнения (8-33) с предположением, что

Рг*=1. Тогда температурный градиент у стенки определяет

коэффициент теплообмена.
285
--------------- page: 287 -----------
Идя таким 'путем, Дайсслер смог определить теплообмен в трубе при турбулентном режиме и 'поток пограничного слоя воздуха, которые, как оказалось, хорошо совпадают с экспериментальными данными. В этих вычислениях

он полагал, что число Прандтля и удельная теплоемкость

постоянны, а вязкость и теплопроводность изменяются пропорционально степени 0,68 абсолютной температуры. Теплообмен и поток тогда зависят от дополнительного параметра р=
Ро> срт Vтяу/Рт
обратную величину безразмерной температуры, как и сделано на рис. 8-12. Дайсслер распространил свой анализ

на эффекты на входе потока в трубу, а также и на другие

потоки, включая и те, которые находятся вблизи критического состояния. Аналогичную работу по турбулентному

теплообмену, как видно из немецкой литературы, проделал

X. Рейхард [Л. 123].
Выводы этого раздела необходимо распространить

на вещества с низкими значениями критерия Прандтля,

например на расплавленные металлы. В этих веществах

нельзя не учитывать молекулярный обмен количеством

движения и тепла в турбулентной зоне, как мы это сделали в предыдущих расчетах. Такое распространение

было сделано Р. С. Мартинелли [Л. -124].
ЗАДАЧИ
8-1. Вычислите и сравните мощность, необходимую для того,, чтобы

преодолеть падение давления воздуха, проходящего через охладитель

самолета, летящего со скоростью 800 км/ч, когда канал охладителя

такой, что (а) скорость воздуха относительно самолета уменьшается

на одну десятую, прежде чем воздух входит в охладитель, (Ъ) скорость

уменьшается только на незначительную величину. Температура атмосферного воздуха составляет —45° С, и она увеличивается на 22° С при

прохождении через охладитель. Охладитель используется для охлаждения 2,7 кг/сек масла от 121 до 65° С в противотоке. Сравните также

площади поверхности теплообмена, принимая во внимание, что коэффициент теплообмена увеличивается пропорционально степени 0,8 скорости массы ри. Используйте приближение Рг=1.
8-2. Рассчитайте температурное поле и длину теплового начального

участка для турбулентного потока через трубу, заменяя действительное

поле скорости постоянной скоростью по всему поперечному сечению

трубы. Считайте, что кривая распределения температуры у стенки

аппроксимируется законом седьмой степени и используйте уравнение (11-14), чтобы описать локальный тепловой поток через поверхность трубы.
986
--------------- page: 288 -----------
Сравните результаты этих вычислений со сведениями, приведенными в разделе 8-2, и скажите, в каких точках действительные условия

будут отличаться от допущений, сделанных при этом вычислении.
8-3'. Рассчитайте тепловой пограничный слой вдоль плоской пластины на основании следующих допущений: поток ламинарен до критических значений критерия Рейнольдса Кес. Затем он быстро переходит

в турбулентный таким образом, что в!>критической точке конвективная

т<элщипа турбулентного пограничного слоя равна конвективной толщине ламинарного слоя. Поток имеет критерий Прандтля, равный 1. Выведите соотношение для среднего значения критерия Нуссельта и сравните с соотношением на стр. 271.
8-4. Вычислите коэффициенты локального теплообмена для турбулентного пограничного слоя вдоль плоской пластины, предполагая, что

разность температур между потоком и поверхностью увеличивается линейно с расстоянием от переднего края.
Используйте метод, который описан в § 7-4, и соотношения теплообмена из раздела 8-3 для ступенчатого изменения температуры стенки.
8-5. Выведите уравнение для теплообмена, вызванного турбулентным потоком над плоской пластиной, при условии, что пластина не нагрета на расстоянии х0, так что в этой части она имеет температуру,

равную температуре потока, и что вниз по течению от точки х0 она

нагревается до постоянной температуры. Используйте закон седьмой

степени, чтобы описать кривую распределения температуры и уравнение (11-14) для локального потока тепла. Вычисления обосновывайте

тем, что тепловой пограничный слой начинает образовываться при

х=хо и что этот пограничный слой перерастает в скоростной пограничный слой. Произведите интегрирование уравнения энергии пограничного

слоя. Сравните результат с уравнением -на сир. 271.
8-6. Постройте графически изменение турбулентного и ламинарного

напряжения сдвига, определенного уравнениями на рис. 6-20 и в разделе 8-4 по нормали к поверхности. Проанализируйте, на сколько действительные условия будут отличаться от тех, которые имеются в виду при

построении графика.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ

В ПОТОКЕ ПРИ ОТРЫВНЫХ ОБТЕКАНИЯХ
9-1. АНАЛИЗ ЯВЛЕНИИ ТЕПЛООБМЕНА

С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
Сведения о некоторых видах переноса тепла, которые

рассматривались выше, могли быть получены аналитическими методами. Однако для других видов наше понимание лежащих в основе процессов еще очень недостаточно,

чтобы пытаться делать какие-нибудь расчеты. Особенно

справедливым это является тогда, когда мы имеем дело

с телами, при обтекании которых поток в каком-нибудь

месте поверхности отрывается. Наиболее характерным

примером этого является труба с круглым полеречным

сечением, помещенная в потоке, перпендикулярном к ее
287
--------------- page: 289 -----------
оси. В предыдущих разделах было показано, что может

быть вычислен теплообмен лобовой части цилиндра,

у поверхности которой имеется пограничный слой.-Кормовая часть поверхности находится в области разделенного

потока, которая заполнена беспорядочными вихрями.

В настоящий момент представляется невозможным произвести для этой части какие-либо расчеты конвективного

переноса тепла. Остается только одна возможность: положиться на эксперимент и обобщать результаты путем анализа размерностей. Этот метод предполагает, что все

физические процессы могут быть выражены в виде зависимости между безразмерными параметрами’ и дает возможность найти эти параметры. Применение пространственного анализа к теплообмену позволило В. Нуссельту

[Л. 125] в фундаментальной работе, опубликованной

в 1915 г., впервые обобщить ранее полученные экспериментальные результаты и наметить новые эксперименты.

Поэтому этот год можно считать годом рождения^а^ки

о теплообмене. 'В настоя щ ёе~
дов, при помощи которых могут быть определены безразмерные параметры, которые определяют какой-либо физический процесс. Наиболее важной и трудной частью анализа является нахождение не формы параметров, а их

числа, которые полностью описывают рассматриваемый

процесс. По своему опыту автор считает, что наиболее

эффективным и верным путем получения ответа на этот

вопрос является метод, который основывается на дифференциальных уравнениях, описывающих процесс и преобразование нх в безразмерные дифференциальные уравнения. Этот метод будет здесь применен. Может быть выдвинуто возражение, что в некоторых случаях могут быть

неизвестны уравнения, описывающие процесс. Однако

позже будет показано, что требуется только приблизительное знание уравнений, так как в противном случае нельзя

произвести удовлетворительный анализ также и каким-

нибудь другим методом.
Во всех процессах, происходящих в потоке, которые

рассматривались в гл. 6, было найдено, что интересующие

нас параметры потока (толщина пограничного слоя, коэффициент трения), представленные в безразмерном виде,

были функциями критерия Рейнольдса. Подобным же

образом такие параметры процесса переноса тепла, как

критерии Нуссельта и Стантона, а также толщина теплового пограничного слоя, представленные в безразмерном
288
--------------- page: 290 -----------
виде, оказались функциями безразмерных критериев Рейнольдса и Прандтля. Теперь мы попытаемся получить эти

сведения непосредственно из дифференциальных уравнений, не решая их.
Рассмотрим сначала сам процесс. Так как мы хотим,

чтобы наши результаты включали области отрывного обтекания, то, чтобы описать этот процесс, необходимо применить уравнения Навье — Стокса. Ограничимся рассмотрением установившегося потока. В разделе 6-3 эти уравнения давались в декартовых координатах для жидкости

с постоянными физическими свойствами при отсутствии

сил тяжести. Приведем повторно уравнение для оси х и

уравнение непрерывности:
ди I ди I дт
дх~*~ду'дг '
Эти уравнения вместе с уравнениями количества движения

в направлениях у и г являются четырьмя уравнениями для

неизвестных и, V, тю, р. В дополнение к дифференциальным

уравнениям должны даваться граничные условия, описывающие характерные особенности потока. Чтобы не рассеивать нашего внимания, рассмотрим потокжидкости, перпендикулярный к оси цилиндра круглого поперечного сечения и бесконечной длины. На рис. 9-1 показано расположение цилиндра и даны необходимые граничные условия.
Предполагается, что цилиндр находится в покое и

диаметр цилиндра равен й. Соответственно скорость

на поверхности цилиндра должна равняться нулю.
Скорость выше по течению по обеим сторонам на

достаточном расстоянии от цилиндра равна и0 и принята

постоянной вдоль границ потока. Давление с наружной

границы поля потока также постоянно. Его абсолютная

величина несущественна, так как в данное выше уравнение входит только дифференциал давления.
Первым шагом анализа размерностей является преобразование дифференциальных уравнений и граничных

условий в безразмерные путем деления всех параметров,

имеющих размерность длины, на заданную длину й, а всех

параметров, имеющих размерность скорости, нах заданную

скорость и0. Давление может быть сделано безразмерным

при помощи члена ри20, в который входят постоянная

19—308
--------------- page: 291 -----------
плотность и заданная скорость а0 на границе. Обозначая

безразмерные величины штрихом, записываем:
х-4’ * = Т' г=Т'
. V
^=7-; и^т’’ т Т' р = ~^- 9-})
ио
и01 ^ и°2 к
*02
Рис. 9-1. К анализу размерностей для двух круглых цилиндров.
-Подстановка безразмерных величин в уравнение количества

движения дает:
р ^ Г м'— 4-о'—-1-ш'— \ •== — о — 4-
ау'дх'' ду>' дг') Р й дх

■ и0 /д2и' , д2и' , д2иг \
*
Это . уравнение еще не безразмерное, но может быть в

него преобразовано путем деления его на р (и20/й):
\ ~,г &и'Л-ду'ди'
дх'* ду' дг' ^ ‘ ^
(9-2)
290
--------------- page: 292 -----------
Безразмерное уравнение непрерывности имеет вид:
I оу | иш
(9-3)
граничные условия следующие:
В свободном потоке вверх по течению от цилиндра
на поверхности цилиндра м' = г/ = да' = 0.
Для безразмерного члена ри0с1/р было введено обозначение

Рей. Теперь очевидно, что путем решения дифференциальных

уравнений безразмерные зависимые переменные и', V', т', р'

будут представлены как функции независимых переменных

х', уг' и всех постоянных параметров, входящих в дифференциальные уравнения и в граничные условия. В данном

случае единственным постоянным параметром является Ре^.

Поэтому решение должно иметь следующий вид:
Следует рассмотреть сущность такого результата. Для

этого рассмотрим два цилиндра диаметром и ^2, находящиеся в двух .потоках жидкости со скоростями вверх

по течению от цилиндров, соответственно равными и01 и и02

(рис. 9-1). Из вышеприведенных уравнений следует, что

безразмерные составляющие скорости и безразмерные

давления в обоих случаях являются одними и теми же

функциями безразмерных координат и критерия Рейнольдса. Когда критерий Рейнольдса имеет одну >и ту же

величину в обоих случаях, тогда в одинаково расположенных точках (с одними и теми же безразмерными координатами) безразмерные скорости и давления будут иметь

одинаковые величины в области вокруг цилиндров / и 2.

Физические величины, которые в безразмерном виде, например безразмерные величины (иV', т', р'), изображенные графически относительно безразмерных координат

(ху', г ), становятся идентичными, называют «физически

подобными». Таким образом, во всех случаях поля скорости и давления для потока, обтекающего цилиндр, подобны

19*
(9-4)
и'= /„(•*'> У', г' Кей);
о* = /„(•*'. У'' 2'’ Ке<*);
= /»(■*'> У'^ г'> Ке„);

/ = /„(*'• «Л 2'- Ке„).
(9-5)
(9-6)
(9-7)
(9-8)
--------------- page: 293 -----------
вне зависимости от диаметра цилиндра и скорости потока

перед цилиндром, если только критерий Рейнольдса имеет

одинаковую величину всех рассматриваемых случаев.
При обобщении результатов для потока вокруг или

через тело другой геометрической формы сразу же становится очевидным, что физическое подобие в том смысле,

как мы только что рассмотрели, справедливо только для

геометрически подобных тел. Кро'ме того, из скоростей

на границах могут возникнуть другие условия, которые

необходимо выполнить, чтобы обеспечить физическое

подобие.
Когда, например, цилиндр вращается с окружной скоростью ъс на его поверхности, тогда решение дифференциальных уравнений должно удовлетворить условию,

заключающемуся в том, что вектор скорости V, характеризуемый составляющими и, V, т, идентичен по величине и

направлению со скоростью ус на поверхности цилиндра.

В безразмерном виде это граничное условие предписывает,

что на поверхности цилиндра V/ = Vс|и^, и этот параметр

появится в функциональных зависимостях (9-5) — (9-8).
Таким образом, можно утверждать, что поля скорости

и давления для установившегося потока жидкости

с постоянными свойствами подобны, -когда существует геометрическое подобие границ полей, когда скорости вдоль

границ подобны и когда критерий Рейнольдса имеет постоянную величину. Иногда условия подобия скоростей

на границах включают в себя некоторые ограничения. Они

предполагают, например, что происходящие во времени

изменения скорости также подобны. Такие изменения происходят в турбулентном потоке, и хорошо известен тот

факт, что параметры потока зависят от степени его турбулентности.
Теперь предположим, что цилиндр на рис. 9-1 находится

при температуре в то время как температура потока

перед цилиндром 10. Соответственно с этим в потоке, омывающем цилиндр, установится температурное поле, которое в принципе можно рассчитать из уравнения энергии (7-3). При установившемся режиме и постоянных

свойствах это уравнение имеет вид:
292
--------------- page: 294 -----------
Последний член в правой части означает функцию рассеяния. Для анализа размерностей достаточно рассмотреть

только первый член в этой функции, так как другие члены

по размерности идентичны с первым. Сразу, же. очевидно,

что рассматриваемый случай не зависит от уровня температуры, так как в приведенном выше уравнении появляются только дифференциалы температуры. Мы можем

поэтому измерить температуру от произвольной исходной

величины, в качестве которой выберем температуру /0-

Подставляя ® = ^—Iо безразмерную избыточную температуру 'б/ = '0,/'б«,= Ц—*о)/(*и>—М и другие параметры, которые были определены ранее, в уравнение энергии,

получаем:
Это уравнение превращается в безразмерное путем умноже-

ния его на а/рсри0Ъш:
Безразмерный параметр &/рсри0Л в первом члене правой части уравнения можно отождествить с обратной величиной

произведения Кей Рг, а параметр ри0/рс есть частное
параметра и0
через Е и назвал критерием Эккерта и критерием Рейнольдса.

Граничные условия следующие.
В свободном потоке перед цилиндром = 0, на поверхности цилиндра &'= 1.
Для того чтобы получить решение, необходимо в уравнение энергии из уравнений (9-5) —(9-7) ввести компоненты

скорости. Если бы можно было получить решение, оно имело

бы следующий вид:
Функция параметров Ре, РеРг и Е/Ре также должна выражаться как функция Ре, Рг, и Е.
(9-9)
ъ' = !(хг, у', г, Не, КеРг,^.
293
--------------- page: 295 -----------
Поэтому
»' = /(*', /, г\ Ке, Рг, Е)
В разделе 6-3 говорилось, что для скоростей, которые

обычно имеют место на практике, членом рассеяния

в уравнении энергии можно пренебречь.
Соответственно последний член в соотношении (9-10)

выпадает и безразмерное температурное поле для низкоскоростного потока характеризуется следующим выражением:
Имея в виду обобщения, сделанные ранее, приходим к следующему положению.
Температурные поля вокруг геометрически подобных

тел подобны, когда температуры и скорости вокруг границ

этих тел подобны и когда критерии Рейнольдса и Прандтля

так же, как и параметр Е, имеют постоянную величину.
Для инженерных целей теплообмен между жидкостью

(газом) и стеной цилиндра имеет очень большое значение.

Он может быть вычислен, если известен коэффициент теплообмена, который определяется уравнением
где п обозначает направление, перпендикулярное к поверхности стенки. Вводя безразмерную температуру &, получим:
Критерий Нуссельта поэтому есть не что иное, как безразмерный температурный градиент по поверхности. Дифференцируя уравнение (9-11) и подставив результат в данное

выше выражение, получим для низкоскоростного потока
где х\ у\ г' являются в данном случае координатами произвольной точки поверхности и где Ни есть локальный

критерий Нуссельта в этой точке. Среднее значение критерия

Нуссельта по всей поверхности дается выражением
Ке, Рг).
(9-11)
или
N11 = / (х', у’, г\ Ке, Рг),
(9-12)
N11 =/(Ре, Рг).
(9-13)
294
--------------- page: 296 -----------
Суммируя результаты, полученные до сих шор, можно

утверждать, что б установившемся потоке с постоянными

свойствами, обтекающем геометрически подобные тела или

проходящем по геометрически подобным каналам, все безразмерные параметры потока, например коэффициенты

трения, являются функциями 'местоположения и критерия

Рейнольдса при условии, что скорости на границах подобны. Безразмерные параметры теплообмена такие как критерий Нуссельта или Стантона, являются функциями критерия Рейнольдса, критерия Прандтля, а при высоких скоростях— функциями параметра Е при условии, что скорости и температуры вдоль границ подобны.
Предположим, что плотность потока изменяется с изменением температуры. Как следствие этого, как только появляются разности температур внутри поля, возникают

подъемные силы и эти силы вызывают свободную конвекцию, которая влияет на перенос тела.
Подъемная сила на единицу объема элемента потока

равна §(р — рй), где § означает ускорение силы тяжести,

р — действительную плотность потока в месте нахождения

элемента потока и ри — плотность, которую имел бы поток

в этом месте, если бы он не был нагрет в результате процесса теплообмена. Предположим, что разность плотностей

Д р ~ р — р^ мала по сравнению с самой плотностью р, так

что свойства потока все еще практически постоянны. Величина Др может быть выражена через разность температур

путем подстановки коэффициента термического расширения (3,
определяющегося уравнением (3= ^ ] . Так как V — 1 /р,

(IV — — (1/р2)ф, это выражение принимает вид:
При небольщой разности плотностей, вызванной изменением

температуры, мы можем поэтому записать с большой точностью:
Др — — р[Ш
и подъемная сила на единицу объема станет равной аррДЛ
295
--------------- page: 297 -----------
Когда эта сила действует по оси х, уравнение количества

движения для этого направления следующее:
В потоке с постоянными свойствами температура изменяется

только вблизи поверхностей, имеющих температуры, отличные от температуры потока. В этом случае Ы = Ь. Когда

уравнение преобразовано в безразмерное путем введения величины со штрихами, тогда последний член в правой части

приобретает вид (ё№Ът/ и1)Ъг. Постоянный член перед

дает тогда новый параметр, от которого зависит решение безразмерного уравнения. Этот параметр неудобен так как он

содержит две величины, заданные на границах: и0 и 0^. Скорость и0 может быть заменена критерием Рейнольдса

(1/Ре2). Параметр
Грасгофа (Ог). Тогда безразмерное уравнение количества движения будет следующим:
Теперь в этом уравнении появляется безразмерная температура Система уравнений (9-2), (9-3) и (9-14) и два уравнения количества движения в направлениях у и г должны

быть решены совместно.
В результате получим:
Физически это означает, что поля скорости и давления

зависят теперь от разности температур между цилиндром

и жидкостью, в то время как на них совсем не влияет

нагревание или охлаждение цилиндра, когда силы тяжести

не учитываются.
(9-14)
и' — 1и {х'у У', *'» Ке, Рг, Ог)
и два соответствующих уравнения для V' и те'
Р'^=!р(х', у', г', Яе, Рт, От);
&' = /&(•*'. У'> г', Не, Рг, Ог). р (9-17)
296
--------------- page: 298 -----------
Подъемные силы обусловливают возникновение потока

в жидкости или газе, даже когда они находятся в состоянии покоя (и0 = 0). Перемещение тепла, вызванное этим

движением, называется свободной или естественной конвекцией. Здесь критерий Рейнольдса равен нулю и поэтому

выпадает и'з решений (9-15) — (9-17) и из уравнений, описывающих безразмерные параметры теплообмена.
Например, среднее значение критерия Нуссельта для

теплообмена цилиндра равно:
Щ = /(Ог,Рг).
Во многих случаях свободной конвекции скорости так

малы, что можно пренебречь силами инерции и силами

давления по сравнению с силами вязкости и 'подъемными

силами. Это означает, что члены, находящиеся в левой

части уравнения (9-14) и двух других уравнениях количества движения, могут быть приравнены нулю. Скорость и0

равна нулю, и поэтому нельзя сделать скорости а безразмерными. Однако параметр |/
скорости и может быть употреблен для этой цели. Повторяя процедуру, которая применялась раньше, мы получим

безразмерные уравнения, которые содержат как -постоянный параметр только член ОгРг. Вследствие этого все безразмерные параметры потока и теплообмена будут функциями ОгРг. Зависимость вида
Ш=У(ОгРг)
дает нам среднее значение критерия Нуссельта.
Теперь произведем анализ размерностей для потока

с переменными свойствами. Позже можно будет увидеть,

что обычное рассмотрение такого потока невозможно.

Поэтому мы начнем с рассмотрения потока газа, свойства

которого меняются следующим образом:
* = схГ*; ср = сопз!; Рг = сопз1>
здесь /? — газовая достоянная, а Т—абсолютная температура. Легко проверить, что показатель степени в выражениях для вязкости и теплопроводности должен быть один

и тот же, когда Рг и ср постоянные величины. Рассматривая снова поток, обтекающий (круглый цилиндр, нам придется иметь дело не только с полями скорости, давления и

температуры, но также с полями плотности, вязкости и
297
--------------- page: 299 -----------
теплопроводности. Последние могут быть снова выражены условно в безразмерном виде:
о'—— * и! — — * V — —
Р Ро ’
с индексом 0, обозначающим условия на достаточном расстоянии от цилиндра. Эти поля могут легко быть определены

из следующих соотношений," когда известны поля температуры и давления:
р' = |1; ц' = 7,'“; Х' = Т'а.
Для дальнейшего анализа необходимо иметь уравнения

количества движения, непрерывности и энергии для потока

с переменными свойствами.
Однако достаточно знания пространственной структуры.

Эти уравнения ниже записаны в сокращенном в-иде:
§Иат(^) + ---|; (9'21)
+
Р си
Можно видеть, что эти уравнения совершенно подобны

уравнениям для потока с 'постоянными свойствами. Дополнительный член и(др/дх) появляется в уравнении энергии,

свидетельствуя о том, что в сжимаемом потоке температура

изменяется, когда сжатие или расширение вызвано изменением давления.
Уравнение может быть сделано безразмерным путем

введения величин со штрихами:
К-' ^+••■)=■■■}
^
Ц«'?& + ■■) = ?{“'Щ+ЖРГХ
х [ 4? (7"“1?)+ --]+^[27,'‘ (Щ+••■]•
298
--------------- page: 300 -----------
Граничные условия должны задать скорость, давление и

температуру на границах. Однако температуры здесь не

могут отсчитываться от какой-то произвольной начальной,

так как в предыдущих уравнениях появляется абсолютная

температура. В безразмерных параметрах граничные условия выражаются следующим образом:

в (свободном потоке перед цилиндром
и'=1; Г = 1; р' = 1;

на поверхности цилиндра
и' = * = ш' = 0; Г = -^
* о
(на поверхности цилиндра давление не может быть предварительно задано).
Решение системы уравнений с граничными условиями будет иметь вид:
«' = /«(•*'> У’’ г'> ^е’ Рг’ Е’
Г = /г(.к', у', г', Ке, Рг, Е, а,
В этом случае параметр Е пропорционален квадрату критерия Маха в верхней части потока, так как скорость звука

для газа с постоянным с дается выражением иа =/т ят =
= У (Т-1)срТ ;
*
с р №ш
= (Т— 1)(М)2 (7-в/Гв)_1 •
Тогда среднее значение критерия Нуссельта дается соотношением
Ии:
:/(Ке, Рг, М,1®-, а, у).
Число параметрев в функции / уже достаточно велико

и число состояний с физическим подобием соответственно

снижено. Фактически уравнения, применявшиеся выше для

описания свойств газа, являются только приближениями

к действительному состоянию. Чем более точно уравнение

описывает фактическое изменение свойств, тем больше

оно будет содержать постоянных величин и тем больше
299
--------------- page: 301 -----------
параметров появляется в безразмерных уравнениях, описывающих поток и теплообмен. Это ограничивает подобие

до такой степени, что практически оно перестает существовать. Только путем описания свойств класса жидкостей

в безразмерном виде одними и теми же уравнениями

можно сохранить подобие внутри класса и можно ожидать

получения обычных безразмерных уравнений, описывающих поток и перенос тепла.
9-2. ПОПЕРЕЧНОЕ ОМЫВАНИЕ ТРУБ И ПУЧКОВ ТРУБ
Среди тел различных форм, при омывании которых

происходит отрыв струй от поверхности, трубы круглого

сечения представляют наибольший технический интерес,

поэтому было произведено большое количество экспериментальных исследований теплоотдачи от труб. Движение

жидкости при поперечном омывании одиночной трубы рассматривалось в § 6-8. На рис. 9-2 показана интерферен-
Рис. 9-2. Интерференционная фотография

изотерм вокруг цилиндра, охлаждаемого

потоком, нормальным к его оси, Ке =
= 1260 (по Э. Эккерту и Э. Зойенгену).
ционная фотография температурного поля вокруг нагретого цилиндра..
Темные линии вокруг сечения цилиндра являются

линиями постоянной температуры. На фотографии также

виден термический пограничный слой на передней половине цилиндра. С кормовой половины цилиндра тоже существует своего рода пограничный слой. Здесь происходит

падение температуры от значения на поверхности цилиндра до темепратуры в вихревой зоне. Поток, заснятый

300
--------------- page: 302 -----------
на фотографии, характеризуется небольшим критерием

Рейнольдса. При более высоких значениях критерия Рейнольдса пограничный слой бывает тоньше и изотермы

в вихревой зоне имеют более переменный и неправильный

характер.
Распределение локальных значений коэффициента теплообмена на поверхности цилиндра показано на рис. 9-3

и 9-4.
Теплоотдача с 'передней стороны труб рассматривалась

в разделе 7-5 и представлена графиком на рис. 7-11. Теплоотдача с кормовой стороны происходит ,в .вихревой зоне,

а 'наши познания о ней 'весьма

ограничены. При низких значениях критерия Рейнольдса теплоотдача с передней стороны больше, чем с задней. С возрастанием

значений критерия Рейнольдса

тепловой поток с кормовой стороны увеличивается и при =
= 50 000 достигает такого же значения, как и с передней стороны. Объясняется это тем, что за-

вихрения, отрываясь .поперемен -

но то с правой, то с левой стороны цилиндра, омывают поверхности задней половины цилиндра

с интенсивностью, возрастающей

вместе с увеличением критерия
Рейнольдса. Если пограничный Рис 9.3 Распределение зна.

слои ,переходит в турбулентный чений локального коэффи-

ПОТОК до отрыта его ОТ поверх- циента теплообмена по пери-
ности, картина растре деления метРУ цилиндра припопереч-

г
локальных значении коэффи-
циента теплообмена .по поверхности становится иной. Это происходит, когда значение критерия Рейнольдса превышает Ке<г = 4-105.
Из графика рис. 9-4 видно, что при высоких значениях

критерия Рейнольдса значения коэффициента теплообмена

резко возрастают на угловом расстоянии 100° от лобовой

образующей. Это указывает на изменение режима движения среды в пограничном слое. Рассматривая теплообмен

при продольном омывании плиты, мы видели, что интен-

сивность теплообмена значительно повышалась в точке, где

ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный.
301
--------------- page: 303 -----------
Отрыв струй от поверхности цилиндра, вероятно, происходит близ второго минимума кривой значений коэффициента теплообмена.
При расчетах теплообменников наибольший интерес

представляет общее количество тепла, отдаваемого трубой
или трубе, или, что то же самое, среднее значение коэффициента теплообмена для всей окружности трубы.
Р. Хильперт [Л. 127] .произвел точные экспериментальные определения среднего значения коэффициента теплообмена для 'потока воздуха. На рис. 9-5 дан график

результатов опытов. Значения критериев Нуссельта и

Рейнольдса вычислены по диаметру трубы как определяющему отрезку и скорости потока до встречи с трубой как

определяющей скорости. Из графика рис. 9-5 и из результатов других экспериментов, особенно при низких 'критериях Рейнольдса, видно, что для различных значений кри-

302
Рис. 9-4. Распределение значений локального коэффициента теплообмена по периметру цилиндра при поперечном омывании последнего [Л. 355].
--------------- page: 304 -----------
терия Рейнольдса справедливо следующее соотношение

. [Л. 128]:
Ыи, = 0,43 + с (!?е/\
« ,"аь!— 1
Диаметр Диаметр

+Продолока №1 0,0189мм о Труба №8 2,99мм

- х .> 2 0ЩЦ5 • ^ м 9 25,0 •*
« » « 3 0,050 » ? п « 10 т,0 ”
* » Ч 0,099 •> 6 » И до,0 ”
Ом »» в 0,500 *» й »»12 150,0 п

л » 7 1,000 •>
У

***
ЬдНе$
|| 1 ^
0
Рис. 9-5. Среднее значение коэффициента теплообмена по периметру цилиндра при поперечном омывании последнего [Л. 356].
Числовые значения коэффициента с и показателя степени т даются в табл. 9-1.
Таблица 9-1
Значения сит для расчета теплообмена цилиндра

кругового сечения при поперечном омывании

последнего потоком воздуха [см. уравнение (9-28)]
[Л. 356]
с
т
1—4 ООО
0,48
0,5
4 000—40 000
0,174
0,618
40 000—400 000
0,0239
0,805
X. я. Дуглас и С. В. Черчилл [Л. 129] в недавно опубликованной работе пришли к выводу, что все имеющиеся

достоверные сведения, включая опыты при температурах

газа 15,5—982° С и температурах стенки 21—1 046° С, могут

быть представлены одной линией, когда при подсчете критерия Нуссельта теплопроводность и при подсчете критерия Рейнольдса вязкость вычисляются при температуре,
303
--------------- page: 305 -----------
равной среднему арифметическому температуры верхней

части потока 'и температуры стенки.
Высокий уровень турбулентности в приближающемся

потоке увеличивает не только средний коэффициент переноса тепла, но также и локальный перенос тепла на верхней части цилиндрической .поверхности, которую -покрывают ламинарный пограничный слой [Л. 130]. Увеличения

N11^ до 25% были получены для уровней турбулентности
ДО 7%'.
Теплообмен с передней стороны трубы можно рассчитать при помощи уравнения теплового потока через пограничный слой. На графике рис. 7-11 дано сравнение расчетных и опытных данных; отношение количества передаваемого тепла к потере количества движения (потери, обусловленные трением) в пограничном слое на передней стороне трубы довольно хорошо согласуется с результатами,

полученными посредством формулы (8-7), хотя при ускоренном движении среды вдоль поверхности трубы допущения, принятые при выводе этой формулы, выполняются не

совсем строго. Для высоких значений критерия Рейнольдса

общее сопротивление трубы обусловливается главным

образом силами трения.
В этом случае уравнение (8-7) дает .приближенно величину отношения общего 'количества передаваемого тепла (}

к общему сопротивлению ь/?. При значениях критерия Рейнольдса, превышающих 1 ООО, в потоке появляется вихревая зона и сопротивление формы, возникающее благодаря

наличию этой зоны, превышает потери трения, как говорилось в § 6-8. Однако теплообмен на кормовой половине

трубы лишь приблизительно равен теплообмену на передней половине. Из этого следует, что тела, за которыми

в потоке образуется вихревая зона, в смысле отношения

количества передаваемого тепла к сопротивлению хуже тех

тел, за которыми такая зона не образуется. Для количественных сравнений полезно применять следующий безразмерный комплекс:
а=(ВД[С,(1.-УЙ-
Для пограничного слоя потока жидкости, характеризуемой критерием Прандтля Рг = 1, эта величина согласно

уравнению (8-8) равняется единице. Для случая поперечного омывания трубы при числах Рейнольдса 2 ООО—

40 ООО значение Й 'колеблется от 10 до 40. Если принимать

во внимание количество передаваемого тепла на единицу

304
--------------- page: 306 -----------
площади, то поверхность, находящаяся в вихревой зоне,

оказывается приблизительно настолько же эффективной,

как и поверхность в зоне пограничного слоя (см. графики

рис. 9-3 -и 9-4). В этом смысле труба с обтекаемым

поперечньгм сечением не имеет преимуществ перед трубой

круглого сечения.
Опытами с различными жидкостями (вода, масло) была

определена зависимость коэффициента теплообмена от

значения критерия Прандтля. Эта зависимость выражается

следующей формулой:
Ний = 0,43 + Я(Ке4)я(Рг)0.а. ' (9-29)
Пользуясь значениями табл. 9-<1, с помощью формулы (9-29) можно рассчитать теплообмен для любой

жидкости, используя соотношение /(=1,11С. В табл. 9-2

даны значения коэффициента С и показателя степени т

формулы (9-!28) для труб различного сечения согласно

данным Р. Хильперта.
Таблица 9-2
Коэффициенты для расчета теплообмена от труб различного

поперечного сечения к потоку воздуха, нормального к оси

труб, по формуле (9-28) [Л. 357]
Поперечное сечение
Кеа
с
т
-> п
5 000—100 000
0,0921
0,675
_ /\
5 000—100 000
0,222
0,588
\/
5 000—100 000
0,138
0,638
5 000—19 500
0,144
0,638
-(V
19 500—100 000
0,0347
0,782
\/
Критерии Нуссельта и Рейнольдса определяются по

диаметру трубы круглого сечения с равновеликой площадью.
Теплообмен при поперечном омывании пучка труб зависит от расположения труб. Э. Д. Гримизон [Л. 131] систематизировал имеющиеся в этой области опытные данные.

Существует два возможных расположения труб в пучках:

коридорное и шахматное (рис. 9-6). Коэффициент теплообмена может быть снова представлен в форме уравне20—308
--------------- page: 307 -----------
ния (9-28), в котором первым членом можно пренебречь

для рассматриваемой области чисел Ке. В качестве определяющей скорости берут среднюю скорость движения

среды в самом узком сечении между трубами.
Значения коэффициента С и показателя степени т сведены в табл. 9-3. Для значений отношений а = 3[/(1 и
Ь = 82/с1, больших, чем те, которые даны в таблице, можно

применять формулу Р. Бенке:
Эта формула и значения табл. 9-3 справедливы для

теплообмена в воздухе.
Для других сред постоянные необходимо определять

таким же образом, как и для одиночных труб. Рекомендуется, чтобы значения физических параметров определились по температуре, подсчитанной по формуле (8-16).
Формулы справедливы для пучков труб с десятью и

более рядами. Для меньшего числа "рядов труб средний

коэффициент теплообмена пучка имеет меньшее значение;

так, например, коэффициент теплообмена для пучка

из четырех рядов труб меньше на 12%. Первый ряд труб

имеет приблизительно такой же коэффициент теплообмена,

как и одиночная труба.
Падение давления Ар в потоке через пучок труб определяется из формулы
ф- ф ф ф- ф-ф-
I I II
а
Рис. 9-6. Пуччи труб с коридорным и шахматным расположением.
(9-30)
Ар = ф^г,
(9-31)
306
--------------- page: 308 -----------
Таблица 9-3
Значения коэффициентов для расчета теплообмена от пучка

труб при поперечном омывании его потоком воздуха при

помощи уравнения (9-28) [Л. 358]
—2 000 — 40 000; а — 6=$2/<2 (рис. 9-6)
а
1,2Г>
1,5
2
3
ь
С | т
С
т
С { т
С
т
Коридорное р
1,25
0,348
0,592
0,275
1,5
0,367
0,586
0,250
2
0,418
0,570
0,299
3
0,290
0,601
0,357
Шахматное ра
0,6
0,9
1
0,497
1,125
1,25
0,518
0,556
0,505
1,5
0,451
0,568
0,460
2
0,404
0,572
0,416
3
0,310
0,592
0,356
асположение
0,608
0,620
0,602
0,584
0,100
0,101
0,229
0,374
0,704
0,702
0,632
0,581
0,0633
0,0678
0,198
0,286
0,752
0,744
0,648
0,608
сположение
0,213
0,636
0,446
0,571
0,401
0,581
0,558
0,478
0,565
0,518
0,560
0,554
0,519
0,556
0,522
0,562
0,562
0,452
0,568
0,488
0,568
0,568
0,482
0,556
0,449
0,570
0,580
0,440
0,562
0,421
0,574
где п — количество рядов в направлении потока;

р — плотность жидкости (воздуха);

и — средняя скорость между трубами.
Величина коэффициента сопротивления \ определяется

по графикам рис. 9-7 и 9-8, составленным по Гримизону.

Значения физических параметров и в этом случае определяются по температуре, находимой по формуле (8-16).

Графики рис. 9-7 и 9-8 справедливы для десяти и более

рядов труб. Пучки из меньшего количества рядов обладают более высокими значениями коэффициента сопротивления. Так, например, значение коэффициента сопротивления пучка из четырех рядов больше на 8%. Для

шероховатой поверхности значения коэффициентов теплообмена и сопротивления возрастают. Для очень шероховатых поверхностей зарегистрировано возрастание до 20%.
В последнее время собрано много экспериментального

материала по компактным теплообменникам, имеющим

большие теплообменные площади, приходящиеся на единицу объема. Это достигается путем использования узких

щелей, применения оребрения и других развитых «поверх-

20*
--------------- page: 309 -----------
Рис. 9-7. Значения коэффициента сопротивления пучка труб с коридорным расположением [Л. 358].
--------------- page: 310 -----------
ностей. Полезные сведения содержатся в книге В. М. Кейза

и А. А. Лондона [Л. 132]. Книга также содержит ценные

сведения по трению и переносу тепла, связанные с потоком через отдельные трубы.
Еще мало сведений имеется по пучкам труб, омываемым в аксиальном направлении. 'Практически они могут
Рис. 9-8. Значения коэффициента сопротивления пучка труб

с коридорным расположением [Л. 358].
быть рассчитаны с помощью уравнения (8-14). Значение

гидравлического диаметра здесь вычисляется по формуле
й}1 = й —1^. При сравнении различных расположений
труб в пучках по энергии, необходимой для движения воздуха через пучок в системах охлаждения таких машин,

как самолеты, автомобили, локомативы и пр., можно применять безразмерную величину й. Для систем охлаждения

машин указанного типа важно иметь как можно меньшую

лобовую поверхность, так как именно последняя определяет любое сопротивление системы охлаждения. Если требуется, чтобы системы охлаждения с различным расположением труб обладали одинаковой лобовой поверхностью,

то в формуле Й—Ср{1т—1ю)/ит2] скорость ыт должна

иметь определенное значение. Кроме того, при данной разности температур (1т—^го) должно передаваться определенное количество тепла <2. Отсюда энергия, необходимая

для передачи единицы теплового потока^ пропорциональна

значению й. Для случая поперечного омьгвания газом
309
--------------- page: 311 -----------
пучка труб круглого сечения значение й заключено между

1,5 и 10. Чем теснее расположены трубы, тем меньше значение 62. Для труб, омываемых газом параллельно расположению их осей, и для случая .поперечного омывания

труб обтекаемого по-перечного сечения й«1. Следовательно, именно такие системы выгодны для рассматриваемых случаев.
Для теплообменников стационарных установок наибольшую важность имеет величина поверхности нагрева,

так как главным образом от этого зависят и вес и стоимость установки. Отсюда возникает вопрос: какое расположение труб обеспечивает данный теплообмен при данном падении давления и наименьшей поверхности нагрева?

Найдено, что для каждого расположения требуется в зависимости от коэффициента теплообмена определенная скорость.
Расчеты [Л. 133] показывают, что лучшие результаты

дают трубы при поперечном, а не параллельном омывании.

В последнем случае падение давления при одной и той

же поверхности нагрева бывает в 3—15 |раз больше. При

более тесном расположении данного количества труб

в рядах, чем достигается уменьшение требуемого количества рядов, можно обеспечить данную теплоотдачу с одновременным снижением общего .падения давления ’при прохождении потока через пучок труб. 'Поэтому в таких теплообменниках расстояние между трубами выгодно делать

настолько малым, насколько позволяют условия производства теплообъемников и ухода за ними. В отношении падения давления между коридорными и шахматными пучками

нет почти никакой разницы. Лишь при низких значениях

критерия Рейнольдса шахматное расположение оказывается несколько более выгодным.
На рис. 9-9 и 9-10 приводятся фотографии движения

газа через два пучка труб; эти фотографии были сделаны,

согласно предложению X. Тома [Л. 134]. Пористая поверхность труб была пропитана хлористоводородной кислотой,

а к воздуху были примешаны пары аммиака. В местах, где

пары аммиака смешивались с парами хлористоводородной

кислоты, образовывался белый туман из частиц хлористого аммония. Таким образом, пограничные слои и вихревые зоны стали видимыми; вместе с ними стала видимой

зона нагрева или охлаждения потока воздуха от труб.
Пример 9-1. Четыре ряда труб (коридорного расположения) в паровом котле омываются перпендикулярным потоком топочных газов
310
--------------- page: 312 -----------
при температуре 595° С и скорости 7,32 м/сек. Давление пара

1 000 000 кГ/мК Диаметр труб 61 мм; они расположены по квадрату <со

стороной 122 мм. Требуется определить коэффициент теплообмена и падение давления.
Температура насыщенного водяного пара при давлении

1 000 000 кГ/м21р авша 309° С.
Вследствие большого значения коэффициента теплообмена со стороны, омываемой водой, и высокой теплопроводности стенок труб температура внешней поверхности труб лишь слегка выше температуры

пара. Предположим, что она равняется 315° С. Физические параметры

газа определяются по температуре I *, вычисляемой по формуле (8-16), т. е.
Рис. 9-9. и 9-10. Движение газа через пучки труб [Л. 359].
где коэффициент (0,1 Рг + 40)/(Рг + 72) для простоты был взят равным

половине. Так как физические параметры топочных газов незначительно

отличаются от параметров воздуха, то все расчеты можно производить,

применяя физические параметры воздуха. Из таблицы приложения находим:
Так как а ~Ь — 2, то ИЗ' табл, 9-3 С = 0,229, т — 0,632 и, пользуясь формулой (9-28), находим:
^ = 7,4* 10~5 м2/сек\ X = 0,0505 ккал/м-ч-град.
Отсюда
Кий =0,229-6 ОЗО0'632 = 56,6.
311
--------------- page: 313 -----------
Теперь определим коэффициент теплообмена:
X
а = —д N11^ = д 00^ 56,6 = 46,7 ккал/м2-ч-град.
Это значение справедливо для десяти и более рядов труб. Для

четырех рядов коэффициент теплообмена меньше на 12%. Следовательно,
а = 41,7 ккал/м2-ч-град.
Перепад давлений вычисляем по формуле (9-31). Плотность лучше

всего брать при температуре газа:
р = 0,4 кг\мъ.
Коэффициент сопротивления определяем из уравнения (9-7):
/ = 0,225.
Отсюда
(7,32)2
Ар = 4.0,225«0,4= °>96 кГ/м*.
9-3. ШАРЫ И НАСАДКИ
Перенос тепла на поверхности шаров определяется

условиями потока, которые 'мы рассматривали в § 6-9.

Ламинарный пограничный слой покрывает часть поверхности вверх по потоку, который отрывается от поверхности

шара, создавая хаотическое течение потока вдоль его нижней части. На поверхности шара при больших числах Рейнольдса пограничный слой может стать турбулентным. Это

повлияет на местоположение отрыва потока. Возле передней критической точки округленного тела скорость потока

изменяется с изменением расстояния от точки согласно

уравнению
и = Сх.
Для потенциального потока, обтекающего шар радиусом г, постоянная С равна Зи0/2г (и0 — скорость сво;

бодного потока). Коэффициент теплообмена в этой области может быть вычислен из решения уравнений пограничного слоя для осесимметричного потока. Результатом

является решение, которое будет справедливым для

любого осесимметричного округленного тела:
№1, = /(Рг)/%,
где Ми*=шД и Кех = мл:/у (х—расстояние от критической

точки, измеренное вдоль поверхности, и и — локальная скорость) [Л. 135]. Функция /(Рг) может быть аппроксимиро-

312
--------------- page: 314 -----------
вана для 0,5<Рг<5 величиной /(Рг) =0,700 Рг0’4. Вблизи

критической точки согласно уравнениям (9-32) и (9-33)

перенос тепла не зависит от расстояния х. Для точек, находящихся на больших расстояниях от критической точки,

точное решение дифференциальных уравнений, описывающих поток и «перенос тепла в пограничном слое, требует

сложных вычислений. Приближенные решения уравнений

ламинарного пограничного слоя могут быть получены методами, весьма похожими на те, которые давались для двухмерного потока вокруг цилиндрических тел [Л. 136].

Интегрируемые уравнения движения и энергии для двухмерного потока можно применить также к осесимметричному потоку, заменив лишь чпервый член в левой части

уравнения (6-13) на величину
С помощью этих уравнений можно определить развитие

гидродинамического и теплового пограничных слоев для

любой поверхности, когда расстояние г поверхности от оси

вращения задано в функции от х (х — расстояние от критической точки, измеренное вдоль поверхности).
Сведения по осесимметричному потоку можно получить,

применив преобразования Манглера. В предыдущем параграфе было рассмотрено преобразование уравнения движения. Подобное преобразование может быть применено и

к уравнению энергии пограничного слоя и означает, что

осесимметричный поток может быть найден для каждого

двухмерного пограничного слоя и что температурные поля

для двух состояний идентичны при условии, если граничные условия на этом поле одинаковы для двух форм

потока.
Пример 9-2. Преобразование Манглера применимо также и к вычислению переноса тепла для ламинарного сверхзвукового потока, обтекающего конус. Теория невязкого потока, обтекающего конус, показывает, что для осесимметричного потока со сверхзвуковыми скоростями

давление вдоль поверхности конуса постоянно, когда число Маха достаточно велико для образования ударной волны. Поэтому если этот осесимметричный поток сравнивается с двухмерным потоком вдоль плоской пластины, для которого давление вдоль поверхности также постои первый член в уравнении энергии (7-2) на
(1/г) (а/ах) г ^ и ({3 — {) йу.
313
--------------- page: 315 -----------
янно, то требование одинакового распределения давления вдоль поверхностей автоматически удовлетворяется. Радиус г для конуса с углом

раскрытия р равен:
Г = X 51П %
Введение этой величины в уравнение (6-51) дает:

л:
х=— Гг2Л у — 5Ш2 Р ^_ = ^_
С2 ]
о
Для потока с постоянными свойствами в ламинарном пограничном

слое вдоль плоской пластины коэффициент теплообмена может быть

выражен следующим соотношением [см. уравнение (7-14)]:
N11-
0,332/Рг.
Я
В размерном виде это уравнение примет вид:

ах / /" и3 х
7 V ~
Т/ У = 0,332 (/''Рг.
Коэффициент теплообмена связан с температурным полем внутри

пограничного слоя следующим уравнением:
К

,-(з \дУ)ю'
Последние два уравнения можно теперь объединить, а результат может

быть преобразован путем замены переменных х и у величинами х и~у:
-т4г~(Щ Ы ^ - 0.332
(з \ ду / а>/ У у
х
= Т^\ду)ю1 V **
Возвращаясь снова к безразмерным параметрам, можно получить

следующее решение, описывающее перенос тепла на поверхности конуса в ламинарном осесимметричном потоке:
—^= = УЗ •0,3321^Рг = 0,576 ^Рг.
Ь Ке,
Средний коэффициент «переноса тепла для шара нельзя

получить путем расчета, так как мы не можем еще вычислить перенос тепла в области отделившегося потока

на части шара вниз по потоку.
*
--------------- page: 316 -----------
У. Григуллем [Л. 137] на основании экспериментов

предложено соотношение (для 20<Ке< 150 ООО)
Для меньших чисел Рейнольдса правильно описывать реальные условия должно соотношение
Для Ке-^0 это соотношение обращается в N^='2, что

имеет место для переноса тепла только теплопроводностью

[см. уравнение (3-10) для /*0 = оо].
Поток жидкости и перенос тепла через насадки часто

встречаются в инженерной практике. Так, в химической

промышленности применяют такие устройства, ка>к теплообменники типа батарей (резервуар, аккумулятор), воздухоувлажнительное оборудование и аппараты. Сюда же

относится поток через агломерационные и пористые материалы.
Одной из основных трудностей для аналитического

описания падения давления и переноса тепла в таких насадках является большое разнообразие и недостаточное

определение участвующих в процессе геометрий. В этом

параграфе будет рассмотрено только одно устройство,

а именно насадка, состоящая из сферических частиц одного

размера [Л. 138]. Было найдено, что соотношения, описывающие условия в такой насадке, могут быть использованы

с достаточной точностью и для насадок неправильной

формы, если их форма не очень сильно отличается от шара.

В этом случае рекомендуется в уравнениях вместо диаметра частицы применять выражение
в котором 5Р означает площадь поверхности на единицу

объема. Важным параметром при описании уплотненного

слоя является пористость е, определяемая ка>к отношение

объема пустот (пор) ко всему объему. Когда поток направлен вверх через уплотненный слой, то при определенной скорости жидкость начинает поднимать частицы так,

что они будут двигаться друг относительно друга. Слой

находится теперь в «текучем состоянии». В таком состоянии средняя пористость значительно больше, чем в условиях низких скоростей потока. Ожижение часто не дает
Кий = 0,37(Ке/'б(Рг),/3.
(9-34)
= 2 + 0,37 (Ее/'6 (Рг),/3.
(9-36)
315
--------------- page: 317 -----------
однородной плотности. Например, когда частицы небольшие, воздух стремится создать переплетающиеся волокнистые каналы. В слоях, состоящих из частиц неодинаковых

размеров, часто возникает разделение частиц: меньшие

частицы постепенно сосредоточиваются возле верхней границы слоя. Частицы в ожиженном слое находятся в непрерывном движении и происходит их энергичное смешивание.

Зависимости для перепада давлений и переноса тепла

в ожиженном слое определяются действительным состоянием, поэтому их весьма трудно описать. В этой области

еще предстоит много исследований.
Эрган [Л. 139] сделал современный обзор исследований

по перепаду давлений Ар в неподвижном уплотненном

слое -высотой I, состоящем из шаровых частиц диаметром (/р, и вывел на основании экспериментов следующую

зависимость:
АР ар е3 _ 1501,75
1 Р^о2 1—6
для пористости е между 0,40 и 0,65. В приведенном уравнении р — плотность жидкости и У0 — скорость, которую имела

бы жидкость, если бы не было ни одной частицы (скорость

подхода).
Число Рейнольдса находится по скорости подхода и диаметру частицы:
Ке,=^.
Р
Уравнение (9-37) может быть приведено к виду:
Др^а^ + йрУ2,
в котором параметры а и Ъ зависят только от геометрии

слоя. Часто это уравнение трактуют как показывающее,

что все сопротивление состоит из вязкостной части (первый

член) и местного сопротивления (второй член). На

рис. 9-11 приведен график зависимости, полученной из этого выражения.
Расположение частиц и пористость слоя обычно различны возле боковых стен с его внутренней стороны. Соответственно вышеприведенное соотношение справедливо

только до тех пор, пока диаметр всего слоя по крайней

мере в 10 раз больше диаметра частицы. Для меньших

слоев найдено, что сопротивление больше из-за трения

жидкости на стенке.
316
--------------- page: 318 -----------
В текучем состоянии падение давления должно быть

равным весу слоя, поэтому начало состояния текучести

может быть вычислено следующим образом:
Ар
Т=ё?р.
Плотность частицы рр определяется как 'плотность слоя

в уплотненном состоянии, предшествующем состоянию

текучести. Уравнение (9-37) для перепада давлений может
Рис. 9-11. Общая корреляция для падения давления

в уплотненном слое [Л. 360],
быть использовано для вычисления скорости подхода 1/0

для начального состояния текучести. Расширение слоя

от текучести происходит от 20 до 50%.
Перенос тепла в беспорядочно уплотненных слоях,

состоящих из шаров, измерить очень трудно, и поэтому

он мало изучен. Зависимость, которая описывает довольно

хорошо условия переноса тепла, была получена В. X. Дентоном [Л. 140]:
Ыир = 0,80(Ке/7(рг)
1/3
Эта зависимость справедлива для диапазона чисел Рейнольдса приблизительно 500—50 000 и для пористости

8=0,370. Параметры в уравнении базируются на диаметре

шара. Значительное расцро,стданение данных, полученных

различными исследователями, должно быть объяснено
%
--------------- page: 319 -----------
наличием большого числа неизвестных эффектов и особенно сложной геометрией. Ситуация еще 'более неопределенна в слое в текучем состоянии. В этом состоянии были

найдены заниженные значения для коэффициентов переноса тепла.
В практике очень важно уметь определять тепло, переданное от жидкости и слоя к стенкам сосуда, несущего

слой. Этот случай, однако, не будет здесь рассматриваться

из-за недостатка места.
ЗАДАЧИ
9-1. Проведите анализ размерностей для потока и теплообмена

масла через трубу или канал, предположив, что все параметры, за исключением вязкости, могут рассматриватсья как постоянные. Было обнаружено, что зависимость вязкости большинства масел от температуры

может быть хорошо аппроксимирована выражением [Л=С/(Г—Го)4, где

7'о — характеристическая температура, которую необходимо экспериментально установить. Принимая эту зависимость для вязкости, установите безразмерные параметры, от которых зависит число Нуссельта.
9-2. Коэффициенты теплообмена отдельных труб в пучке часто

измеряются следующим образом. Пучок состоит из ненагретых труб, и

только одна труба считается нагретой и измеряются поток тепла через

ее .поверхность, температура поверхности и температура газа. Из этих

данных вычисляется средний коэффициент теплообмена на поверхности

этой трубы. Выясните, будет ли этот коэффициент теплообмена тем же,

что и для случая, когда труба окружена пучком труб, которые нагреты

до той же температуры поверхности. Если вы ожидаете несоответствий,

объясните, почему и при каких условиях несоответствия должны исчезнуть.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ТЕПЛООБМЕНА

10-1. ТЕПЛООБМЕН ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
В жидкости, движущейся с достаточно высокой скоростью, энергия, преобразованная внутренним трением

в тепло, вызывает значительное увеличение температуры.

Это возрастание температуры важно, например, в подшипниках, где температура в пленке масла обусловлена внутренним тепловыделением, или в высокоскоростных самолетах, где теплообмен с поверхностью происходит при

высоких дозвуковых или сверхзвуковых скоростях. В этом

разделе будут рассмотрены две геометрии потока, в которых на перенос тепла влияет внутреннее трение. Первая

геометрия выбрана ввиду простоты вычислений и наглядности, вторая — ввиду ее важности для инженерной прак-

318
--------------- page: 320 -----------
тики. Будет принято, что в обоих случаях свойства жидкости можно считать постоянными.
П.оток КйЭТТ# Представим себе две параллельные

пластины, одня из .которых находится в состоянии покоя,

в то время как другая движется со скоростью щ. Система

координат выбрана, как показано на рис. 10-1. Пространство между двумя пластинами заполнено жидкостью,

и мы рассматриваем .поток на достаточном расстоянии

от входа, так что его можно считать полностью установившимся. Это означает, что никакой параметр потока

не зависит от направления х, параллельного поверхностям

пластин. Движущаяся пластина может быть охлаждена

до постоянной температуры 1\у в то врем>я ка,к пластину 0

можно считать адиабатной по отношению к потоку тепла.

Если жидкость вязкая, то для

движения пластины 1 требуется приложение силы и соответственно внутри жидкости установится напряжение сдвига т=
= с1и/с1у. Из простого баланса

сил следует, что напряжение

трения в любой плоскости, параллельной пластине, имеет

одинаковую величину. Согласно уравнению йи1йу = %1\ъ =
= сопз1 можно заключить, что профиль скорости и является

линейным, как показано на рисунке.
Рассматривая теперь энергию внутри жидкости, мы

видим, что энергия непрерывно передается вниз через

жидкость от пластины 1 к пластине 0. Количество переданной через пластину работы на расстояние у на единицу

площади в единицу времени равно их = и\к (йи/йу). Если

мы рассмотрим пространство между двумя пластинами,

находящимися друг от друга на расстоянии с1у, то энергия,

накопленная в этом слое, будет:
й ( йи \ <
ту{^^уу=^{ц) *>•
где выражение справа получено с учетом, что й2и/с12у = 0.

Эта энергия превращается в тепло. С точки зрения баланса

тепла внутреннее трение' поэтому эквивалентно тепловым

источникам, расположенным по всему объему жидкости.

В рассматриваемом случае эти тепловые источники
Рис. 10-1. Схема потока

Кетте.
319
--------------- page: 321 -----------
являются локально постоянными и имеют мощность на

единицу объема
При стационарных условиях это тепло должно быть

удалено из слоя теплопроводностью. Теплообмена путем

конвекции не будет происходить потому, что температура

принимается постоянной по направлению потока. Поэтому

мы имеем такое же положение, как и с плоской стенкой

с постоянными внутренними источниками тепла. Соответственно решение для этого случая, рассмотренное в § 3-6,

может быть применено и в данном случае и температура

по всей жидкости находится из уравнения (3-54):
*
(10-1)
Граничные условия для температурного поля при этом

следующие:
1 = при у = Ь\
^ = 0 при 0 = 0.
Учитывая, что температурный профиль может быть выражен следующим образом:
2 2

м иI /,2
/_/
1 с1
где с — удельная теплоемкость жидкости, мы видим, что

температурный профиль имеет форму параболы с вершиной на плоскости 0, Следовательно, вследствие внутреннего

трения эта плоскость приобретает температуру, более

высокую, чем температура охлажденной пластины 1. Температура, которую принимает поверхность под влиянием

внутреннего трения, называется температурой восстановления. Разность между температурой восстановления ^г0 пластины 0 и температурой пластины 1 оказывается равной
*,о-*1 = (Рг)^-.
320
--------------- page: 322 -----------
Часто эта разность температур приводится к безразмерному виду путем деления на параметр и\2/2с, а результирующая величина называется коэффициентом восстановления температуры г. Таким образом,

коэффициент восстановления для потока Кетте равен:
г = Рг.
Для случая, когда поверхность 0 находится при температуре 1\, обусловленной охлаждением, и движущаяся поверхность 1 адиабатна к потоку тепла, расчет дает разность

температур Iго—^1, которая теперь является температурой

восстановления поверхности 1 минус ^ и есть такая же

величина, как и (полученная в предыдущем расчете. Эта

геометрия почти точно напоминает условия в подшипнике,

в котором стержень, образующий движущуюся поверхность,

не охлаждается, в то время как наружная часть подшипника, соответствующая поверхности 0, поддерживается путем охлаждения при (постоянной температуре. Уравнение

(10-2) можно применить для вычисления разности температур между стержнем и наружной поверхностью (подшипника. В действительности условия в подшипнике более

сложны, особенно из-за ограниченной длины подшипника,

которая вызывает теплопроводность в аксиальном направлении1.
В качестве следующего шага рассмотрим случай, когда

обе пластины имеют температуры, заданные внешними

условиями. Граничные условия для этого случая следующие:
^ = при у = 0;
( = (г при У = Ь.
Вычисление постоянных в уравнении (10-1) из этих граничных условий дает:
/ — / _ _^1_ 11. л. ^
1
Тепловой поток к поверхности 0 находим из выражения
--------------- page: 323 -----------
Это выражение может быть упрощено путем введения

температуры восстановления. Комбинируя последнее уравнение с уравнениями (10-2) получаем:
=
Это уравнение выражает закон, который мы сможем

применять вообще для любого .высокоскоростного штока.

Тепловой поток на поверхности, ограничивающей высокоскоростной поток, может быть вычислен по формуле, которая является справедливой для низких скоростей, когда

разность температур, определяющая поток тепла, введена

надлежащим образом, а именно как разность между температурой восстановления поверхности и ее действительной

температурой.
Для потока Кетте теплоперенос ;на любой поверхности

находится из обычного уравнения теплопроводности через

пластину [см. уравнение (1-6)] с условием, что вместо разности температур между двумя поверхностями и ^2

берется упомянутая разность между температурой восстановления и действительной температурой поверхности пластины, которую мы рассматриваем.
Ламинарный и турбулентный слои на

плоской пластине. Уравнение анергии, описывающее

перенос тепла в ламинарном стационарном пограничном

слое, включающее эффект внутреннего трения, согласно

уравнению (7-5) имеет вид:
д* , д^
+ = + • (10'5)
Сначала снова рассмотрим первоначальный случай, когда

поверхность адиабатна. Поэтому граничные условия следующие:
-^-=0 при у = 0;
1 = при у = оо.
Поле скоростей совпадает с полем для низких скоростей потока до тех пор, пока свойства рассматриваются как

постоянные. Решение задачи нахождения температурного

поля в пограничном слое было впервые получено Г. Поль-

хаузеном [Л. 141].
322
--------------- page: 324 -----------
Как -и раньше в § 6-6, путем введения параметров [, ц

и отношения
которое выражает температурное поле внутри пограничного

слоя в безразмерном виде, оказывается возможным переход

к обыкновенному дифференциальному уравнению. Введение

этих переменных в вышеприведенное уравнение дает:
Это уравнение второго порядка является неоднородным

линейным дифференциальным уравнением относительно температурного параметра & . Независимым переменным является

а параметр / необходимо рассматривать как известную функцию т], определяемую Блазиусовским решением уравнения

потока. Решение этого уравнения может быть получено, например, методом вариаций постоянных и имеет вид:
Температура, которую приобретает поверхность пластины,

снова является ее температурой восстановления и величина

параметра &. на стенке равна коэффициенту восстановления.

Поэтому коэффициент восстановления
Численным интегрированием этого уравнения были получены величины для коэффициента восстановления.

А. Буземан показал, что эти величины могут быть прибли-
0
о
где 9 = ехр
0
(10-6)
'-тЬ(-*М(#ух
0 0 0
о
21*
323
--------------- page: 325 -----------
женно выражены для чисел Прандтля 0,5—б простым соотношением
г=\Г Рг.
Далее мы рассмотрим перенос тепла к поверхности

пластины, когда ее температура поддерживается равной

-путем охлаждения или нагревания и эта температура отличается от температуры восстановления. Чтобы найти решение для температурного поля, мы можем использовать следующее. Уравнение энергии, описывающее температурное

поле внутри пограничного слоя, как видно из (10-5а), является линейным относительно температурного параметра /0у. Соответственно общее решение этого линейного

неоднородного уравнения может быть выражено как сумма

частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное

решение неоднородного уравнения было найдено [см. уравнение (10-6)]. Решение для однородного уравнения было

найдено в § 7-6. Поэтому температурное поле для высокоскоростного пограничного слоя на охлажденной пластине

может быть записано как
где &. дается уравнением (10-6), а б' — уравнением (7-24)

Нетрудно видеть, что это уравнение также удовлетворяет

следующим пограничным условиям:
Для инженерных расчетов тепловой поток на поверхности

пластины играет очень важную роль. Этот тепловой поток

на единицу площади и времени находится из выражения
так как
3?4
--------------- page: 326 -----------
Для скоростного потока соответствующий тепловой поток

может быть выражен согласно §7-6 как
Сравнение последних двух уравнений снова указывает

на следующее правило: тепловой поток в высокоскоростном

пограничном слое находится из того же соотношения, что

и тепловой поток в низкоскоростном пограничном слое, за

исключением того, что температурный потенциал, определяющий тепловой поток для большой скорости, есть разность

между действительной температурой стенки и ее температурой восстановления.
Чтобы сделать этот вывод, необходимо принять во внимание тот факт, что уравнение энергии для пограничного

слоя является линейным относительно температуры. Поэтому правило должно 'быть применимо совершенно одинаково

для всех жидкостей с постоянными свойствами. Это справедливо также для турбулентного потока, и как результат

все зависимости для теплообмена, найденные для низкоскоростного потока, можно сразу же использовать при теплообмене в условиях большой скорости |[Л. 142]. Единственно, что требуется дополнительно, — это знание коэффициента восстановления для частного слоя, откуда можно

определить температуру восстановления. Для ламинарного

потока пограничного слоя на плоской пластине коэффициент восстановления дается уравнением (10-7). Для турбулентного потока теоретически было выведено и варьировано для чисел (Прандтля, близких к 1, следующее

соотношение:
Было установлено, что уравнения теплообмена, найденные для жидкости с постоянными свойствами, описывают

очень хорошо условия в высокоскоростном потоке газов до

тех пор, пока давление в поле потока постоянно, при условии, что величины, характеризующие свойства, введены при

соответственно выбранной исходной температуре. Это

будет более детально обсуждаться в следующем разделе.

Когда давление меняется, возникают различия между

жидкостью с постоянными свойствами и газом. Одно из основных различий вызывается тем, что газы расширяются

вследствие падения давления и сжимаются из-за увеличе-
г = ГРг.
(10-8)
325
--------------- page: 327 -----------
ния давления и что с этими процессами связано изменение

температуры.
Влияние этого процесса может быть хорошо проиллюстрировано следующим примером.
Рассмотрим поток в трубе с адиабатными стенками.

Термодинамика показывает, что энергия, принесенная с потоком через поперечное сечение трубы, есть сумма внутренней энергии и, энергии давления р]р и кинетической

энергии у2/2 и что в трубе с адиабатными стенками этот

поток энергии должен быть одинаковым через любое поперечное сечение:
и + “ ~{-^г = соп$1.
1 р 1 2
Для несжимаемой жидкости, текущей в трубе с постоянным поперечным сечением, скорость должна быть постоянной вдоль трубы и соответственно суммы внутренней

энергии и энергии давления должны быть постоянны:
и 4- — = сопз1;.
1 р
Внутреннее трение вызывает падение давления в направлении потока. Так как плотность рассматривается как

постоянная, величина р/р в вышеприведенном уравнении

уменьшается в направлении потока и внутренняя энергия и

должна соответственно увеличиться. Внутренняя энергия

может быть записана как произведение теплоемкости на

температуру, и поэтому температура будет возрастать в таком потоке по его направлению, указывая на тот факт,'

что внутренним трением энергия давления была превращена во внутреннюю энергию. Для потока газа положение

иное. Мы можем ввести энтальпию г для суммы внутренней энергии и энергии давления, и данное выше уравнение

преобразуется в
= сопз{.
Хотя поперечное сечение трубы постоянно, скорость будет возрастать по направлению 'потока, потому что происходит снижение плотности, связанное с падением да1вления.

Поэтому в таком типе потока энтальпия уменьшается по

направлению потока и согласно зависимости ь^=с^1 температура уменьшается.
326
--------------- page: 328 -----------
10-2. ПЕРЕНОС ТЕПЛА В ГАЗАХ ПРИ ВЫСОКИХ СКОРОСТЯХ
Перенос тепла при условиях, когда температура увеличивается благодаря внутреннему трению, важен и представляет в настоящее время особый интерес в связи с проблемой аэродинамического нагревания высокоскоростных самолетов ,и ракет. При высоких сверхзвуковых скоростях

выделение тепла в пограничных слоях, которые окружают

поверхность движущегося тела, создает чрезвычайно высокие температуры. В этой связи упоминаются величины порядка 5 000° С. Как следствие этого первостепенными задачами в развитии таких самолетов и ракет являются правильный выбор материала и метод охлаждения поверхности. Как основу этого необходимо знать перенос тепла с пограничного слоя на поверхность движущегося тела. Поэтому в последние годы была проделана большая работа

с целью получить на основе анализа и экспериментов эти

необходимые сведения |[Л. 143]. Для ламинарных пограничных слоев современное познание :в этой области базируется почти полностью на аналитических результатах,

^в то время как для турбулентных пограничных слоев приходится полагаться полностью на эксперимент 1[Л. 144].

Анализ ламинарного переноса тепла при условиях, ожидаемых при аэродинамическом нагреве, затруднен тем фактом, что при больших скоростях полета, которые мы рассматриваем (числа Маха до 10 и больше), по всему пограничному слою проходят очень большие изменения температуры. Соответственно все свойства среды, включая теплоемкость и число Прандтля, должны рассматриваться как

переменные. Это не только увеличивает число параметров,

включенных <в задачу, но также делает решение уравнений

пограничного слоя со многими неизвестными чрезвычайно

трудным. Вдобавок воздух в пограничном слое будет во

многих случаях диссоциирован и даже ионизирован. Возникает вопрос, как быстро такие процессы достигнут условий равновесия. У нас все еще нет удовлетворительного

ответа на этот вопрос. Наконец, когда тело летит на большой (Высоте, плотность воздуха часто так мала, что рассматривать воздух как континуум нельзя и изучение переноса тепла должно производиться на молекулярной основе.
Некоторый материал по затронутым вопросам будет

изложен в разделе 9-1 с привлечением анализа размерностей и в разделе 10-3, в котором будет рассмотрен перенос

тепла в газах при низких плотностях.
327
--------------- page: 329 -----------
Более детальное обсуждение не входит в задачу этой

книги [Л. 145].
В следующих параграфах будут рассмотрены основные

вопросы высокоскоростных потоков газа, такие, как различие между статическими и общими состояниями и измерение параметров состояния. Сведения по температуре восстановления, которую принимают ненагретая плоская

пластина и цилиндр в высокоскоростном потоке газа, будут

представлены, так же как и зависимости, которые позволяют вычислять перенос тепла для плоской пластины в потоке с одинаковой скоростью для ламинарных и турбулентных пограничных слоев с точностью, достаточной для проектных целей.
Состояние газового потока определяется скоростью и

двумя параметрами состояния. Легче всего измерить давление и температуру; при этом следует различать два состояния. В первом случае давление и температура измеряются приборами, которые движутся вместе с газом.

Такое состояние называется статическим и определяется статическим давлением р8* и статической температурой. Важность статического состояния следует из того

факта, что, за исключением крайних случаев, для наблюдателя, движущегося вдоль с потоком, газ в небольшой

области ведет себя так же, как и газ в состоянии покоя и

равновесия. Это означает, что, например, плотность в потоке может быть вычислена из уравнения состояния, используя статическое давление и температуру. Вязкость,

теплоемкость и теплопроводность являются также функциями статического давления и температуры. Статическое

давление можно измерять через небольшое отверстие

в стенке, параллельной направлению потока. Измерение

статической температуры — более трудная задача. В настоящее время не имеется еще простого прибора для измерения этой величины [Л. 146].
Другое состояние потока газа возникает при изоэнтро-

иическом падении скорости до нуля. Такое состояние называется заторможенным (1о1а1 зШе). Оно определяется полным давлением рт и полной температурой Тт-

Полное давление измеряется при дозвуковых скоростях

при помощи трубки Пито.
При сверхзвуковых старостях трубка Пито показывает

заниженное давление, так как перед прибором возникает

ударная волна, а переход кинетической энергии в давление ударной волны «е является изоэнтропическим. Однако

328
--------------- page: 330 -----------
полное давление легко можно вычислить, есл,и известны

статическое давление и давление, измеренное трубкой

Пито.
Приборы, которыми может быть измерена средняя температура торможения, существуют и будут скоро рассматриваться. Важность 'изучения заторможенного состояния

отчасти заключается в том, что общее давление и температура торможения могут быть сразу же измерены. Эти измерения вместе с измерением статического давления также косвенно определяют статическую температуру и статическое состояние. Для идеального газа с постоянной теплоемкостью абсолютная статическая температура Т8г может быть вычислена из соотношения, справедливого для
изоэнтропического „ процесса: 7,^/Гг=1(р^/Рт)(т~"1)/т- Для

газа с переменной теплоемкостью определение Т8г может

быть сразу же сделано с помощью составленных таблиц для

газов [Л. 147].
Измерения рг, р&г, Тт позволяют определить скорость V

в точке, где были сделаны измерения. Величины рт и Тт

определяют энтальпию ьт, а величины р8* и Т8г определяют

энтальпию 1зи которая, например, может быть получена из

таблиц для газов. Для адиабатического замедления до нулевой скорости, а следовательно, также и для изоэнтропического может быть записано уравнение (10-9).
1т = ^ + -х-
Из этого уравнения может быть вычислена скорость V.

Когда разность Тт и достаточно мала, так что изменением теплоемкости можно пренебречь, уравнение (10-10) может быть записано так:
Тг~т,.^-
Заменяя в этом уравнении статическую температуру статическим давлением и решая его относительно скорости, получаем хорошо известную формулу Барре де Сен-Венана и

Вентцеля:
где у — отношение изобарной теплоемкости к изохорной теплоемкости, а К — газовая постоянная.
329
--------------- page: 331 -----------
Разность между полным давлением и статическим давлением называется динамическим давлением. Аналогично разность между температурой торможения и статической температурой можно назвать динамической температурой:
& =Т —Т
йу 1 Т 1 зГ
Для воздуха при средних температурах теплоемкость

ср = 0,24 ккал/кг-град = 102,5 кГм]кг-град и динамическая температура в градусах Цельсия будет равна:
^йу= 19 500 ’
если скорость V выражать в метрах в секунду.
Так как уравнение (10-10) выведено на основании первого закона термодинамики, то оно справедливо не только

для случая изоэнтропического изменения скорости, но и

для тех случаев, когда скорость падает до нуля без притока

или оттока тепла и без приложения внешней работы.
В пределах пограничного слоя у поверхности скорость

падает благодаря действию трения и кинетическая энергия

превращается в тепловую. Этот процесс, однако, связан

с обменом тепла и работой между различными слоями газа, даже в том случае, когда твердая поверхность не обме^

нивается теплом с омывающим газом. Поэтому температура

газового слоя у поверхности твердого тела, обладающего

нулевой скоростью, может быть либо выше, либо ниже

температуры торможения потока.' Если твердую поверхность не нагревать, например тепловыми лучами, и не

охлаждать, например путем отвода тепла от поверхности

внутрь твердого тела, то стенка приобретает ту же температуру, что и газ.
Температура, которую приобретает ненаг.реваемая

стенка, омываемая газом, называется температурой

восстановления стенки Тт, а разность между этой

температурой и статической температурой Т8г газа обозначается символом 'Оу.
Температура восстановления, выраженная через безразмерный коэффициент восстановления г, определяется из

уравнения
т~т«=г%- <1(мз>
Э. Польхаузен вычислил коэффициент г для случая продольного омывания ялиты газом, движущимся в продоль-
330
--------------- page: 332 -----------
ном ламинарном режиме с постоянными свойствами. Его

результаты для чисел Прандтля 0,5—10 можно выразить

формулой
г = \/гРт.
В большом количестве работ расчеты распространяли

на газы с переменными свойствами. Было найдено, что зависимость г = УРг описывает результаты этих расчетов

с хорошей точностью до тех пор, пока разность температур

Тг—Т81 является такой, что для этого интервала температур изменением теплоемкости можно пренебречь. Для очень

больших сверхзвуковых скоростей, где изменение теплоемкости становится существенным, расчеты, приводимые ниже, дают результаты, которые находятся в очень хорошем

согласии с решениями уравнений пограничного слоя. Коэффициент восстановления энтальпии определяется уравнением
= г, Т-
Этот коэффициент вычисляется из уравнения г* = /Рг

Число Прандтля вводится в это соотношение при исходной

энтальпии
*•*=*•,+0,72 (/г-д.
Не существует различия между температурным и эн-

тальпийным коэффициентами восстановления до тех пор,

пока теплоемкость может быть принята постоянной. Коэффициенты восстановления, вычисленные таким образом, находятся также в хорошем согласии с измеренными величинами. Для ламинарного воздушного потока при средних

температурах коэффициент восстановления равен 0,84.

В турбулентном потоке пограничного слоя воздуха на плоской пластине была измерена величина 0,88. В переходной

области между ламинарным и турбулентным пограничными слоями коэффициент восстановления возрастает от величины 0,84 до пика и затем уменьшается до турбулентной величины 0,88 (рис. 10-2).
Интересными являются результаты измерений на цилиндре в дозвуковом потоке воздуха, перпендикулярном

его оси [Л. 148]. Цилиндр был сделан из резины, для того

чтобы ликвидировать температурное выравнивание путем

теплопроводности в твердом материале. Для вычисления
331
--------------- page: 333 -----------
Локальных коэффициентов восстановления использовалось

уравнение (10-13), в которое подставлялись измеренные

температуры поверхности, скорость и статическая температура потока. Результаты вычислений показаны на рис. 10-3.
Как видно из рисунка, величина коэффициента восстановления в точке покоя 1 означает, что температура поверхности равна температуре в потоке. Низкие величины

коэффициента восстановления вдоль нижней части потока

становятся значительными на поверхности. За некоторым

интервалом коэффициент восстановления становится даже
Рис. 10-2. Ламинарный, переходный и турбулентный коэффициенты

восстановления температуры г для воздуха (измерение на конусе

при М = 3,12).
а —высокая турбулентность потока; Ъ— низкая турбулентность

потока (оо!%) [Л. 361].
отрицательным; это означает, что температура поверхности ниже, чем статическая температура в верхней части

потока. Райен [Л. 149] подтвердил это наблюдение, а Ак-

керет показал, что это тесно связано с периодическим распространением вихрей, сопровождающих отрыв потока.
В сверхзвуковых потоках в областях с оторвавшимся

потоком низкие температуры не наблюдались.
Другим видом потока, который ведет к областям с низкой температурой торможения, является вихревой поток.

Рэнк использовал этот эффект, чтобы разделить поток газа

на часть с высоким содержанием энергии (высокая общая

температура) и часть с низким содержанием энергии.

Рис. 10-4 показывает такую вихревую трубку, сконструи-
332
--------------- page: 334 -----------
рованную Хильшем. Поэтому ока иногда называется трубкой Хильша. Она состоит ,из трубки, в которую тангециаль-

но вдувается воздух (или другой газ) через одно или

несколько сопел а. Таким образом, в трубке создается

сильный вихревой поток.
Часть потока .выходит из

трубки через отверстие 6;

остальная часть потока вьи-

ходит из трубки через отдаленный конец ее с. Клапан

в этом месте служит для

того, чтобы регулировать

силу двух потоков воздуха.
Найдено, что средняя температура воздуха, покидающего трубу через отверстие Ь, значительно ниже

(38° С при 2,8 кГ/см2 давления на входе), чем температура воздуха верхнего потока во входном сопле.
Температура воздуха,

выводящего из трубы в с,

соответственно выше. Спрен-

гер [Л. 150] нашел, что

существую! различные виды

’ потока, которые ведут

к сильным эффектам разделения энергии потока, и

Воннегут [Л. 161] разработал термометр, который измеряет статическую температуру в высокоскоростном

потоке газа. В основном он

состоит из вихревой трубы

с соответствующим отверстием (зазором) и термометра, расположенного в

воздухе с низкой энергией

на оси трубы.
Для измерения температуры при высоких скоростях

движения газа удобно применять два прибора: цилиндрический термометр [Л. 152] (рис. 10-5) и диффузорный термометр [Л. 153] (рис. 10-6). Цилиндрическим термометром
ззз
Рис. 10-3. Распределение давления

и коэффициент восстановления температуры г для высокоскоростного

дозвукового потока, нормального к

круглому цилиндру,

а— угловое расстояние от линии застоя;

7*ру, — температура торможения и давление в верхней части потока; Т80> р0—

статическая температура и давление в

верхней части; р, Т8—статическое давление и температура вне пограничного слоя;
Тг — температура восстановления

[Л. 362].
--------------- page: 335 -----------
измеряют поверхностную температуру цилиндра при продольном движении газа. Так как толщина пограничного

слоя невелика по сравнению с диаметром цилиндра, то

можно применять значения г для плоской плиты (см.
Рис. 10-4. Эскиз вихревой трубки (трубки Хильша).
рис. 10-2), а статическую температуру при известной скорости рассчитать по формуле (10-13). Диффузорным термометром (рис. 10-6) измеряют температуру торможения.
Газ входит через отверстие и тормозится в трубе а.

Температура газа измеряется при помощи термопары й.

Выходит газ через небольшие отверстия с. Если бы этих

.отверстий не было, газ внутри прибора охлаждался бы и

334
--------------- page: 336 -----------
термопара\показала -бы неправильную температуру. Каждый из термометров имеет свою область применения. Преимущества Аиффузорного термометра заключаются в том,

что он сразу Замеряет температуру торможения. С другой

стороны, цилиндрический термометр можно сделать очень

небольших размеров, и тогда он будет очень быстро регистрировать изменения температуры газа.
Как только поверхностная температура тела отклоняется от своей адиабатической температуры, между телом и
Рис. 10-7. Кривые распределения

температуры в ламинарном пограничном слое на нагреваемой или охлаждаемой плите при высоких скоро-

потоком газа начинается
Теплообмен. На рис. 10-7 Гу — температура торможения; Т— стати*

Приводятся кривые распре- ческая температура; у — расстояние от

деления температур в по-
граничном слое для теплоотдачи к стенке и от стенки. Горизонтальная касательная к кривой а показывает, что теплообмена между стенкой и газом не происходит. Статическая температура, которая в потоке вне пограничного слоя имеет значение Т8, поднимается в пределах пограничного слоя и достигает значения температуры восстановления стенки Тг на

поверхности тела. Если темпертура стенки ниже, тепловой

поток направлен « стенке. Эго является справедливым для

профилей температур, расположенных ниже кривой а на

рис. 10-7.
335
--------------- page: 337 -----------
Если температура поверхности тела выше температуры

восстановления, тепловой поток направлен в обратную

сторону, т. е. от стенки к газу.
Штриховая кривая обозначает профиль температуры

торможения в пограничном слое для случая, в котором

тепло не поступает в стенку. Видно, что температура торможения для некоторого расстояния от стенки ниже, чем

в потоке вне пограничного слоя, в то время как слой, расположенный дальше от поверхности, имеет температуру

выше, чем для свободного потока. Поэтому высокоскоростной пограничный слой .разделяет воздух на части с низкой

энергией и высокой энергией, так же как и вихревой поток

в трубке Хильша. При той-же скорости, однако, разности

температур значительно больше в вихревом потоке.
Тепло-перенос в высокоскоростном потоке газа лучше

вычисляется [Л. 154] с помощью коэффициентов теплообмена, которые связаны с энтальпиями согласно уравнению
?*=«л-у.
где <7^ — тепловой поток в стенку на единицу времени и площади;
1г — энтальпия восстановления;
1т — энтальпия газа при температуре стенки.
Энтальпия восстановления вычисляется по формуле

(10-14). Однако вводятся величины в формулу (10-7) или

(10-8) при исходной энтальпии, которую находим из соотношения
I* = I, + 0,5 {1т - д + 0,22 ОV - д. (10-16)
Например, для двухмерного ламинарного потока вдоль

поверхности с постоянными давлением и температурой локальный коэффициент теплообмена находится по числу Стантона:
8*, = —
и из формулы (7-14); действительно, для низкоскоростного

потока
(10-18)
В формулах (10-17) и (10-18) все свойства введены при-

исходной энтальпии, найденной из соотношения (10-16). Локаль336
--------------- page: 338 -----------
ный коэффициент трения находится для ламинарного потока

из соотношения, которое определялось для низкоскоростного

потока:
/ = °’6!1- .
Р у^х
Локальный коэффициент трения для турбулентного потока

на плоской пластине находится из решения Блазиуса:
= 0,0296
1р (Ке/-2
а для числа Рейнольдса свыше 107—из соотношения Шульца*— Грунова:
0,370
Тогда локальный коэффициент теплообмена может быть

получен из соотношения
С0'22»
Вое 'свойства вводятся в эти формулы при исходной

энтальпии, определенной уравнением (10-16).
Было найдено, что вышеизложенное объясняет .не только .изменение свойств с изменением температуры в широком диапазоне с точностью, превышающей 4%, ,но также

диссоциацию воздуха при высоких температурах, когда она

становится ощутимой.
Пока температуры настолько низки, что теплоемкость

можно считать -постоянной, теплообмен, рассчитанный по

температурам, ведет к тем же результатам, что и рассчитанный по энтальпиям.
Было показано [Л. 155], что формулы (10-16) и (10-16)

вместе с несокращаемым соотношением (9-33), в котором

к = сРгк{, устанавливают теплообмен в критической точке

округленного тела в сверхзвуковом потоке, когда постоянная величина О в уравнении (9-32) заменена 0,8 (Ма)0*232

(Ма — число Маха верхней части потока). На рис. 10-8

дается сравнение значений, рассчитанных по предыдущим формулам, и результатов опытов с ракетой

«Фау-2», которые были проделаны Фишером и Норрисом

[Л. 166]. Измерения производились в различных точках конической головки ракеты. На графике результаты опытов
22—308
--------------- page: 339 -----------
для этой точки отмечены особым злаком, Нижняя линия

дает значения теплопередачи, рассчитанные пб формулам

для низких скоростей и ламинарного пограничного слоя.
Для конуса эти значения больше в У 3 раз, чем для

(плоской плиты, так кадс при движении от вершины к основанию конуса поверхность увеличивается; поэтому пограничный слой не нарастает так быстро (см. § 9-3). Верхняя

линия относится >к теплообмену для турбулентного пограничного слоя, рассчитанного по формулам для небольших

скоростей.
5x0'
г*юц 5*ю
Рис. 10-8. Сравнение расчетных и измеренных значений коэффициента теплообмена для высоких скоростей движения

среды [Л. 365].
Как видно из графика, опытные данные для невысоких

значений критерия Рейнольдса группируются вокруг линии

для ламинарного пограничного слоя й с возрастанием критерия Рейнольдса начинают группироваться во,круг линии

для турбулентного пограничного слоя. Этот переход зависит, очевидно, не от критерия Рейнольдса, а от какой-то

другой характеристической величины.
Пример 10-1. -Пластинка длиной х—101,6 мм подвешена в потоке

воздуха, движущегося со скоростью иа= 178 м/сек; температура пластинки ^=91° С; температура воздуха ^=26,1° С; давление воздуха

1 кГ/см2.
Требуется рассчитать теплоотдачу от пластинки в воздух.
Прежде всего необходимо определить температуру восстановления

поверхности пластинки в потоке воздуха. Величины свойств могут быть

введены при темлературе
(*» + У/2.
Критерий Рейнольдса
Vе 179-0,1016
Ке,
1,96-10-'
= 9,3-105.
338
--------------- page: 340 -----------
Из графика на рис. 10-2 находим: г =0,845. Тогда из уравнения (10-13) находим:
1792
^ = 26,1 +0,845279781710275 = 41,1“ С.
Такова температура пластинки, если ее не подогревать. Коэффициент теплообмена можно рассчитать по формуле (10-16) с величинами I

для воздуха, взятыми из газовых таблиц Кинана и Кейя [Л. 157]:
I* = 128,7 + 0,5 (156,9 — 128,7) + 0,22 (134,6 — 128,7) =
= 128,7+ 14,1 + 13 = 144,1,
которая соответствует температуре 61,5 °С.
Тогда из формул (10-17) и (10-18) локальный коэффициент теплообмена равен
а. = 350 ккал/м2 • ч • г рад.
Среднее значение коэффициента
сс.= 1,25а. = 437 ккал/м2>4*град.
Средний тепловой поток по формуле (10-15) на единицу площади

равен:
= — 22 300 ккал/м2.
10-3. ПЕРЕНОС ТЕПЛА В РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗАХ
При обычном рассмотрении переноса тепла в газах

структура газа считается оплошной и поэтому не требуется

привлечения представлений о молекулярном строении газа.

Поток и явления переноса тепла при таких условиях непрерывности среды могут быть адекватно выражены через

критерии Рейнольдса, Маха, Нуссельта и Прандтля. Однако при малых абсолютных давлениях газ частично теряет характерные свойства непрерывности и появляются

являения, которые могут быть объяснены, только если принимаются во внимание представления о молекулярном

строении газа. Изучение аэродинамики потока и переноса

тепла в разреженных газах начато сравнительно недавно,

и еще много основных вопросов надо разрешить путем

анализа и эксперимента.
Основой рассмотрения этих явлений является кинетическая теория газов, вначале разработанная количественно

Даниэлем Бернулли в 1738 г. Эта теория рассматривает

газы, как пространство, заполненное молекулами, которые

перемещаются по прямым траекториям, отклоняясь только

при столкновении с другими молекулами. Средняя кинетическая энергия совокупности молекул определяет темпера-

22*
--------------- page: 341 -----------
туру газа. Считают, что столкновения происходят согласно

законам упругого удара. Статистическая средняя длина

прямолинейных путей между столкновениями (молекул называется^ средним свободным пробегом молекулы К. Скорость каждой молекулы изменяет направление при столкновении; поэтому всегда имеются в наличии

молекулы с различными скоростями. Большинство молекул

имеет скорость, близкую к средней скорости V, поэтому

имеется мало молекул с очень большой или очень низкой

скоростью. Распределение скоростей молекул в газе в равновесном состоянии было вычислено Дж. С. Максвеллом

в 1,859 г. и называется распределением скорости

по Максвеллу.
Одним из первых успехов в кинетической теории газов

было предсказание того удивительного факта, что динамическая вязкость и теплопроводность идеальных газов независимы от давления. Это означает, например, что определенное количество тепла передается через неподвижный

слой газа при данных температурных условиях независимо

от давления газа. Применяя упрощенные понятия, мы выведем выражения для вязкости и теплопроводности. Кинетическая теория объясняет напряжения трения в текущем

газе тем, что молекулы движутся вперед и назад между

слоями газа, текущими с различными скоростями. Таким

образом, молекула из низкоскоростного слоя газа может

попасть в слой газа, движущийся с большей скоростью, где

после нескольких столкновений ее скорость увеличивается,

а скорость столкнувшихся с ней молекул уменьшается. Таким образом, между слоями газа происходит обмен количеством движения. Это же движение молекул вызывает

обмен энергией, когда в газе имеют место разности температур.
Рассмотрим ламинарный поток газа, параллельный стенке, с градиентом скорости и температуры, перпендикулярным стенке (рис. 10-9). Молекулы движутся вперед и

назад через произвольную плоскость аа, параллельную

стенке. В течение интервала времени йх молекулы с составляющими скоростями у I, перпендикулярными плоскости аа, пройдут эту плоскость, когда они находятся на расстоянии у \йх от плоскости. Число молекул в единице

объема равно п. Средняя составляющая скорости по направлению плоскости аа всех молекул будет некоторой

частью средней молекулярной скорости. Поэтому все молекулы в объеме г'убх пройдут через единицу площади
340
--------------- page: 342 -----------
плоскости. Число таких молекул равно г’тд,т, а число молекул, проходящих через единицу площади плоскости аа

за единицу времени с одной стороны равно ь'пу. Молекулы

характеризуются скоростью потока от их предыдущего до

следующего столкновения. Поэтому -в среднем они перемещают скорость потока от плоскости 1—1 к плоскости 2—2,
й /д
й'
/77777^777777777777777777777777777777/77777777777777777777777777
Рис. 10-9. Молекулярный обмен энергией
которые разделены расстоянием порядка длины X среднего

свободного пробега молекулы. Мы обозначим это расстояние /X, где / не может значительно отличаться от единицы. Молекулярный поток одинаковой величины проходит

плоскость аа в противоположном напра1влении и несетско-

рость потока й'-с плоскости 2—2 к плоскости 1—1. Обмен

количеством движения, связанный с этим процессом, равен:
1гтт(и — и!),
где т есть масса одной молекулы.
Когда градиент скорости на плоскости аа в направлении,

перпендикулярном плоскости, равен йи/йу, (и — и') может

быть выражено как /Я(Аг/я?у)
Поэтому обмен количеством движения на единицу площади или напряжение трения равно:

т = 1]ппы)к —— = ттоХ -т— •

йу
Произведение /'/ можно обозначить через I. Вязкость ^

определяется уравнением -с — ^(ёи/йу). Путем сравнения с вышеприведенным выражением для -в находим:
^ = ттоХ.
Произведение пт есть масса на единицу объема р. Тщательное вычисление для сферических молекул, сделанное

С. Чепманом и Д. Элскогом, объясняющее распределение
341
--------------- page: 343 -----------
молекулярной скорости, дало для числового коэффициента г

величину 0,499, и поэтому динамическая вязкость
^ = 0,499руЯ.
Кинетическая теория показывает, что рЯ независимо от

давления и дает для средней молекулярной скорости выражение
где — газовая постоянная для исследуемого газа;
Т — абсолютная температура. Поэтому как видно, не

зависит от давления1.
Когда в газе имеет место градиент температуры сИ^у,

обмен теплом происходит аналогично обмену количеством

движения между молекулами. Если ст — теплоемкость молекулы, то поток тепла на единицу площади плоскости аа равен:
. — г (И

а = 1пх)С„1 .
4
Для теплоемкости при постоянном объеме ^ на единицу

массы имеет место соотношение пст = рс^ Теплопроводность

определяется уравнением Л—дКсН/йу). Подставив эти величины в выражение для получим:
Я = шЯр сг/ = \ьСг,
Таким образом, эта простая теория устанавливает связь

между мехническими и тепловыми свойствами, которые

предполагались совершенно не связанными между собой.

Уравнение (10-24) дает приемлемые величины, но не согласуется с экспериментальными данными; однако остается возможность для обработок расчета с целью установления числового коэффициента, который дает хорошее согласование. Обработка расчетов теплопроводности более

сложна, чем обработка расчетов вязкости, так как теплопроводность является более сложным свойством. Чепман

[Л. 158] показал, как ладо обрабатывать вычисления, и получил выражение для теплопроводности, которое сОгла1 Этот результат несправедлив для газов, находящихся при очень

высоких давлениях, когда вязкость зависит от давления.
342
--------------- page: 344 -----------
суется с экспериментальными данными для одноатомных,

но не более сложных молекул. Это выражение имеет вид:
*—
(10-25)
Эйкен [Л. 159] вывел следующее выражение для теплопроводности сложных молекул:
которое хорошо согласуется с экспериментальными данными для простых и сложных молекул; у— отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.
Из формулы (Ю-2'6) можно записать выражение для

критерия Прандтля на основе кинетической теории:
Соотношение (10-27) очень хорошо согласуется с величинами критерия Прандтля, вычисленными по результатам измере-
Критерий Рейнольдса также может быть выведен на основе кинетической теории:
Таким образом, критерий Рейнольдса есть произведение

отношений скорости и длины. Отношение скорости представляет собой отношение У-скорости макроскопического

потока к средней молекулярной скорости у\ отношение

длины представляет собой отношение основного размера

тела I к средней длине свободного пробега молекулы Я

Подобным же образом возможно получить значение критерия Маха. Выражение для скорости звука имеет вид:
Поэтому из выражения для средней молекулярной скорости получаем:
* = У4(9Г-5)К„,
(10-26)
НИИ.
(10-28)
Таким образом, число Маха
(10-29)
343
--------------- page: 345 -----------
т. е. число Маха пропорционально отношению макроскопической 'скорости V к 'средней молекулярной скорости V.
При обычных давлениях расстояния между молекулами,

даже в газах, где межмолекулярные расстояния очень велики по сравнению с твердыми телами и жидкостями, являются намного меньшими, чем размеры тела, с которыми

мы обычно имеем дело при расчетах теплообмена, и поэтому понятие сплошного газа здесь полностью применимо

(газ рассматривается как континуум).
При низких давлениях с соответствующими низкими

плокостями длина свободного пробега молекулы X становится сравнимой с размерами тела, и тогда влияние молекулярного строения начинает сказываться в механизмах

потока и теплопереноса. Относительная важность эффектов, обусловленных разрежением газа, может быть показана путем сравнения величины среднего свободного пробега молекулы газа с каким-нибудь характерным размером

тела. Отсюда, если I есть размер тела, являющийся характеристическим размером в поле потока, влияние разрежения на поток и перенос тепла станет заметным, как только

отношением Я// нельзя будет больше пренебрегать. Это

отношение безразмерно и определяется как критерий Кнуд-

сена*Кп. Критерий Кнудсена, представляющий, таким образом непосредственный интерес при изучении потока

разреженного газа и переноса тепла, 1мож;но выразить через критерий Маха и Рейнольдса:
К"=т=|/1е-
Для двухатомного газа при у = 1,4

Ко =1,48^.
Тзинь[Л. 160] предложил рассматривать «механизм явлений в газе в зависимости от соответствующих интервалов

значений критерия Кнудсена.
Для потоков с низкой вязкостью (т. е. с большими значениями критерия Рейнольдса) наиболее важным характеристическим размером является толщина пограничного

344
--------------- page: 346 -----------
слоя б. Так как отношение толщины пограничного слоя для

ламинарного потока к характеристическому размеру тела
5 1
то соответствующее значение критерия Кнудсена будет равно:
(10'31)
Обычная газовая динамика, следовательно, будет иметь

место, когда Ке>1, а отношение М/*/Ке пренебрежимо

мало. Для медленного потока типа потока Стокса характерным измерением потока является размер тела /. Таким образом, если критерий Кнудсена основан на размере /, получаем:
т г
Кп-Не-
Следовательно, поток можно рассматривать как непрерывный поток, когда отношение М/Ке пренебрежимо мало.

В потоках, для которых значение критерия Рейнольдса

в среднем велико, а также велико значение критерия Маха,

критерий Кнудсена приобретает такую величину, что им

больше нельзя пренебречь, и указывает на наличие эффектов разрежения в потоке. В непрерывном 1 потоке обычное граничное условие на поверхности раздела между газом и твердой поверхностью состоит в том, что газ у поверхности принимает скорость и температуру поверхности.

Одним из более интересных эффектов разрежения газа

в потоке является то, что газ, прилегающий к твердой поверхности, не принимает скорость и температуру поверхности. Газ на поверхности имеет конечную тангенциальную скорость; он «скользит» вдоль поверхности. Температура газа на поверхности в конечном итоге отлична от

температуры поверхности; имеет место «скачок» между температурами поверхности и прилегающего газа. Эти эффекты связаны с величиной среднего свободного пробега

молекул и параметрами, называемыми коэффициентами аккомодации и отражения, которые описывают статистическое взаимодействие поверхности и
1
как континуум. (Прим. ред.)
345
--------------- page: 347 -----------
молекул. Описанный выше режим потока называется р е-

жимом скользящего потока и имеет место при

малых, но не пренебрежимо малых значениях критерия

Кнудсена.
Для чрезвычайно низких плотностей величина среднего
свободного пробега X является значительно большей, чем

любой характерный размер тела /. В этом случае молекулы, покидающие поверхность тела, не сталкиваются с молекулами свободного потока до тех пор, пока они не будут

находиться далеко от поверхности. Как первое приближение в таком случае молекулярное распределение в области,

отдаленной от поверхности, может быть принято неискаженным, т. е. Максвелловским, так что поток возле тела

можно рассматривать с точки зрения взаимодействия между

свободными молекулами и поверхностью. Такой режим потока называется свободным молекулярным потоком или п о токо м К н у д се н а.
Переход от газодинамического режима к режиму свободномолекулярного потока является постепенным, не показывая экспериментально никакой прерывности, но для

целей анализа удобно определить режимы потока, хотя это

в какой-то мере произвольно. Тзинь ввел несколько таких
интервалов значений: газовая динамика
V Не
М
бодный молекулярный поток -^->10. Область между ними занимают режимы скользящего потока и переходного потока. Режим переходного потока лежит между скользящим потоком и свободномолекулярным

потоком и характеризуется тем, что средний свободный

пробег молекул имеет приблизительно ту же величину, что

и характеристический размер тела. Столкновения между

молекулой и поверхностью, а также между молекулами

являются частыми и одинаково важными.
Анализ этой области является трудным. Имеющиеся

данные недостаточны и в большинстве — опытные. Эти

области потока показаны графически на рис. 10-10 с соответствующей высотой в милях над уровнем моря для тела

размером 0,305 метра в качестве параметра высоты. Из

рис. 10-10 ясно, что даже при умеренно больших значениях критерия Маха ракета, летящая на высоте 32 км, будет испытывать эффекты скользящего потока. Сжимаемые

пограничные слои при М>4 будут давать эффекты» скольжения при значениях критерия Рейнольдса, 'меньших 105.

346
--------------- page: 348 -----------
Несомненно, что сверхзвуковые аэродинамические трубы будут 'показывать эффекты скольжения до тех пор, пока ре-

зервуарное давление не будет очень высоким.
Скользящий поток. Полностью удовлетворительной формулировки уравнения движения потока, а также уравнений

энергии, которые могли бы описать поверхностное трение

(И перенос тепла в слегка разреженном газе в скользящем

потоке, нет. Некоторые (предпринятые попытки слишком

громоздки, чтобы их мож.но было поместить в текст дан-
Рис. 10-10. Режимы газовых потоков.
ного объема, но нуж,но сделать некоторые замечания по

существу. Наиболее общая приемлемая формулировка дана

Барнеттом [Л. 161], Чепманом и Коулингом [Л. 162] и др.,

которые развили дальше результаты Хильберта и Энского

в получении первых трех членов в решении пертурбационных рядов фундаментального уравнения Максвелла —

Больцмана для кинетической теории газов. Эти решения

дают более сложные формулировки уравнения Эйлера для

несжимаемых инвисцидных потоков, уравнения Навье —

Стокса для вязких сжимаемых -потоков и в конце концов

уравнения Барнетта. Первые две группы уравнений с соответствующим уравнением энергии для второй хорошо известны в практике обычной механики жидкостей. Ясно, что
347
--------------- page: 349 -----------
уравнения Барнетта имеют производные более высокого

порядка, чем уравнения Навье — Стокса, так же как и

уравнения Навье — Стокса имеют производные более высокого порядка, чем уравнения Эйлера для идеальных потоков. Относительная важность этих членов большего порядка в формулировке Барнетта по сравнению, скажем, с членами в уравнениях Навье — Стокса определяется величиной параметров разрежения, как говорилось ранее при

определении режимов потока. Например, в уравнении Баркетта член, выражающий напряжение, следующий:
Разделив это на член, выражающий напряжение в уравнении Навье — Стокса:
Следовательно, этот член имеет порядок величины, зависящий от величины критериев Маха и Рейнольдса, и, исходя из рассмотренных ранее соображений, не является

пренебрежимо малым в области скользящего потока. Другие члены уравнения Барнетта имеют такой же порядок

величины.
Данные выше понятия строго применимы к одноатомному газу, в котором молекулы обладают только тремя поступательными степенями свободы. Для двухатомных и

многоатомных газов распределения внутренней энергии по

всем степеням свободы не происходит, пока не пройдет

«ремя релаксации, которое следует за любым внезапным

изменением состояния газа. Внутренняя энергия запасается

вначале в поступательных степенях свободы, и только после достаточного числа столкновений она будет запасаться

во вращательных и колебательных степенях свободы. Требуемое число столкновений меняется от нескольких в случае воздуха до тысячи или более в случае С02. Толщины

скачка уплотнения, например, почти полностью определяются уравнениями высшего порядка, что представляет чрезвычайные трудности. Несмотря на большие сложности, возникающие при попытках сформулировать задачу скользя-

348
получаем:
{л ди ^ {л и
р * дх р * / 1^е ’
--------------- page: 350 -----------
щего потока, а во многих случаях именно из-за них существует большое количество работ, освещающих эффекты

скользящего потока в газе. Аналогичное «положение имеет

место для уравнения Навье — Стокса, для которых не существует общего решения, а имеется только несколько частных решений. Однако имеется много работ по приближенным решениям, которые позволяют практически использовать затронутые понятия. Изучение скользящего потока

осуществляется приближенно во многих случаях очень

грубо в связи с тем, что анализ основывался на уравнениях Навье — Стокса, обычно применяемых для несжимае*

мого потока. Решения были приближенными, причем предполагалось, что явление скольжения учитывалось введением дополнительных членов в граничные условия для тангенциальной скорости и температуры, т. е. принимались во

внимание скольжение и температурный скачок на. границе

между газом и поверхностью. Несмотря на неточность предположений, используемых при рассмотрении эффекта

скольжения, результаты были проверены экспериментально с большой точностью. Другой интересный и в то же

время удивительный результат, который почти всегда получали при анализе скользящего потока, заключается в том,

что результаты близко соответствуют результатам свободного молекулярного потока, если значения критериев Кнуд-

сена приняты очень большими. Так как скользящий поток

по предположению представляет собой явление, относящееся к малым числам Кнудсена, то точное значение этого

явления неизвестно, однако этот факт был успешно использован в полуэмпирическом анализе, чтобы согласовать

экспериментальные данные по всему режиму потока от

газовой динамики до свободного молекулярного потока.
Приближенный анализ скользящего потока. Так как

в данный момент нет в наличии прямых решений уравнений

потока и энергии для области скользящего потока, то задача рассматривалась путем использования уравнений для

обычного потока и энергии с введением эффектов разрежения в граничные условия. Были расмотрены два основных эффекта в явлении скользящего потока. Во-первых,

как было показано теоретически Максвеллом и экспериментально Кундтом и Варбургом, вблизи границы скорость

потока не равна нулю и поток скользит вдоль стенки с конечной скоростью. Во-вторых, температурный скачок, как

было принято без доказательства Пойсоном, имеет место

при переносе тепла от поверхности к разреженному газу,
349
--------------- page: 351 -----------
а экспериментами Смолуховского [Л. 163] было установлено, что этот эффект существует для статических систем.

Эти эффекты могут математически быть представлены следующими уравнениями:
<1М2>
/=0
. (10-33)
у=о
где — коэффициент зеркального отражения, или доля тангенциального количества движения сталкивающихся

со стенкой молекул, которая передается стенке;

а — коэффициент тепловой аккомодации, или величина,

показывающая, в какой мере молекулы газа при

отражении (или излучении стенкой) воспринимают

энергию молекул поверхности стенки.
Таким образом, а может быть выражено следующим образом
*
что для одноатомного идеального газа может быть точно

записано, а для других газов с хорошим приближением—как
а — т~т* >
где в уравнении (10-34) Е есть энергия молекул, отраженных (или излученных) от поверхности; Ет — энергия молекул в случае свободного потока на поверхности и Е„ — энергия, соответствующая характеристической энергии поверхности. В уравнении (10-35) 1Г — температура молекулярного потока, отраженного (или излученного) от поверхности; и — температура падающего молекулярного потока

и —поверхностная температура «ли температура стенки.

Коэффициент зеркального отражения /8 и коэффициент аккомодации а рассматривались скорее как экспериментально определяемые параметры, чем как переменные.

В табл. 10-1 приведено несколько величин коэффициента

скольжения, «ак их дали Милликен (Л. 164] и Бланкен-

350
--------------- page: 352 -----------
Таблица 10-1
Коэффициент зеркального отражения
Газ
Поверхность
?5
Воздух
Обработанная бронза (латунь, медь)
1,00
С02
То же
1,00
Воздух
Старый шеллак
1,00
со2
То же
1,00
Воздух
н8
1,00

Масло
0,90
со2
0,92
Н2
я
0,93
Воздух
Стекло
0,89
Не
Масло
0,87
Воздух
Свежий шеллак
0,79
я
А^О
0,98
Не
А&20
1,00
н2
Ае2о
1,00
ог
АёгО
0,99
штейн [Л. 165]. Из таблицы можно видеть, что в первом

•приближении /8 может быть 'принят равным 1. Табл. 10-2

дает некоторые величины коэффициента тепловой аккомодации а согласно Кнудсену [Л. 166], Оливеру [Л. 167],

Вайдману и Траумплеру (Л. 168] и Робертсу [Л. 168]. Для
Таблица 10-2
Коэффициент тепловой аккомодации а
Газ
Поверхность
а
н2
Светлая платина
0,32
нг
Темная
0,74
02
Светлая „
0,81
02
Темная „
0,93
Платина
0,50
N2
Вольфрам
0,35
Воздух
Слой лака на бронзе
0,88—0,89
Полированная бронза
0,91—0,94
Обработанная „
0,89—0,93
п
Травленая бронза
0,93-0,95
»
Полированный чугун
0,87—0,93
п
Обработанный „
0,87—0,88
Травленый чугун
0,89—0,96
»
Полированный алюминий
0,87—0,95
Обработанный „
0,95—0,97
п
Травленый алюминий
0,89—0,97
Не
Вольфрам
0,025—0,057
351
--------------- page: 353 -----------
коэффициента аккомодации предложен очень большой ряд

зеличин, так чтобы на практике можно было определить

эти величины для рассматриваемой системы.
Плоская пластина. Ламинарный скользящий поток на плоской пластине при нулевом угле атаки может

быть рассмотрен на примере задачи Релея для импульсивно запущенной 'пластины. В этом случае могут быть упрощены выражения для инерции и вязкости в уравнениях

Навье — Стокса. Сначала мы вычислим сопротивление пластины и затем перенос тепла от этой же пластины.
Поток может быть рассмотрен в двух измерениях, но

для импульсивно запущенной пластины мы можем пренебречь членами конвективной инерции, такими, как и{ди!дх),

и величинами вязкости V (д2и/дх2). Остается
ди д2и
<10-36)
Член слева может быть преобразован в
ди
дъ дх' дт ' ду' дт
и если равномерная скорость V сообщена пластине только

в направлении х, то данное выражение сводится для ду/дъ

к виду:
ди
сН~и дх
и уравнение (10-36) приобретает вид:
г г ди
идЛ='ду*'
Соответствующие граничные условия следующие:

й = С/; х — 0; у^>0;
“ = = *>0-
Второе граничное условие записано для условия скольжения скорости для коэффициента зеркального отражения, равного единице. Коэффициент лобового сопротивления определен как
общая сила лобового сопротивления с двух
Р
°
352
--------------- page: 354 -----------
Решение уравнения (10-37) в зависимости от такого коэффициента лобового сопротивления имеет вид:
С^М:
= ?^(Иег1сХ1-1 + ^Х1),. (10-38)
где Хг = уз |/Ке/М2. Графическое изображение решения

(10-38) показано на рис. 10-11 в сравнении с экспериментальными данными по полному лобовому сопротивлению плоских
Рис. 10-11. Коэффициент лобового сопротивления

плоской пластины.
пластин, полученными в аэродинамической трубе с низкой

плотностью и высокой скоростью [Л. 170].
Перенос тепла [Л. 171] от этой пластины может быть

рассчитан из уравнения энергии для импульсивно запущенной

пластины. В этом случае мы сможем пренебречь членами,

содержащими теплопроводность, такими, как Я(д2(/дх2), так

как они малы по сравнению с Л(дЧ/дуг). Мы можем пре-
23—308
--------------- page: 355 -----------
небречь членом, выражающим конвекцию’по у; таким образом,

для движения пластины с постоянной скоростью II в направлении л: уравнение энергии,приобретает вид:
иг*=*ър-
Соответствующие граничные условия даны с учетом условий температурного скачка на стенке и состояния свободного

потока:
. 2-а 2у Л / дЛ
—“’ГЙ'рг Чду/У=0; у х>
1 = х — 0\ г/> 0.
Поэтому для а = 0,8 у =1,4; решение уравнения (10-39)

принимает вид:
ЗШ=^(еЛГ*ег&*1—1 + —--У.У (10-40)
Х*\
л2 \
где Х2 = |/Ке Рг/6,9М2 и 31 — критерий Стантона:
о. _ Ни
КеРг ~Щс^'
Нет экспериментальных данных, с которыми можно

сравнить решение (10-40); однако решение (10-40) должно

дать такие же хорошие результаты, как и уравнение (10-38).
Шар. Перенос тепла от паров привлек к себе внимание, так как сферическая форма хорошо 'проявляет себя

в экспериментах [Л. 172]. Однако задача усложняется тем,

что в большинстве случаев, если диаметр шара не очень

мал, значение критерия Маха должно быть большим для

того чтобы критерий Кнудсена был достаточно велик для

установления скользящего потока. Обычно это означает,

что число Маха такое, что поток сверхзвуковой. В таком

случае существует скачок уплотнения впереди шара

(рис. 10-12) и условия позади этого скачка уплотнения

должны учитываться при расчете переноса тепла. Как одну

из моделей мы можем рассмотреть шар в сверхзвуковом,

разреженном потоке газа с предшествующим нормальным

скачком уплотнения, позади которого мы сможем рассчитать свойства газа для того, чтобы определить перекос тепла. В качестве второй модели мы можем рассмотреть раз-

354
--------------- page: 356 -----------
реженный дозвуковой поток, получаемый при очень низких

плотностях, когда отсутствует скачок уплотнения, анализ

которого поэтому не представляет особого затруднения

[Л. 173]. Каванау вывел выражение для поправки па разрежение к решению для переноса тепла от шаров в случае непрерывной среды, которое подтверждается экспериментальными данными с точностью до 10%. Здесь мы рассмотрим это приближение.
Рис. 10-12. Ударная волна перед шаром (по методу

послесвечения азота).
Если рассматривается температурный скачок в области

скользящего потока как эффективное тепловое контактное

сопротивление в пространстве между газом и поверхностью,

сравнимое или большее теплового сопротивления, обусловленного вязким пограничным слоем, то коэффициент теплообмена при низких плотностях может быть определен

в первом приближении поправкой в коэффициенте теплообмена для непрерывной среды при том же значении критерия Рейнольдса.
Рассмотрим поверхность в непрерывном потоке, где

тепло переносится между поверхностью и потоком. Температура поверхности однородна, постоянна и равна ^°;

тепловой поток
где нулевой верхний символ обозначает состояние непрерывности и у1г есть адиабатическая температура поверхности.
23*
355
--------------- page: 357 -----------
Теперь, если газовый поток разрежен, в то время как

критерий Рейнольдса поддерживается постоянным, появляется дополнительное сопротивление 'переносу тепла из-за

температурного скачка, так что мы можем выразить общий коэффициент конвективного теплообмена, включающий сопротивления как теплового пограничного слоя, так

и температурного скачка, записав:
? = «(*„-*,)•
Температурный скачок первого порядка может быть записан как
=
где / 0 и (д!/ду)у=0 есть температура и температурный

градиент в слое газа непосредственно прилегающего к поверхности. Величина I есть расстояние, на котором имеет

место температурный скачок, определяемое из уравнения

(10-33):
5=1,996 — -Чгг-б-’
*
ИЛИ
? =
Условие температурного скачка в первую очередь требует,

чтобы 1г=.^г . Предполагается, что т. е., тепло, переданное между поверхностью и газом, одинаково в случае наличия и отсутствия температурного скачка. Это фактически

предполагает, что уравнение (10-43) справедливо, когда I =
= 1\
XV
Группируя формулы (10-43), (10-41) и (10-42), получаем:
<* “г X
и, подставляя в это выражение величину Е, получаем с помощью соотношения (10-30) выражение
--------------- page: 358 -----------
которое можно записать как
N11
Если решение (10-45) вычислено для двухатомного газа

с у =1,4 и коэффициентом аккомодации а — 0,8, то приближенно можно написать:
N11
я?=1+2-59(етч)М1!"'
Для того чтобы использовать

формулу (10-45), необходимо

иметь решение для переноса тепла от шаров в непрерывной среде. Такое решение было получено посредством грубых приближений относительно распределения скорости около шара

[Л. 174]. Рассмотрим уравнение

энергии для сферйческой системы координат, пренебрегая соотношениями для сжимаемости и

рассеяния механической энергии, в обозначениях, показанных на рис. 10-13:
Рис. 10-13. Сферическая

система координат.
р С А
Р\ гдг г д0 г 8Ш

, Г 1 д / , <ЭА | 1 д ( . й
:Я1гТ-5?(г Э7)+7та-ав(8шв,
д1
0 ’дФ,
Г2 81П2 0 дФ2]
Как приближение к условию скольжения скорости пусть

иг — иф = 0; иц = Ы
и из симметрии
д^_ = дЧ_ _п

дФ дФ*~
и для небольшой теплопроводности в направлении б по сравнению с конвективным потоком в том же~направлении
357
--------------- page: 359 -----------
Таким образом, уравнение (10-46) упрощается:
<,047>
Уравнение (10-47) может быть решено для граничных

условий:
{ = ^и,> г == Г0’
I = / ; г -> оо
посредством преобразования Лапласа [Л. 175] и дает для

среднего коэффициента теплообмена значения критерия Нус-

сельта
N11:
[/?(«,Р) + У?(«,Р)]Р 1
где Ю — диаметр шара; а, = у/ 2Ке Рг;
Л (а1р1) и (а1р1) — функции Бесселя.
Решение (10-48) представлено графически на рис. 10-14

и 10-15 в виде графика М 0.
Рассматривая совместно решения (10-45) и (10-48),

получим результаты, нанесенные графически на рис. 10-15

в сравнении с экспериментальными данными переноса тепла для малых шаров. Постоянная 2,59 в решении (10-45)

была исправлена эмпирически на величину 3,42, для того

чтобы представить экспериментальные данные с большей

точностью:
Ш =
1
Линии на рис. 10-14 и 10-15, изображающие перенос

тепла в свободном молекулярном потоке, являются результатами вычисления на основе кинетической теории, сделанного Ф. М. Сауером [Л. 176]. Графические результаты показывают различие, если устремлять значение критерия

Рейнольдса до нуля посредством скорости или посредством

плотности. Случай нулевой скорости для теплообмена шаров становится в пределе случаем радиальной теплопроводности в неподвижном газе, в то время как случай нулевой плотности ведет к режиму свободного молекулярного

потока и намного меньшим коэффициентам теплообмена.

358
--------------- page: 360 -----------
300
100
60

ио
20
10
6

4
2

1,0

0,6

ол
0,2
0,1

0,06

ОМ
0,02

ао/
0,006

0,002
10^ 2
а2р2П
Рг
Рис. 10-14. Перенос

тепла от шаров (числа

Рейнольдса вычислены

за предполагаемой

ударной волной для

М> 1); теплопроводность вычислена при

равновесной температуре [Л. 366].
--------------- page: 361 -----------
Интересная черта явлений теплообмена в разреженном

газе показана на рис. 10-16, где коэффициент восстановления нанесен в зависимости от параметров разрежения. Видно, что коэффициенты восстановления увеличиваются при

больших значениях критерия Кнудсена в скользящем потоке и приближаются к величине, большей единицы, как

и предсказано для области 'Свободного молекулярного потока.
ю

8
в

и
2
1.0

0,8

0,6

ОЛ
0,2
0,1
1 2
Рис. 10-15. Перенос тепла от шаров при дозвуковых числах Маха в разреженном газе (числа Рейнольдса вычислены при условии свободного потока; теплопроводность вычислена при равновесной температуре) [Л. 367].
На наличие этого явления указывает также распределение коэффициента теплового восстановления по пограничному слою в потоке с низкой плотностью в сверхзвуковых

соплах (рис. ^10-17). Это распределение энергии типично

для потоков в высокоскоростном газе, где значение критерия Прандтля ниже единицы. То, что потоки низкой плотности имеют довольно толстые пограничные слои, делает

это явление ,более доступным для наблюдения.
Теплообмен цилиндров в области скользящего потока

дает эффекты, подобные описанным выше для шаров. Сау-

360


Теория схомзяа/его ло/по/га (ло Дрэйщ
Ь
ф.-
Теория свободного моле

по/лот (ло Саг/еру)
чярного
Р
&
*
м
у
+
РФ*6
К*
чение
(10-

а)
у
о"
V
&
л У
9
ошна- м

ченая

+ 0,10

Ь 0,21

V 0,35

° 0,37

□ 0,59

д 0,69
’у ' 0*
у
я/

У
И-1
--------------- page: 362 -----------
Число Маха б мес/ре измерения
12
1.1
1,0
1
(1
V.
д
0.8
0.2
0.7
0.1
о,е
0
\
лЧ
бодно -молен

щ поток
уляр-
МУ Сопло №<* Сопло

Д 0,50'1 о 0,50Л
\
\0,25 {Диаметр ъ0,25\Диам

р О, ю д/оймах р о, 10 \ в

А п /7*1 ЪпмЛ
%\
%
.Ас
д
о I 1

Л I л Д
\
^ 4
Коэффициенты-
восс/панобления
1 I _____
\
Свободяб/й пробег п

\ Миаме/лр шара 1
оиблаз»
ченно)
)
4 5 6
УрейнольдС)
К
Ю
Рис. 10-16. Изменение коэффициента восстановления

с параметром разрежения.
Тр —температура равновесия, достигнутая шаром с высокой теплопроводностью;

Г0—температура резервуара; Тг — температура свободного потока [Л. 366].
Рис. 10-17. Изменение теплового коэффициента восстановления

в ламинарных пограничных слоях в сверхзвуковых соплах при

очень низких давлениях.
температура равновесия, полученная сферическим зондом высокой

теплопроводности; Т0—температура резервуара; Гх—температура

свободного потока (Л. 366].
--------------- page: 363 -----------
ер [Л. 177] распространил свой а-нализ и на цилиндры,

а Стэлдер {Л. 178] и др. получили экспериментальные данные для такого же интервала переменных.
Свободный молекулярный поток. Перенос

тепла от тела к потоку разреженного газа в состоянии

Максвелловского равновесия может быть рассчитан полностью, исходя из фундаментальных понятий кинетической

теории газов |[Л. 179—180]. Результаты могут быть выражены как функция числа степеней свободы / молекулы или

отношения теплоемкостей у, которые непосредственно относятся к /, так что результаты всегда становятся общими,

пока рассматривается молекулярная структура газа.
Более* того, как было показано Оппенгеймом, определение соответствующих результатов для нескольких основных форм, таких, как плоские пластины, горизонтальные

кольцевые цилиндры и шары, дает возможность получить

результаты для более сложных случаев путем синтеза результатов для этих простых форм.
Конвективный теплообмен тела в свободном молекулярном потоке установлен на основе баланса энергии:
д = ег — ер
где ег = йЕ^йА — интенсивность молекулярного переноса

энергии на единицу площади поверхности

испускаемыми молекулами;

е. — с1Е1/с1А— интенсивность переноса энергии на единицу площади поверхности падающими

молекулами;
д=;(1(2/(1А — интенсивность теплообмена на единицу

площади поверхности к потоку газа.
Энергия вновь испускаемых молекул зависит от коэффициента аккомодации а (см. уравнение (10-34)]. Из соотношений (10-34) и (10-49) имеем:
Величины ет и е1 включают в себя поступательную энергию и часть внутренней энергии, связанную со степенями

свободы. Из принципа равного распределения энергии внутрен-

362
--------------- page: 364 -----------
няя энергия молекулы газа с / степенями свободы в равновесном состоянии при температуре Т равна:
и-
кТ,
эрг
где к — постоянная Больцмана (к= 1,36-10"16 , ..
\
Энергия поступательного движения молекулы, приходящей

от стенки, при температуре Тю, равна:
е1щ — 2/гкГ^.
Внутренняя энергия поступательного движения молекул

распределяется среди трех степеней свободы; поэтому
еш е1хо '
■'-Т5лЫ'.=
-/ + 1 П\гТ

“ 2 ПК7 «*>’
(10-51)
где п, как и ранее, есть число молекул, соударяющихся

с единицей. площади стенки за единицу времени.
Перенос энергии, обусловленный падающими молекулами,

будет тогда равен:
/-3
пкТ0,
(10-52)
где ег есть энергия поступательного движения свободного

потока, соударяющегося с единицей площади поверхности

стенки за единицу времени, и Т0 есть температура свободного потока. Подставив соотношения (10-51) и (10-52) в формулу (10-50), получим:
/-3
■фяИ-.-
■(е,+'-^-пктЛ. (10-53)
Так как
ср_а(и+кТ)1сН
Су
л+1.
то можно написать уравнение (10-53) в функции у:

Я _ Г + 1 ..ьт Г„ I 5“3Г
2
е* 2 (у — 1)
где у = 5/3 соответствует одноатомному газу и у =

атомному газу.
(10-54)

7/5—двух-

363
--------------- page: 365 -----------
Для того чтобы вычислить скорость переноса тепла о^

тела, должны быть получены выражения для числа п молекул,

соударяющихся с единицей площади поверхности в единицу

времени', и для энергии ег поступательного движения. Эти

величины, данные Оппенгеймом, следующие:
п = [е~* + (1 + еП т,)]; (10-55)
^ у 71
Ъ = [(з' + Ч,)п-Ф]кТ0,
где
V — средняя молекулярная скорость;
= где С/ —составляющая скорости потока массы V

перпендикулярная стенке;

з = 11^=1/ у/2М — отношение молекулярной скорости к числу Маха;
Ф = (ЛГу/4
Подстановка данных выше величин в формулу (10-54)

дает следующее безразмерное выражение для теплового потока:
. я
апкТл11 2 (Т-Г,
Для того чтобы рассчитать теплообмен тела в свободном

молекулярном потоке, определены следующие интегралы по

поверхности:
О— Г-^ йА\
А ] 2У*в

?=_, М:
А
где А есть площадь поверхности исследуемого тела.
Уравнение (10-57), проинтегрированное по площади Л,

может быть записано на основе этих интегралов:
аЫЪТли = 2(V — 1)
(10-58)
--------------- page: 366 -----------
Теплообмен в свободном молекулярном потоке можно

выразить через критерий Стантона и коэффициент теплового восстановления. При <2=0 уравнение (10-58) дает

зыражение для температуры восстановления стенки для

случая, когда 71^ = сопз1. Это требует, чтобы тепловое сопротивление, обусловленное теплопроводностью внутри тела, было малым по сравнению с сопротивлением, обусловленным конвекцией газа на поверхности. В таком случае
(Ю-59)
Теперь мы можем записать тепловой поток как функцию

температуры восстановления стенки:
$ =
откуда определяется критерий Стантона, причем ЛПс/р =/? —

газовая постоянная:
31 = ^г=т=
9сри (тт — тг)?сри 2у VI/ ч /
Используя уравнение (10-27), т. е. выражение Ойкенадля

критерия Прандтля, получим:
О, N11
КеРг 4-у 'Яе1
Коэффициент теплового восстановления можеть быть выражен на основе уравнения (10-59):
г=т;~т; =-л--/2+^^=Д, (ю-61)
Т8~ТО У + 1 \ 1 52 О + р)
где Т8 есть температура застойного потока. Отношение

температуры застойного потока к температуре свободного

потока можно представить в функции отношения молекулярной скорости 5:
^=1 + 1^1м*=1 «2. (10-62)
Результаты, полученные на основе уравнения (10-59) —

(10-61), показаны в виде графиков на рис. 10-18—10-20.
В дополнение к кривым, показанным на рисунках, можно легко получить другие кривые. Например, шлоская пла-
365
--------------- page: 367 -----------
1,7-

1,6-

1,5-

1А-

1,3-

1.2-

1,1-

1,0-

0.9-

0,8-

0,7-

0,6-

0,5-

0,6-

02-

0,2-

0,1-

0"

-0,1 -

-0.2-

-0.3-
г*

гг
».
2,1

2,0

1.9

1.8'

1,7'

1,6-

1,5-

/,«-

из-

1,2-

1,1-

1,0-

0,9-

0,8-

0.7-

0,6-

«Н
0,4

0.3

0,2-\

0,1

О -

-0,1

-0,2-

-0,3-

ОА-

0,5-1
0,5 0.6 0,7 0,8 0.91
8 9 10
М1 0,2
0.3
0.3
Т I Г"

0.6 0.5 0,6 0,7 0.80,91

1
I I I I I 1 Г

ОЛ 0.5 0.6 0,7 0,8 0.9?
~Т—
1.5
I
1.5
И I Г I I 1

5 6 7 8 9 10

Н
Рис. 10-18. Отношения

температуры восстановления стенки к температуре свободного потока для

плоской пластины, шара

и поперечного цилиндра

в свободном молекулярном потоке [Л. 368].
6 7 В 9 10
--------------- page: 368 -----------
гг
п
Г+1г
5,0
. 5,5
91

5.0
- 8
*+,ь
ь.о
Ь.5
* >
ь.о
3.5
6
3.5
3.0
5
з.о
2.5
2.5
- 4
2.0
" 2.0
3
1.5
’ 1.5
1.0
2
’ Ь0
0.5
- 0,5
„ 1
О
- О
- О
-0,5
—0.5
-1
-1.0
.-1,0
-2
-1.5
--1.5

-2,0
.'2.0
—о
-2,5

5 О.
М1 0,2
\
Л
Д
Индекс 7 &/ян&сц/г?ея н од//0#/7?ем//0л*4/ гаяр

Индекс 2 0/7?насс//7?с/? /г газу
V
V/
Л
\\

а
,-о

о•
► /
\
Л
X
\
I
/
-10е
30'
50°'
Рис. 10-19. Коэффициенты теплового восста-

2.0° новления для плоской

пластины, шара и по-
АО'
о60°
-У0°о80° перечного кольцевого
& ^ цилиндра в свободном

молекулярном потоке

[Л. 368].
«8.3
0,3 ОА 0,5 0,60,70.80,91
К5
5 6 7 8 9 10
III

^ ^ $
0.3 ол 0,5 0,6 0.70,80.91
1,5
М2 0,2 0.3 ОЛ 0.5 0,6 0,70,80.91
15

6 7 8 9 10
I
5 5 7 8 9 Ю
--------------- page: 369 -----------
о к*
Рис. 10-20. Перенос тепла от плоской пластины, шара и поперочного кольцевого цилиндра

в свободном молекулярном потоке [Л. 368].
--------------- page: 370 -----------
стина, расположенная под углом б к направлению потока,

может быть рассмотрена на примере плоской пластины,

перпендикулярной потоку:
?,(*) = ^ (Ч> 8,11
где Т] = 5 81110. Символ 0 относится к плоской пластине,

расположенной под углом к потоку, а символ п — к плоской

пластине, перпендикулярной потоку. Таким образом,
8*9 ($) = 8*я(г|) 8Ш 0;
ГЬ (5) = С08а 0 + /-„ (т,) 81П 2 0.
Следует заметить также, что результаты, справедливые

для плоской оластины, применимы к любой поверхности,

образующей постоянный угол с потоком. Поэтому эти результаты применимы к клину и конусам, когда угол наклона пластины соответствует половине раствора угла клина или конуса. Плоская пластина с нулевым углом атаки

аналогична в этом смысле цилиндру с любой формой поперечного сечения в аксиальном потоке.
10-4. ПЕРЕНОС ТЕПЛА В ЖИДКИХ МЕТАЛЛАХ
В настоящем разделе рассматривается перенос тепла

в жидких металлах, поскольку для этого типа переноса

тепла имеются некоторые особенности. Величины теплопроводности для жидких металлов значительно больше, чем

для каких-либо других жидкостей, и, естественно, числа

Праедтля очень малы: 0,005—0,03. Так как теплопроводность высока, то она является доминирующим фактором

в совместном процессе теплопроводности и конвекции.
В случае ламинарных потоков в трубах решения, полученные в § 7-7, применимы для ж.идкого металла, так же

как и для других жидкостей, до тех лор, пока вывод этих

уравнений не ограничивает число Прандтля. Числа Нуссельта для изложенных условий потока согласно этим зависимостям постоянны. Причем величины этих постоянных

различны для постоянной температуры стенки и для постоянного потока тепла. Однако длина начального участка

для потоков жидкого металла весьма мала из-за неболь24—303
369
--------------- page: 371 -----------
шого числа Прандтля. Это означает, что перераспределение

температурного поля занимает небольшую область .и, следовательно, осевые градиенты температуры в .направлении

потока в некоторых случаях будут того же 'порядка величин, что и радиальные градиенты температур. Это особенно

относится к низким числам Рейнольдса, и для таких величин решения в § 7-7 должны быть исправлены, так как

при их выводе не учитывался продольный перенос тепла.
Поток с пограничным слоем исследовался в § 7-3. Произведенные там расчеты были сделаны в предположении,

что пограничный слой потока толще, чем тепловой пограничный слой, и было найдено, что это условие выполняется

для жидкостей с числами Прандтля, большими 1.
Было найдено, 'что в этой области отношение толщины

пограничного слоя потока к толщине теплового пограничного слоя пропорционально кубическому корню из числа

Прандтля. Экстраполяция этого результата количественным путем на низкие числа Прандтля приводит к выводу,

что для жидких металлов тепловой пограничный слой будет гораздо толще, чем пограничный слой потока. Вычисление, представленное .в § 7-3, может быть выполнено и для

данного случая. Однако очень просто получить приближенное решение самого уравнения энергии пограничного слоя

на основе следующего соображения, сделанного Р. Дж. Гро-

шем. Большая часть температурного поля в пограничном

слое жидкого металла будет в области, где скорость равна скорости потока. Это обусловлено предположением

о том, что тепловой пограничный слой значительно толще,

чем гидродинамический пограничный слой.
Соответственно следует ожидать, что температурное поле в пограничном слое может быть вычислено с хорошим

приближением, если скорость в слое вплоть до поверхности

пластины считать равной скорости потока.
Таким способом уравнение энергии пограничного слоя,

данное в § 7-6, упрощается и принимает следующий вид:
Функция тока дается соотношением $ — и8у и безразмерная функция тока / = 2^. При этом выражение для температурного поля упрощается:
370
--------------- page: 372 -----------
Температурный градиент на поверхности пластины
Коэффициент теплообмена
— х
и локальное число Нуссельта
Р. Дж. Грош и Р. Д. Цесс [Л. 181] выполнили численные решения уравнения, описывающего температурное поле

в разделе 7-6, и получили величины, на 7—12% меньшие,

чем подсчитанные из вышеприведенного уравнения для

чисел Прандтля между 0,005 и 0,025. Ими было показано,

что для величин КезсРг^бО пренебрежение продольным

переносом тепла оправдывается, за исключением случая непосредственной близости к переднему краю пластины.
Перенос тепла у периферии -цилиндра с осью, перпендикулярной направлению потока, может быть вычислен, если

опять-таки пренебречь уменьшением скорости внутри (пограничного слоя потока. Буссинеск [Л. 182] в ранее написанной работе показал, что уравнение энергии применительно к теплопередаче в плоском невяз,ком поле потока

может быть упрощено, когда оно преобразовано из геометрических координат х, у в независимые координатъи-по-

тенциал тока ф и функцию тока Оно становится:
Если, как ранее, продольным условием пренебречь, то

член дЧ/дхр2 обращается в нуль и уравнение принимает

такую же форму, как и для плоской пластины. То